Kernel K-Means 聚类算法详解
目录
- 引言
- 聚类算法概述
- K-Means 算法回顾
- Kernel K-Means 算法概述
- Kernel K-Means 的工作原理
- Kernel K-Means 的算法步骤
- 数学基础
- Kernel K-Means 的优势
- Kernel K-Means 的缺点
- 应用场景
- Kernel K-Means 的变种
- 实现细节与优化
- 示例分析
- 代码实现
- 实践中的注意事项
- 扩展阅读
- 参考文献
引言
在数据挖掘和机器学习领域，聚类算法作为无监督学习的重要方法，旨在将数据集划分为若干个内部相似、外部不同的簇。标准的 K-Means 算法以其简单、高效而广泛应用，但在面对非线性可分的数据时，K-Means 的效果往往不尽人意。为了解决这一问题，Kernel K-Means（核 K-Means）算法应运而生，通过引入核技巧，将数据映射到高维特征空间，从而捕捉数据中的非线性关系，提升聚类效果。
本文将对 Kernel K-Means 算法进行详细解读，包括其工作原理、算法步骤、数学基础、优势与缺点、应用场景、实现细节与优化等多个方面，旨在帮助读者深入理解这一强大的聚类方法。
聚类算法概述
聚类（Clustering）是一种无监督学习方法，其目标是将数据集划分为若干个簇，使得同一簇内的数据点具有较高的相似性，而不同簇之间的数据点具有较低的相似性。聚类在多个领域有着广泛的应用，包括但不限于：
- 数据探索与分析：发现数据中的内在结构和模式。
- 图像处理：图像分割、图像压缩等。
- 市场营销：客户细分、市场调查分析等。
- 生物信息学：基因表达数据分析、蛋白质分类等。
- 社交网络分析：社群发现、影响力分析等。
- 金融数据分析：风险管理、投资组合优化等。
常见的聚类算法包括：
- K-Means：基于划分的聚类算法，通过迭代优化簇的质心实现聚类。
- 层次聚类：构建数据的层次树状结构，适用于发现多层次的聚类结构。
- DBSCAN：基于密度的聚类算法，能够识别任意形状的簇并自动识别噪声。
- 谱聚类：利用图论中的谱分解方法进行聚类，适用于复杂结构的数据。
在这些算法中，K-Means 以其简单易懂和高效性成为最为广泛应用的聚类方法之一。然而，标准 K-Means 算法在处理非线性可分的数据时效果有限，这促使研究人员提出了 Kernel K-Means 等改进算法，以提高聚类的灵活性和适应性。
K-Means 算法回顾
在深入探讨 Kernel K-Means 之前，有必要回顾一下标准 K-Means 算法的基本原理和步骤，以便更好地理解其改进之处。
标准 K-Means 算法步骤
标准 K-Means 算法的目标是将数据集 X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} X={x1,x2,...,xn} 划分为 K K K 个簇 S = { S 1 , S 2 , . . . , S K } S = \{S_1, S_2, ..., S_K\} S={S1,S2,...,SK}，每个簇由其质心 μ i \mu_i μi 代表。算法通过迭代优化，最小化簇内数据点与质心之间的距离平方和。标准 K-Means 算法主要包括以下步骤：
- 初始化：随机选择 K K K 个数据点作为初始质心。
- 分配阶段：将每个数据点分配到距离其最近的质心所在的簇。
- 更新阶段：重新计算每个簇的质心，通常为簇内所有数据点的均值。
- 迭代：重复分配和更新步骤，直到质心位置不再显著变化或达到预设的迭代次数，算法收敛。
标准 K-Means 的局限性
尽管 K-Means 算法在实际应用中表现出色，但其在处理非线性可分的数据和高维数据时存在一些显著的局限性：
- 线性可分性假设：K-Means 假设簇是凸的、线性可分的，对于非线性可分的数据，聚类效果往往不佳。
- 对初始值敏感：不同的初始质心可能导致不同的聚类结果，甚至可能陷入局部最优。
- 需要预先确定 K 值：簇的数量 K K K 需要事先指定，选择不当可能导致聚类效果不佳。
