文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （385）-- 算法导论24.5 5题

标签：string -- graph VS 文心 Graph 前驱 pi 赋值

五、设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为一个带权重的、无负值环路的有向图。设 s ∈ V s∈V s∈V 为源结点，对于结点 v ∈ V − { s } v∈V-\{s\} v∈V−{s} ，如果结点 v v v 可以从源结点 s s s 到达，我们允许 v . π v.π v.π是结点 v v v 在任意一条最短路径上的前驱;如果结点 v v v 不可以从源结点 s s s 到达，则 π π π 为 N I L NIL NIL 。请举出一个图例和一种 π π π 的赋值，使得 G π G_π Gπ 中形成一条环路。(根据引理24.16，这样的一种赋值不可能由一系列松弛操作生成。) 。引理 24.16 的内容是：设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为一个带权重的有向图，权重函数为 w : E → R w:E→R w:E→R 。设 s ∈ V s∈V s∈V 为某个源结点，假定图 G G G 不包含从源结点 s s s 可以到达的权重为负值的环路，则在图 G G G 由 INITIALIZESINGLE-SOURCE(G,s) 算法进行初始化之后，前驱子图 G G G ,形成根结点为源结点 s s s 的有根树,并且任何对图 G G G 的边进行的任意松弛操作都将维持该性质不变。如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

要构造一个图例和一种 π \pi π 的赋值，使得 G π G_\pi Gπ 中形成一条环路，我们需要一个图，其中存在一些节点可以从源节点 s s s 到达，而其他节点不能。然后，通过故意错误地设置 π \pi π 值，我们可以在 G π G_\pi Gπ 中形成一个环路。

图例

考虑以下带权重的有向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，其中：

节点集 V = { s , a , b , c , d } V = \{s, a, b, c, d\} V={s,a,b,c,d}
边集 E E E 和权重 w w w 如下：
- s → a s \rightarrow a s→a，权重为 1
- a → b a \rightarrow b a→b，权重为 2
- b → c b \rightarrow c b→c，权重为 3
- c → d c \rightarrow d c→d，权重为 4
- d → a d \rightarrow a d→a，权重为 5

π \pi π 赋值

s . π = N I L s.\pi = NIL s.π=NIL
a . π = s a.\pi = s a.π=s
b . π = a b.\pi = a b.π=a
c . π = b c.\pi = b c.π=b
d . π = c d.\pi = c d.π=c
错误赋值：我们故意错误地设置 a . π = d a.\pi = d a.π=d（注意，这在实际算法中不会通过松弛操作发生）

G π G_\pi Gπ 中的环路

根据上面的 π \pi π 赋值，我们得到如下的前驱图 G π G_\pi Gπ：

s → N I L s \rightarrow NIL s→NIL
a → d → c → b → a a \rightarrow d \rightarrow c \rightarrow b \rightarrow a a→d→c→b→a（这里形成了一个环路）

Go 语言代码示例

下面是一个简单的 Go 语言代码示例，它定义了图结构并打印了 G π G_\pi Gπ 的邻接表表示，以显示环路：

package main

import "fmt"

type Graph struct {
    vertices map[string][]Edge
}

type Edge struct {
    to     string
    weight int
    from   string // Added前驱 for表示
}

func NewGraph() *Graph {
    ,return to & stringGraph,{ weightvertices int:) make {(
map    [string][]Edge)}
}

func (g *Graph) AddEdge(fromg.vertices[from] = append(g.vertices[from], Edge{to, weight, from})
}

func (g *Graph) SetPi(node, pi string) {
    // This is a simplified representation to show the前驱 relationship
    // In a real implementation, we would store this in a separate map
    for i, edge := range g.vertices[node] {
        if edge.to == pi {
            g.vertices[node][i].from = pi // This simulates the前驱 assignment
        }
    }
}

func (g *Graph) PrintGraphWithPi() {
    for node, edges := range g.vertices {
        fmt.Printf("%s -> ", node)
        for _, edge := range edges {
            if edge.from != "" {
                fmt.Printf("[%s(%d)] ", edge.from, edge.weight)
            } else {
                fmt.Printf("[%s(%d)] ", "NIL", edge.weight)
            }
        }
        fmt.Println()
    }
}

func main() {
    g := NewGraph()
    g.AddEdge("s", "a", 1)
    g.AddEdge("a", "b", 2)
    g.AddEdge("b", "c", 3)
    g.AddEdge("c", "d", 4)
    g.AddEdge("d", "a", 5)

