【程序猿面试真题——计算机基础知识和编程】如何寻找二次曲线（离散的点连成的）的最小值？
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前言
寻找二次曲线的最小值（即二次函数的最小值），通常是通过优化方法来实现，尤其是当你有离散的数据点时。这些离散点可以通过拟合二次函数来得到一个连续的二次曲线，然后再找到该曲线的最小值。下面是一些常见的方法：
1. 使用二次拟合（最小二乘法）
假设你有一组离散的点
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
,
.
.
.
(
x
n
,
y
n
)
(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_n,y_n)
(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，你可以用最小二乘法来拟合一个二次函数：
步骤：
. 1. 构造代价函数：定义一个代价函数 J ( a , b , c ) J(a,b,c) J(a,b,c)，它是所有离散点与拟合曲线之间误差的平方和：
- 求导并求解：对 J ( a , b , c ) J(a,b,c) J(a,b,c) 分别对 a a a、 b b b、和 c c c 求偏导数，然后将这些偏导数设为零，解出 a a a、 b b b、和 c c c的值。这将给出拟合的二次函数的系数。
- 求最小值：对于一个标准的二次函数 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c，其最小值或最大值出现在导数为零的点。即：
解这个方程可以得到
x
x
x 的值，即：
代入该
x
m
i
n
x_{min}
xmin 值回到二次函数中，可以得到最小值对应的
y
y
y 值。
2. 数值优化方法
如果数据量非常大或你不方便求解解析解，也可以使用数值优化方法。常见的优化方法有：
- 梯度下降法：通过计算函数的梯度，迭代更新参数，直到找到最小值。这对于大规模数据和复杂问题尤其有效。
- 牛顿法：通过计算二次导数（Hessian矩阵），可以在每次迭代时获得更快的收敛速度，适用于求解二次拟合等凸优化问题。
3. 拟合后评估
一旦你通过最小二乘法或其他方法拟合了二次曲线并找到了其最小值的位置，可以通过绘制曲线并检查拟合效果来确认是否合适。
4. Python 实现：最小二乘法拟合二次曲线
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 假设有离散的数据点 (x, y)
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 5, 7, 11])
# 使用 NumPy 的 polyfit 函数拟合二次曲线（degree=2 表示二次多项式）
coeffs = np.polyfit(x, y, 2)
# 得到拟合的二次函数的系数
a, b, c = coeffs
# 打印出拟合的系数
print(f"拟合的二次函数是: y = {a}x^2 + {b}x + {c}")
# 计算最小值的位置
x_min = -b / (2 * a) # 最小值对应的 x 值
y_min = a * x_min**2 + b * x_min + c # 最小值对应的 y 值
print(f"最小值发生在 x = {x_min}, 对应的 y = {y_min}")
# 绘制原始数据点和拟合的二次曲线
x_fit = np.linspace(min(x), max(x), 100)
y_fit = a * x_fit**2 + b * x_fit + c
plt.scatter(x, y, color='red', label='Data Points') # 绘制离散点
plt.plot(x_fit, y_fit, label='Fitted Quadratic Curve') # 绘制拟合的曲线
plt.axvline(x=x_min, color='green', linestyle='--', label=f'Minimum at x = {x_min:.2f}')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Quadratic Fit and Minimum')
plt.show()
5. 解释代码
- 使用
np.polyfit函数拟合二次曲线，degree=2表示拟合一个二次多项式。 - 通过解析解得到最小值的位置 x m i n = − b 2 a x_{min}=-\frac{b}{2a} xmin=−2ab，并计算相应的 y m i n y_{min} ymin。
- 使用
matplotlib绘制原始数据点和拟合曲线，同时标出最小值的位置。
总结
通过最小二乘法进行二次曲线拟合，然后根据二次函数的性质（最小值发生在 x m i n = − b 2 a x_{min}=-\frac{b}{2a} xmin=−2ab）可以很容易地找到最小值。对于实际应用，可以使用优化算法（如梯度下降）来求解更复杂的曲线或数据。
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Artificial Intelligence - 会议时间：2025年2月21-23日
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- 收录检索：EI Compendex，Scopus