- 易受噪声和离群点影响：异常数据点可能显著影响质心位置，导致聚类结果偏差。
- 高维数据挑战：在高维数据中，距离计算可能受到“维度诅咒”的影响，导致聚类效果下降。
为了解决这些问题，研究人员提出了 Kernel K-Means 等改进算法，通过引入核技巧，将数据映射到高维特征空间，捕捉数据中的非线性关系，提升聚类效果。
Kernel K-Means 算法概述
算法背景
标准 K-Means 算法在处理非线性可分的数据时效果有限，因为它基于欧氏距离度量，无法捕捉数据中的复杂非线性结构。为了解决这一问题，Kernel K-Means 算法通过引入核技巧，将数据映射到高维特征空间，使得在高维空间中数据变得线性可分，从而在原始空间中实现非线性聚类。
核心思想
Kernel K-Means 的核心思想是利用核函数（Kernel Function）将数据从原始空间映射到高维特征空间，然后在特征空间中应用 K-Means 算法进行聚类。通过这种方式，Kernel K-Means 能够捕捉数据中的非线性关系，识别复杂形状的簇。
与标准 K-Means 的区别
| 特性 | 标准 K-Means | Kernel K-Means |
|---|---|---|
| 特征空间 | 原始空间 | 高维特征空间，通过核函数映射 |
| 距离度量 | 欧氏距离 | 核函数间接度量（不显式计算高维距离） |
| 可处理的数据类型 | 线性可分数据 | 非线性可分数据 |
| 计算复杂度 | 相对较低 | 高，需计算和存储核矩阵 |
| 参数选择 | 簇的数量 K K K | 簇的数量 K K K、核函数及其参数 |
| 算法实现 | 简单直接 | 需要核技巧的支持，通常通过核矩阵实现 |
Kernel K-Means 通过在高维空间中应用 K-Means 算法，能够更灵活地处理数据中的非线性结构，提升聚类效果。然而，这也带来了更高的计算复杂度和对核函数选择的依赖。
Kernel K-Means 的工作原理
核心思想
Kernel K-Means 的核心思想是在高维特征空间中应用 K-Means 算法，以捕捉数据中的非线性关系。具体而言，Kernel K-Means 通过核函数将数据映射到高维空间，然后在高维空间中进行聚类。由于直接在高维空间中计算距离和质心不切实际，Kernel K-Means 利用核技巧，通过内积的方式在不显式计算特征映射的情况下完成聚类。
与标准 K-Means 的区别
- 特征空间：标准 K-Means 在原始数据空间中进行聚类，而 Kernel K-Means 在高维特征空间中进行聚类。
- 距离度量：标准 K-Means 使用欧氏距离，而 Kernel K-Means 通过核函数间接度量高维空间中的距离。
- 算法步骤：尽管基本步骤类似（初始化、分配、更新），Kernel K-Means 需要计算和利用核矩阵来进行距离和质心的计算。
- 计算复杂度：Kernel K-Means 需要计算和存储核矩阵，导致计算复杂度较高，特别是在处理大规模数据集时。
通过这种方法，Kernel K-Means 能够在高维空间中识别复杂形状的簇，如环形、螺旋形等，而标准 K-Means 无法做到这一点。
Kernel K-Means 的算法步骤
Kernel K-Means 算法在标准 K-Means 的基础上，通过核技巧实现对高维特征空间的间接操作。以下是 Kernel K-Means 的详细算法步骤：
初始化
-
选择簇的数量 K K K：确定要划分的簇数 K K K。
-
选择核函数：选择合适的核函数，如线性核、多项式核、径向基函数（RBF）核等，根据数据的特性选择最适合的核函数。
-
计算核矩阵 K K K：核矩阵 K K K 是数据点之间核函数的值矩阵，大小为 n × n n \times n n×n，其中 n n n 是数据点的数量。
K i j = ϕ ( x i ) T ϕ ( x j ) = κ ( x i , x j ) K_{ij} = \phi(x_i)^T \phi(x_j) = \kappa(x_i, x_j) Kij=ϕ(xi)Tϕ(xj)=κ(xi,xj)