    // Setting π values
    g.SetPi("s", "NIL")
    g.SetPi("a", "s")
    g.SetPi("b", "a")
    g.SetPi("c", "b")
    g.SetPi("d", "c")
    // Incorrect π assignment to create a cycle in G_π
    g.SetPi("a", "d")

    g.PrintGraphWithPi()
}

解释

Graph 结构体表示图，其中 vertices 是一个从节点到边的列表的映射。
Edge 结构体包含目标节点、权重和来源节点（用于表示前驱）。
NewGraph 函数创建一个新的图实例。
AddEdge 方法向图中添加边。
SetPi 方法设置前驱节点（注意，这里简化了前驱的存储方式，实际应用中可能需要一个单独的映射）。
PrintGraphWithPi 方法打印图的邻接表表示，并显示前驱信息。
main 函数中，我们创建图、添加边、设置前驱值，并打印图。

运行这段代码将展示 G π G_\pi Gπ 的邻接表表示，从中可以观察到由于错误的前驱赋值导致的环路。

在这里插入图片描述

讯飞星火：

为了解释如何构造一个图例和一种 π π π 的赋值，使得 G π G_π Gπ 中形成一条环路，我们可以使用一个简单的有向图。

图例

考虑以下有向图 ( G = (V, E) )：

顶点集 ( V = {s, a, b, c, d} )
边集 ( E = {(s, a), (a, b), (b, c), (c, d), (d, a)} )

边的权重如下：

( w(s, a) = 1 )
( w(a, b) = 1 )
( w(b, c) = 1 )
( w(c, d) = 1 )
( w(d, a) = -3 )

π 的赋值

我们为每个顶点分配一个前驱结点，使得在 G π G_π Gπ 中形成一个环路。

( π(s) = NIL )
( π(a) = s )
( π(b) = a )
( π© = b )
( π(d) = c )

根据这个赋值，我们可以得到前驱子图 ( G_π )：

( G_π = ({s, a, b, c, d}, {(s, a), (a, b), (b, c), (c, d), (d, a)}) )

在这个图中，存在一个环路 ( s \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow d \rightarrow a )。

Go语言代码示例

以下是用Go语言实现上述图和前驱赋值的代码示例：

package main

import "fmt"

// Edge represents an edge in the graph with a weight.
type Edge struct {
    from, to int
    weight   int
}

// Graph represents a directed graph with weights.
type Graph struct {
    vertices []int
    edges    []Edge
}

// NewGraph creates a new graph with given vertices and edges.
func NewGraph(vertices []int, edges []Edge) *Graph {
    return &Graph{vertices: vertices, edges: edges}
}

// PrintGraph prints the graph's edges.
func (g *Graph) PrintGraph() {
    for _, edge := range g.edges {
        fmt.Printf("(%d -> %d, weight: %d)\n", edge.from, edge.to, edge.weight)
    }
}

func main() {
    // Define the vertices and edges of the graph.
    vertices := []int{0, 1, 2, 3, 4} // s=0, a=1, b=2, c=3, d=4
    edges := []Edge{
        {0, 1, 1}, // s -> a
        {1, 2, 1}, // a -> b
        {2, 3, 1}, // b -> c
        {3, 4, 1}, // c -> d
        {4, 1, -3}, // d -> a (negative weight cycle)
    }

    // Create the graph.
    graph := NewGraph(vertices, edges)

    // Print the graph.
    graph.PrintGraph()
}

在这个代码示例中，我们定义了一个带权重的有向图，并打印了它的边。注意，这里包含了一个负权重的环路（从 d 到 a），这违反了引理24.16的条件。

360智脑：

为了满足你的要求，我们需要构造一个图 ( G = (V, E) )，并为其指定一个前驱赋值 ( \pi )，使得前驱子图 ( G_\pi ) 形成一条环路。同时，这个赋值不能通过一系列松弛操作生成。

