题目简介
给定一个长度为 \(2n-1\) 的序列 \(a\),你可以随意排列 \(a\) 中的元素，请求出有多少种不同的序列 \(b\)，满足
-
\(b\) 的长度为 \(n\)。
-
\(b_i=\{a_1\ldots a_{2i-1}\}\) 的中位数。
\(n\leq 50\)。
答案对 \(10^9+7\) 取模。
分析
考虑当前已有的序列 \(a\) ，每次加入两个数 \(x,y\) \((x\ge y)\)，中位数 \(\mbox{mid}\) 如何变化。
三种情况：
- \(x\ge y\ge \mbox{mid}\)，则新 \(\mbox{mid}\) 为 \(a\) 中已有的原 \(\mbox{mid}\) 的后继；
- \(\mbox{mid}\ge x\ge y\)，则新 \(\mbox{mid}\) 为 \(a\) 中已有的原 \(\mbox{mid}\) 的前驱；
- \(x\ge \mbox{mid}\ge y\)，则新 \(\mbox{mid}\) 为 \(a\) 中已有的原 \(\mbox{mid}\) 不变。
于是我们可以归纳一下 \(b\) 的约束条件：
- 每个位置都有上下界，分别是全部取最大值和全部取最小值产生的中位数；
- 相邻 \(b\) 的变化只能是前驱，后继或者相等，不会跨越两步。即不存在 \(j<i\) 使得 \(\min{b_{i-1},b_i}< b_j< \max{b_{i-1},b_i}\)
看到第一个条件，我们可以将 \(a\) 数组排一下序，排序之后，约束变成了：
- \(a_{n-i+1}\le b_i\le a_{n+i-1}\)
- 不存在 \(j<i\) 使得 \(\min{b_{i-1},b_i}< b_j< \max{b_{i-1},b_i}\)
第一个条件自然满足，考虑 \(\texttt{dp}\) 转移第二个条件。
考虑倒推，当我们确定了 \(b_i\) 和 \(b_{i-1}\) 后，\((b_{i-1},b_i)\) 之间的数字都不能选择。
设 \(f(i,l,r)\) 表示当前 \(b\) 填了 \(i\) 个数（逆推），此时下一次 \(b\) 的取值左边有 \(l\) 种可能，右边有 \(r\) 种可能。
如果新加入的两个数相同，我们视为同一个数。
\(AC\ Code\)
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
namespace simpler{//readu,modint
using namespace simpler;
int a[105];
modint<(int)1e9+7>f[2][105][105];
int main(){
int n=readu(),m=(n<<1)-1;
for(int i=1;i<=m;++i)readu(a[i]);
sort(a+1,a+m+1);
bool cur=0;f[cur][0][0]=1;
for(int i=n-1;i;--i,cur^=1){
memset(f[cur^1],0,sizeof f[cur^1]);
int dl=(a[i]!=a[i+1]),dr=(a[m-i+1]!=a[m-i]);
for(int l=0;l<=m;++l)
for(int r=0;r<=m-l;++r)if(f[cur][l][r]!=0){
f[cur^1][l+dl][r+dr]+=f[cur][l][r];
for(int j=0;j<l+dl;++j)f[cur^1][j][r+dr+1]+=f[cur][l][r];
for(int j=0;j<r+dr;++j)f[cur^1][l+dl+1][j]+=f[cur][l][r];
}
}
modint<(int)1e9+7>ans=0;
for(int l=0;l<=m;++l)
for(int r=0;r<=m-l;++r)ans+=f[cur][l][r];
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}