其中 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 是数据点 x x x 的特征映射， κ ( x i , x j ) \kappa(x_i, x_j) κ(xi,xj) 是核函数。
-
初始化簇标签：可以随机选择 K K K 个数据点作为初始簇标签，或使用 K-Means++ 等智能初始化方法选择初始簇标签。
计算核矩阵
-
核函数计算：根据选择的核函数计算数据点之间的核矩阵 K K K。
-
线性核：
κ ( x i , x j ) = x i T x j \kappa(x_i, x_j) = x_i^T x_j κ(xi,xj)=xiTxj
-
多项式核：
κ ( x i , x j ) = ( γ x i T x j + r ) d \kappa(x_i, x_j) = (\gamma x_i^T x_j + r)^d κ(xi,xj)=(γxiTxj+r)d
其中 γ \gamma γ、 r r r、 d d d 是核函数的参数。
-
径向基函数（RBF）核：
κ ( x i , x j ) = exp ( − γ ∥ x i − x j ∥ 2 ) \kappa(x_i, x_j) = \exp(-\gamma \|x_i - x_j\|^2) κ(xi,xj)=exp(−γ∥xi−xj∥2)
其中 γ \gamma γ 是核函数的参数。
-
簇分配
-
分配阶段：对于每个数据点 x i x_i xi，计算其到每个簇 C j C_j Cj 的距离，并将其分配到最近的簇。距离计算基于核矩阵。
在特征空间中，数据点 x i x_i xi 到簇 C j C_j Cj 的距离可以表示为：
d ( x i , C j ) 2 = κ ( x i , x i ) − 2 ∣ C j ∣ ∑ x ∈ C j κ ( x i , x ) + 1 ∣ C j ∣ 2 ∑ x , y ∈ C j κ ( x , y ) d(x_i, C_j)^2 = \kappa(x_i, x_i) - \frac{2}{|C_j|} \sum_{x \in C_j} \kappa(x_i, x) + \frac{1}{|C_j|^2} \sum_{x, y \in C_j} \kappa(x, y) d(xi,Cj)2=κ(xi,xi)−∣Cj∣2x∈Cj∑κ(xi,x)+∣Cj∣21x,y∈Cj∑κ(x,y)
其中 ∣ C j ∣ |C_j| ∣Cj∣ 是簇 C j C_j Cj 中数据点的数量。
计算每个数据点到所有簇的距离后，将数据点分配到距离最小的簇。
质心更新
-
更新阶段：在特征空间中重新计算每个簇的质心。由于无法显式计算特征映射，质心的更新需要通过核矩阵进行间接计算。
对于每个簇 C j C_j Cj，其质心的核表示可以通过簇内所有数据点的核和计算得到：
μ j = 1 ∣ C j ∣ ∑ x ∈ C j ϕ ( x ) \mu_j = \frac{1}{|C_j|} \sum_{x \in C_j} \phi(x) μj=∣Cj∣1x∈Cj∑ϕ(x)
然而，由于无法直接计算 μ j \mu_j μj，我们需要利用核矩阵进行计算和更新。
迭代与收敛
-
迭代：重复执行簇分配和质心更新阶段，直到满足以下任一收敛条件：
- 簇标签不再发生变化。
- 质心位置的变化小于预设的阈值。
- 达到预设的最大迭代次数。
通过多次迭代，Kernel K-Means 能够逐步优化簇的划分，提升聚类效果。
算法流程总结
-
初始化阶段：
- 确定簇的数量 K K K。
- 选择核函数并计算核矩阵 K K K。
- 初始化簇标签。
-
迭代阶段：
- 簇分配：根据核矩阵计算每个数据点到各簇的距离，并进行簇分配。
- 质心更新：通过核矩阵更新每个簇的质心。
- 收敛检测：检查是否满足收敛条件，若不满足则继续迭代。
通过这种方法，Kernel K-Means 能够在高维特征空间中实现非线性聚类，提升聚类的灵活性和适应性。