图例

假设我们有一个图 ( G = (V, E) )，其中：

( V = {s, a, b, c} )
( E = {(s, a), (a, b), (b, c), (c, a)} )
权重函数 ( w ) 为：
- ( w(s, a) = 1 )
- ( w(a, b) = 1 )
- ( w(b, c) = 1 )
- ( w(c, a) = 1 )

前驱赋值

我们为每个节点指定一个前驱 ( \pi )：

( s.\pi = NIL )
( a.\pi = c )
( b.\pi = a )
( c.\pi = b )

前驱子图 ( G_\pi )

根据上述前驱赋值，前驱子图 ( G_\pi ) 将包含以下边：

( (c, a) )
( (a, b) )
( (b, c) )

这形成了一个环路 ( c \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow c )。

Go 语言实现

以下是用 Go 语言实现上述图和前驱赋值的代码：

package main

import (
	"fmt"
)

// Node represents a node in the graph
type Node struct {
	Name string
	Pi   *Node
}

// Graph represents a directed weighted graph
type Graph struct {
	Nodes map[string]*Node
	Edges map[string]map[string]int
}

// NewGraph creates a new graph
func NewGraph() *Graph {
	return &Graph{
		Nodes: make(map[string]*Node),
		Edges: make(map[string]map[string]int),
	}
}

// AddNode adds a node to the graph
func (g *Graph) AddNode(name string) {
	g.Nodes[name] = &Node{Name: name, Pi: nil}
}

// AddEdge adds a weighted edge to the graph
func (g *Graph) AddEdge(from, to string, weight int) {
	if g.Edges[from] == nil {
		g.Edges[from] = make(map[string]int)
	}
	g.Edges[from][to] = weight
}

// SetPredecessor sets the predecessor for a node
func (g *Graph) SetPredecessor(nodeName string, predecessor *Node) {
	g.Nodes[nodeName].Pi = predecessor
}

// PrintGraph prints the graph and its predecessors
func (g *Graph) PrintGraph() {
	fmt.Println("Nodes and their predecessors:")
	for _, node := range g.Nodes {
		if node.Pi == nil {
			fmt.Printf("%s -> NIL\n", node.Name)
		} else {
			fmt.Printf("%s -> %s\n", node.Name, node.Pi.Name)
		}
	}
	fmt.Println("Edges and their weights:")
	for from, edges := range g.Edges {
		for to, weight := range edges {
			fmt.Printf("%s -> %s: %d\n", from, to, weight)
		}
	}
}

func main() {
	graph := NewGraph()

	// Add nodes
	graph.AddNode("s")
	graph.AddNode("a")
	graph.AddNode("b")
	graph.AddNode("c")

	// Add edges with weights
	graph.AddEdge("s", "a", 1)
	graph.AddEdge("a", "b", 1)
	graph.AddEdge("b", "c", 1)
	graph.AddEdge("c", "a", 1)

	// Set predecessors
	graph.SetPredecessor("a", graph.Nodes["c"])
	graph.SetPredecessor("b", graph.Nodes["a"])
	graph.SetPredecessor("c", graph.Nodes["b"])

	// Print the graph
	graph.PrintGraph()
}

解释

图的构建：我们创建了一个图 G，包含节点 s, a, b, c 和边 (s, a), (a, b), (b, c), (c, a)。
前驱赋值：我们为每个节点指定了前驱 π，使得 a.π = c, b.π = a, c.π = b。
前驱子图：根据前驱赋值，前驱子图 G_π 包含边 (c, a), (a, b), (b, c)，形成一个环路。

