\((s, * )\) 是群当且仅当
- \(\forall a \in s \forall b \in s, a * b \in s\)
- \(\forall a \in s \forall b \in s \forall c \in s, (a * b) * c = a * (b * c)\)
- \(\exists e\)：
- \(\forall a \in s, a * e = a\)
- \(\forall a \in s \exists a' \in s, a * a' = e\)
，则我们成 \(e\) 为单位元，\(a'\) 称为 \(a\) 的逆元。
常用命题：
- 单位元唯一。
- 设有两单位元 \(e_1 \ne e_2\)，则有 \(e_1 * e_2 = e_2 = e_1\)，与 \(e_1 \ne e_2\) 矛盾。
- 左逆元等于右逆元、逆元唯一。
- 设 \(a \in s\)，\(a'_L * a * a'_R = a'_R = a'_L\)。
- 通过左逆元等于右逆元，重复一遍如上证明可以得到逆元唯一。
- 操作满足消去律
- 左消去律：左乘逆元可立刻得到
- 右消去律：右乘逆元并结合律可立刻得到。
- 逆元的逆元是本元
- 设 \(a \in s\)，因为 \(a * a' = e, a'' * a' = e, a * a' = a'' * a'\)，根据右消去律消去 \(a'\) 立刻得到结论。
- 广义结合律
- 当一个元素时，命题显然成立
- 考虑当前元素的形式：
- 若是 \(A * \dots\)，只需证明 \(\dots\) 中成立即可
- 若是 \((\dots) * @\)，如果有 \(@\) 成立，我们需要证明，\(x_1 * x_2 * \dots * x_n * y_1 * y_2 * \dots * y_m = (x_1 * x_2 * \dots * x_n) * (y_1 * y_2 * \dots * y_m)\)。
- 然后证明提到的引理：
- 当 \(m = 1\) 时，命题显然。
- 当 \(m = k + 1\) 时，原式等于 \((x_1 * x_2 * \dots * x_n) * (y_1 * y_2 * \dots * y_k) * y_m\)，通过狭义结合论可以证明。
- 幂的性质
- 当 \(x_i = y_i = z\) 时，可以立刻得到 \(z^n * z^m = z^{m + n}\)
- \((z^n)^m = z^{mn}\)
- \(m = 1\) 时，显然。
- \(m = k + 1\) 时，通过幂的性质可以立刻得到（\((z^n)^m = (z^n)^k * z^n = z^{nk} * z^n = z^{nm}\)）