数学基础
理解 Kernel K-Means 的核心在于其目标函数和核技巧的数学基础。以下将详细介绍 Kernel K-Means 的目标函数、核技巧以及特征映射。
目标函数
Kernel K-Means 的目标函数与标准 K-Means 相同，旨在最小化簇内数据点与质心之间的距离平方和，但目标函数是在高维特征空间中定义的。
J = ∑ j = 1 K ∑ x i ∈ C j ∥ ϕ ( x i ) − μ j ∥ 2 J = \sum_{j=1}^{K} \sum_{x_i \in C_j} \| \phi(x_i) - \mu_j \|^2 J=j=1∑Kxi∈Cj∑∥ϕ(xi)−μj∥2
其中：
- ϕ ( x i ) \phi(x_i) ϕ(xi) 是数据点 x i x_i xi 在特征空间中的映射。
- μ j \mu_j μj 是簇 C j C_j Cj 在特征空间中的质心。
- K K K 是簇的数量。
通过展开距离平方和，可以将目标函数表示为：
J = ∑ j = 1 K ( ∑ x i ∈ C j ϕ ( x i ) T ϕ ( x i ) − 2 ∣ C j ∣ ∑ x i ∈ C j ∑ x k ∈ C j ϕ ( x i ) T ϕ ( x k ) + ∑ x i ∈ C j ∑ x k ∈ C j ϕ ( x i ) T ϕ ( x k ) ) J = \sum_{j=1}^{K} \left( \sum_{x_i \in C_j} \phi(x_i)^T \phi(x_i) - \frac{2}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} \sum_{x_k \in C_j} \phi(x_i)^T \phi(x_k) + \sum_{x_i \in C_j} \sum_{x_k \in C_j} \phi(x_i)^T \phi(x_k) \right) J=j=1∑K xi∈Cj∑ϕ(xi)Tϕ(xi)−∣Cj∣2xi∈Cj∑xk∈Cj∑ϕ(xi)Tϕ(xk)+xi∈Cj∑xk∈Cj∑ϕ(xi)Tϕ(xk)
利用核函数 κ ( x i , x j ) = ϕ ( x i ) T ϕ ( x j ) \kappa(x_i, x_j) = \phi(x_i)^T \phi(x_j) κ(xi,xj)=ϕ(xi)Tϕ(xj)，目标函数可以表示为：
J = ∑ j = 1 K ( ∑ x i ∈ C j κ ( x i , x i ) − 1 ∣ C j ∣ ∑ x i ∈ C j ∑ x k ∈ C j κ ( x i , x k ) ) J = \sum_{j=1}^{K} \left( \sum_{x_i \in C_j} \kappa(x_i, x_i) - \frac{1}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} \sum_{x_k \in C_j} \kappa(x_i, x_k) \right) J=j=1∑K xi∈Cj∑κ(xi,xi)−∣Cj∣1xi∈Cj∑xk∈Cj∑κ(xi,xk)
通过这种方式，Kernel K-Means 能够在不显式计算高维特征空间映射的情况下，利用核函数进行聚类。
核技巧（Kernel Trick）
核技巧是 Kernel K-Means 的核心，通过引入核函数将数据映射到高维特征空间，从而在高维空间中实现线性不可分的数据的聚类。核技巧的主要思想是通过核函数 κ ( x i , x j ) \kappa(x_i, x_j) κ(xi,xj) 计算数据点之间在高维特征空间中的内积，而无需显式计算特征映射 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)。
核函数满足 Mercer 定理，即存在一个非线性映射 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)，使得核函数可以表示为内积：