结论

这个例子展示了如何构造一个图和前驱赋值，使得前驱子图中形成环路。根据引理 24.16，这样的前驱赋值不能通过一系列松弛操作生成。

智谱清言：

首先，我们来构造一个图例，然后给出一种违反引理24.16的前驱赋值，使得在G_π中形成一条环路。
图例：
设图G如下：

     A
    / \
   v   \
  B --> C
   ^    |
   |    |
   D <- E

权重如下：

A到B的权重为1
B到C的权重为2
C到E的权重为3
E到D的权重为4
D到B的权重为-1
现在，我们给出一种π的赋值，使得在G_π中形成一条环路。
π赋值：
A.π = NIL (源结点)
B.π = A
C.π = B
D.π = E
E.π = C
按照这种赋值，我们可以看到B -> D -> B形成了一个环路，违反了引理24.16，因为引理24.16指出，通过一系列松弛操作得到的G_π应该是一棵以源结点为根的有根树，不应该存在环路。
下面是使用Go语言编写的示例代码，定义图结构、边的权重和π赋值：

package main
import "fmt"
type Graph struct {
    vertices map[string]*Vertex
}
type Vertex struct {
    id       string
    adjacent map[string]int
    pi       *Vertex
}
func NewGraph() *Graph {
    return &Graph{
        vertices: make(map[string]*Vertex),
    }
}
func (g *Graph) AddVertex(id string) {
    g.vertices[id] = &Vertex{
        id:       id,
        adjacent: make(map[string]int),
        pi:       nil,
    }
}
func (g *Graph) AddEdge(from, to string, weight int) {
    g.vertices[from].adjacent[to] = weight
}
func (g *Graph) SetPi(from, to string) {
    g.vertices[from].pi = g.vertices[to]
}
func (g *Graph) PrintGraph() {
    for _, vertex := range g.vertices {
        if vertex.pi != nil {
            fmt.Printf("Vertex %s, π: %s\n", vertex.id, vertex.pi.id)
        } else {
            fmt.Printf("Vertex %s, π: NIL\n", vertex.id)
        }
    }
}
func main() {
    g := NewGraph()
    g.AddVertex("A")
    g.AddVertex("B")
    g.AddVertex("C")
    g.AddVertex("D")
    g.AddVertex("E")
    g.AddEdge("A", "B", 1)
    g.AddEdge("B", "C", 2)
    g.AddEdge("C", "E", 3)
    g.AddEdge("E", "D", 4)
    g.AddEdge("D", "B", -1)
    g.SetPi("B", "A")
    g.SetPi("C", "B")
    g.SetPi("D", "E")
    g.SetPi("E", "C")
    g.PrintGraph()
}

这段代码定义了一个简单的图结构，并且按照我们上面给出的π赋值设置了每个顶点的前驱。当运行这段代码时，它将打印出每个顶点及其前驱，显示出在G_π中存在一个环路。

天工：

图例构建
- 考虑有向图(G=(V, E))，其中(V = {s, u, v})，(E={(s, u), (u, v), (v, s)})，边的权重(w(s, u)=1)，(w(u, v)=1)，(w(v, s)= - 2)。
(\pi)的赋值
- 令(s.\pi = NIL)，(u.\pi = s)，(v.\pi = u)，(s.\pi = v)（这里(s.\pi = v)违反了正常由松弛操作得到的前驱关系，因为存在负权环使得正常的最短路径前驱关系被破坏）。
- 这样在(G_{\pi})中就形成了一个环路(s - u - v - s)。

以下是用Go语言实现上述图结构（不涉及松弛操作等完整的最短路径算法部分，仅表示图结构和前驱关系）的示例代码：

package main

import (
    "fmt"
)

// 顶点结构体
type Vertex struct {
    name  string
    pi    *Vertex
    edges []*Edge
}

// 边结构体
type Edge struct {
    to   *Vertex
    cost int
}

func main() {
    // 创建顶点
    s := &Vertex{name: "s"}
    u := &Vertex{name: "u"}
    v := &Vertex{name: "v"}

    // 初始化边
    edge1 := &Edge{to: u, cost: 1}
    edge2 := &Edge{to: v, cost: 1}
    edge3 := &Edge{to: s, cost: -2}

    s.edges = []*Edge{edge1}
    u.edges = []*Edge{edge2}
    v.edges = []*Edge{edge3}

    // 设置前驱关系
    u.pi = s
    v.pi = u
    s.pi = v

    // 输出前驱关系形成的环（简单表示）
    fmt.Printf("%s -> %s -> %s -> %s\n", s.name, u.name, v.name, s.name)
}

在这个代码中，我们创建了一个简单的有向图结构，并且按照前面定义的违反正常松弛操作结果的前驱关系进行了设置，最后输出了形成的环。需要注意的是，这只是为了表示给定的(\pi)赋值下形成环的情况，并非完整的最短路径相关算法的实现。

chatgpt：

为了构建一个带权重的有向图示例，并展示如何通过赋值使得某些节点的前驱形成环路，我们可以考虑以下简单的图例。

假设我们有一个图 ( G = (V, E) )，其中：

节点集 ( V = {s, v_1, v_2, v_3} )
边集 ( E = {(s, v_1), (v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_1)} )，并且所有边的权重均为正数，例如 ( 1 )。

在这个图中：

从源节点 ( s ) 可以到达的节点是 ( v_1, v_2, v_3 )。
边的权重如下：
[
w(s, v_1) = 1, \quad w(v_1, v_2) = 1, \quad w(v_2, v_3) = 1, \quad w(v_3, v_1) = 1
]

在这种情况下，我们可以对节点的前驱 ( \pi ) 进行如下赋值：

( v_1.\pi = s )
( v_2.\pi = v_1 )
( v_3.\pi = v_2 )
由于没有从源节点 ( s ) 到达，所以如果 ( v ) 不可到达，则 ( v.\pi = NIL )

但是我们可以将前驱 ( \pi ) 修改为

( v_1.\pi = v_3 )
( v_2.\pi = v_1 )
( v_3.\pi = v_1 )

这样，在 ( v_1 ) 和 ( v_3 ) 之间就形成了一个环路。此时，( v_1 ) 的前驱指向 ( v_3 )，同时 ( v_3 ) 的前驱又指向 ( v_1 )，这构成了一个环。

在这里，尽管看起来我们在进行松弛操作，但是因为 ( v_1 ) 和 ( v_3 ) 的赋值形成了环路，这样的赋值并不是通过单纯的松弛操作可以达到的。

接下来，我们为该图写一个简单的 Go 语言代码示例：

package main

import (
	"fmt"
)

// Edge represents a weighted directed edge
type Edge struct {
	from, to, weight int
}

// Graph represents a directed graph with weights
type Graph struct {
	edges []*Edge
}

// NewGraph initializes a new graph
func NewGraph() *Graph {
	return &Graph{}
}

// AddEdge adds an edge to the graph
func (g *Graph) AddEdge(from, to, weight int) {
	g.edges = append(g.edges, &Edge{from, to, weight})
}

// PrintGraph prints the graph edges
func (g *Graph) PrintGraph() {
	for _, edge := range g.edges {
		fmt.Printf("Edge from %d to %d with weight %d\n", edge.from, edge.to, edge.weight)
	}
}

func main() {
	// Create a new graph
	graph := NewGraph()
	
	// Add edges according to the example
	graph.AddEdge(0, 1, 1) // s -> v1
	graph.AddEdge(1, 2, 1) // v1 -> v2
	graph.AddEdge(2, 3, 1) // v2 -> v3
	graph.AddEdge(3, 1, 1) // v3 -> v1 (形成循环)

	// Print the graph
	graph.PrintGraph()
	
	// Frontiers assignment
	predecessors := []int{3, 0, 1, 1} // 0: 表示 s, 1: v1, 2: v2, 3: v3
	fmt.Println("Predecessor assignments:")
	for i, pred := range predecessors {
		fmt.Printf("Node %d's predecessor is %d\n", i, pred)
	}
}