κ ( x i , x j ) = ϕ ( x i ) T ϕ ( x j ) \kappa(x_i, x_j) = \phi(x_i)^T \phi(x_j) κ(xi,xj)=ϕ(xi)Tϕ(xj)
常见的核函数包括：
-
线性核：
κ ( x i , x j ) = x i T x j \kappa(x_i, x_j) = x_i^T x_j κ(xi,xj)=xiTxj
-
多项式核：
κ ( x i , x j ) = ( γ x i T x j + r ) d \kappa(x_i, x_j) = (\gamma x_i^T x_j + r)^d κ(xi,xj)=(γxiTxj+r)d
其中 γ \gamma γ、 r r r、 d d d 是核函数的参数。
-
径向基函数（RBF）核：
κ ( x i , x j ) = exp ( − γ ∥ x i − x j ∥ 2 ) \kappa(x_i, x_j) = \exp(-\gamma \|x_i - x_j\|^2) κ(xi,xj)=exp(−γ∥xi−xj∥2)
其中 γ \gamma γ 是核函数的参数。
通过核技巧，Kernel K-Means 能够在高维特征空间中捕捉数据的非线性关系，提升聚类效果。
特征映射
特征映射 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 是将数据点从原始空间映射到高维特征空间的函数。对于 Kernel K-Means，特征映射通常是不显式定义的，通过核函数间接实现。
特征映射的选择依赖于核函数的选择，不同的核函数对应不同的特征映射。例如：
- 线性核：对应于恒等映射 ϕ ( x ) = x \phi(x) = x ϕ(x)=x。
- 多项式核：对应于多项式映射，将数据点映射到多项式特征空间。
- RBF 核：对应于无限维特征空间，能够捕捉复杂的非线性关系。
通过选择合适的核函数和特征映射，Kernel K-Means 能够灵活地适应不同类型的数据，提升聚类效果。
Kernel K-Means 的优势
Kernel K-Means 相较于标准 K-Means 算法，具有多方面的优势，使其在处理复杂数据集时表现出色。
捕捉非线性关系
标准 K-Means 基于欧氏距离度量，假设簇是凸的、线性可分的，对于非线性可分的数据，聚类效果有限。Kernel K-Means 通过引入核函数，将数据映射到高维特征空间，在高维空间中实现线性可分，从而能够捕捉数据中的非线性关系，识别复杂形状的簇，如环形、螺旋形等。
灵活性与多样性
Kernel K-Means 允许选择不同的核函数，根据数据的特性选择最适合的核函数。常见的核函数包括线性核、多项式核、RBF 核等，不同的核函数能够适应不同的数据分布和结构，提升聚类的灵活性和多样性。
适用于复杂数据结构
通过在高维特征空间中进行聚类，Kernel K-Means 能够处理复杂的数据结构，如非凸形状、大小差异较大的簇等。这使得 Kernel K-Means 在实际应用中更具适应性，能够应对各种复杂的聚类任务。
Kernel K-Means 的缺点
尽管 Kernel K-Means 具有诸多优势，但其在某些方面仍存在一些不足，需要在实际应用中加以注意。
计算复杂度高
Kernel K-Means 需要计算和存储核矩阵 K K K，其大小为 n × n n \times n n×n，其中 n n n 是数据点的数量。对于大规模数据集，核矩阵的计算和存储开销巨大，导致算法的计算复杂度显著增加，限制了其在大数据集上的应用。
选择核函数的困难
核函数的选择对聚类效果有着重要影响，不同的核函数适用于不同类型的数据。选择不当的核函数可能导致聚类效果不佳，甚至无法识别数据中的簇结构。通常需要通过交叉验证、经验法则或领域知识选择合适的核函数及其参数，增加了算法的调参难度。
对大规模数据集不友好
由于需要计算和存储核矩阵，Kernel K-Means 在处理大规模数据集时面临内存和计算资源的挑战。尽管可以采用一些近似方法和优化策略，但在数据量极大的情况下，算法的效率和可扩展性仍然受到限制。