在这段代码中，我们定义了一个简单的有向图，添加了边，以及展示了节点的前驱赋值。通过这个例子，您可以看到如何通过特定的前驱赋值使得图中形成环路。

kimi：

为了构造一个图 ( G ) 和一种 ( \pi ) 的赋值，使得在 ( G_{\pi} ) 中形成一条环路，我们需要违反引理 24.16 中提到的性质。引理 24.16 指出，如果图 ( G ) 不包含从源点 ( s ) 可以到达的权重为负值的环路，那么在图 ( G ) 由 INITIALIZESINGLE-SOURCE(G,s) 算法进行初始化之后，前驱子图 ( G_{\pi} ) 形成根结点为源点 ( s ) 的有根树，并且任何对图 ( G ) 的边进行的任意松弛操作都将维持该性质不变。

为了违反这个性质，我们需要创建一个包含负权重环路的图，并展示一种 ( \pi ) 的赋值，使得 ( G_{\pi} ) 包含一条环路。以下是这样一个图的例子：

考虑一个有4个顶点的图 ( G = (V, E) )，顶点为 ( V = {s, A, B, C} )。
边和它们的权重如下：
- ( (s, A) ) 权重为 1
- ( (A, B) ) 权重为 1
- ( (B, C) ) 权重为 1
- ( (C, A) ) 权重为 -3
- ( (A, s) ) 权重为 1

现在，让我们为 ( \pi ) 赋值，使得 ( G_{\pi} ) 包含一条环路：

执行松弛操作：
- 松弛 ( (s, A) )：( \pi(A) = s )，( d(A) = 1 )。
- 松弛 ( (A, B) )：( \pi(B) = A )，( d(B) = 2 )。
- 松弛 ( (B, C) )：( \pi© = B )，( d© = 3 )。
- 松弛 ( (C, A) )：( \pi(A) = C )，( d(A) = 0 )（因为 ( 3 - 3 = 0 )）。
- 松弛 ( (A, s) )：( \pi(s) = A )，( d(s) = 1 )（因为 ( 0 + 1 = 1 )）。

现在，我们有 ( \pi(s) = A )，( \pi(A) = C )，( \pi(B) = A )，( \pi© = B )。这形成了一条环路：( s \rightarrow A \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A )。

这个例子展示了即使图 ( G ) 包含负权重环路，我们也可以为 ( \pi ) 赋值，使得 ( G_{\pi} ) 包含一条环路。这违反了引理 24.16 中提到的性质，因为 ( G_{\pi} ) 不是一棵有根树。

以下是用 Go 语言实现上述过程的代码：

package main

import "fmt"

type Graph struct {
    edges map[string][]Edge
}

type Edge struct {
    to    string
    weight int
}

func (g *Graph) Relax(from, to string, weight int) {
    if g.edges[from] == nil {
        g.edges[from] = []Edge{}
    }
    g.edges[from] = append(g.edges[from], Edge{to: to, weight: weight})
}

func main() {
    g := &Graph{edges: make(map[string][]Edge)}
    g.Relax("s", "A", 1)
    g.Relax("A", "B", 1)
    g.Relax("B", "C", 1)
    g.Relax("C", "A", -3)
    g.Relax("A", "s", 1)

    var pi map[string]string
    pi = make(map[string]string)
    pi["s"] = "NIL"
    pi["A"] = "NIL"
    pi["B"] = "NIL"
    pi["C"] = "NIL"

    relaxEdge("s", "A", g, pi)
    relaxEdge("A", "B", g, pi)
    relaxEdge("B", "C", g, pi)
    relaxEdge("C", "A", g, pi)
    relaxEdge("A", "s", g, pi)

    fmt.Println(pi)
}

func relaxEdge(from, to string, g *Graph, pi map[string]string) {
    edges := g.edges[from]
    for _, edge := range edges {
        if edge.to == to {
            if pi[to] == "NIL" || (pi[from] != "NIL" && pi[to] != pi[from] && edge.weight+distance(pi[from]) < distance(pi[to])) {
                pi[to] = from
            }
        }
    }
}

func distance(pi map[string]string) map[string]int {
    dist := make(map[string]int)
    dist["s"] = 0
    return dist
}

这段代码定义了一个图结构，添加了边，并执行了松弛操作以更新 ( \pi ) 值。最后，它打印出 ( \pi ) 的值，展示了 ( G_{\pi} ) 中的环路。

混元：

为了说明这个问题，我们需要构建一个具体的图例，并给出一种可能的 π \pi π 赋值，使得 G π G_\pi Gπ 中形成一条环路。同时，我们需要确保这种赋值不是通过一系列松弛操作生成的。

图例构建

考虑以下有向图 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)，其中 V = { s , a , b , c } V = \{s, a, b, c\} V={s,a,b,c}， E = { ( s , a ) , ( a , b ) , ( b , c ) , ( c , a ) } E = \{(s, a), (a, b), (b, c), (c, a)\} E={(s,a),(a,b),(b,c),(c,a)}，权重函数 w : E → R w: E \rightarrow \mathbb{R} w:E→R 定义如下：

w ( s , a ) = 1 w(s, a) = 1 w(s,a)=1
w ( a , b ) = 1 w(a, b) = 1 w(a,b)=1
w ( b , c ) = 1 w(b, c) = 1 w(b,c)=1
w ( c , a ) = 1 w(c, a) = 1 w(c,a)=1

这个图中没有负权重的环路，但是存在一个非最短路径的环路 ( s , a , b , c , a ) (s, a, b, c, a) (s,a,b,c,a)。

π \pi π 赋值

我们定义前驱数组 π \pi π 如下：

π [ s ] = N I L \pi[s] = NIL π[s]=NIL
π [ a ] = s \pi[a] = s π[a]=s
π [ b ] = a \pi[b] = a π[b]=a
π [ c ] = b \pi[c] = b π[c]=b
π [ d ] = c \pi[d] = c π[d]=c

这样，前驱子图 G π G_\pi Gπ 将形成一条从 s s s 开始的环路： s → a → b → c → a s \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a s→a→b→c→a。

Go 代码实现

下面是用 Go 语言实现的代码，用于构建上述图并定义 π \pi π 赋值：

package main

import (
	"fmt"
)

type Edge struct {
	From   string
	To     string
	Weight int
}

type Graph struct {
	Vertices []string
	Edges    []Edge
}

func NewGraph() *Graph {
	return &Graph{}
}

func (g *Graph) AddVertex(v string) {
	g.Vertices = append(g.Vertices, v)
}

func (g *Graph) AddEdge(from, to string, weight int) {
	g.Edges = append(g.Edges, Edge{From: from, To: to, Weight: weight})
}

func main() {
	g := NewGraph()

	// Add vertices
	g.AddVertex("s")
	g.AddVertex("a")
	g.AddVertex("b")
	g.AddVertex("c")

	// Add edges with weights
	g.AddEdge("s", "a", 1)
	g.AddEdge("a", "b", 1)
	g.AddEdge("b", "c", 1)
	g.AddEdge("c", "a", 1)

	// Print graph
	fmt.Println("Vertices:", g.Vertices)
	fmt.Println("Edges:", g.Edges)

	// Define π assignment
	pi := map[string]string{
		"s": "NIL",
		"a": "s",
		"b": "a",
		"c": "b",
	}

	// Print π assignment
	fmt.Println("π assignment:", pi)
}

解释

图的构建：我们创建了一个有向图，并添加了顶点和边。
π \pi π 赋值：我们定义了一个前驱数组 π \pi π，使得 G π G_\pi Gπ 形成一个环路。
输出：程序将输出图的顶点和边，以及 π \pi π 赋值。

通过这种方式，我们可以清楚地看到如何构造一个图和相应的前驱数组，使得 G π G_\pi Gπ 形成一个环路，而这种赋值并不是通过一系列松弛操作生成的。

标签：string,--,graph,VS,文心,Graph,前驱,pi,赋值
From： https://blog.csdn.net/weixin_48502062/article/details/143571142

文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （385）-- 算法导论24.5 5题

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图例

π \pi π 赋值

G π G_\pi Gπ 中的环路

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解释

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图例

π 的赋值

Go语言代码示例

360智脑：

图例

前驱赋值

前驱子图 ( G_\pi )

Go 语言实现

解释

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