应用场景
Kernel K-Means 由于其能够捕捉数据中的非线性关系和复杂结构，在多个领域有着广泛的应用，特别适用于需要处理复杂数据结构的聚类任务。
图像分割
在图像处理领域，Kernel K-Means 可用于图像分割，通过聚类图像中的像素点，实现对图像区域的精准划分。相比于标准 K-Means，Kernel K-Means 能够更好地处理图像中的复杂纹理和边缘，提升分割效果。
文档聚类
在自然语言处理和文本挖掘中，Kernel K-Means 可用于文档聚类，通过聚类相似的文档，实现主题建模和信息检索。通过核技巧，Kernel K-Means 能够捕捉文档之间的语义关系，提升聚类的准确性和相关性。
生物信息学
在生物信息学中，Kernel K-Means 可用于基因表达数据分析、蛋白质分类等任务。通过聚类相似的基因表达模式或蛋白质结构，辅助生物学研究和药物开发，揭示生物数据中的内在关系和模式。
社交网络分析
在社交网络分析中，Kernel K-Means 可用于社群发现、用户行为分析等任务。通过聚类相似的用户或社群结构，分析用户的互动关系和影响力传播路径，提升社交网络的管理和营销效果。
金融数据分析
在金融领域，Kernel K-Means 可用于风险管理、投资组合优化等任务。通过聚类相似的金融数据点，如股票、交易行为等，分析市场趋势和风险因素，辅助决策制定和风险控制。
Kernel K-Means 的变种
为了进一步提升 Kernel K-Means 的性能和适用性，研究人员提出了多种变种算法。这些变种在标准 Kernel K-Means 的基础上，引入了不同的改进策略，以适应不同的应用场景和数据特征。
稀疏 Kernel K-Means
稀疏 Kernel K-Means 通过引入稀疏性约束，减少核矩阵的计算和存储开销，提升算法在大规模数据集上的可扩展性。常用的方法包括利用稀疏核函数、低秩近似等技术，实现核矩阵的稀疏表示和高效计算。
在线 Kernel K-Means
在线 Kernel K-Means 适用于流数据和动态数据集，通过增量更新簇的质心和核矩阵，实时适应数据的变化。在线 Kernel K-Means 采用在线学习的策略，逐步更新模型参数，提升算法的实时性和适应性。
半监督 Kernel K-Means
半监督 Kernel K-Means 结合了监督学习和无监督学习的优势，通过利用部分标记数据指导聚类过程，提升聚类的准确性和相关性。半监督 Kernel K-Means 通过引入约束条件，如必须分配到特定簇、不能分配到某些簇等，优化聚类结果。
实现细节与优化
在实际应用中，为了充分发挥 Kernel K-Means 的优势，需要在算法实现过程中考虑多种细节和优化策略。这些优化不仅能提升算法的计算效率，还能改善聚类质量和算法的稳定性。
高效计算核矩阵
核矩阵的计算是 Kernel K-Means 的核心步骤，直接影响算法的计算复杂度和效率。为提高核矩阵的计算效率，可以采用以下方法：
- 批量计算：利用向量化操作和高效的数值计算库（如 NumPy、TensorFlow 等）实现核矩阵的批量计算，减少计算时间。
- 并行计算：通过多线程或分布式计算，利用多个处理器同时计算核矩阵的不同部分，提升计算速度。
- 内存优化：对于大规模数据集，采用分块计算和内存映射技术，减少内存消耗，避免内存溢出。
使用近似核方法
为减少核矩阵的计算和存储开销，可以采用近似核方法，通过低秩近似或稀疏表示，实现核矩阵的压缩和高效计算。
- 低秩近似：利用奇异值分解（SVD）、核主成分分析（Kernel PCA）等方法，将高维核矩阵近似为低秩矩阵，减少计算复杂度。
- 稀疏表示：采用稀疏核函数或启发式方法，构建稀疏核矩阵，降低存储和计算开销。
并行化计算
通过并行化计算，可以显著提升 Kernel K-Means 的运行速度和可扩展性。具体方法包括：
- 数据并行：将数据集分割为多个子集，在不同的处理器或节点上并行计算核矩阵和簇分配，提升计算效率。
- 模型并行：将簇的质心更新和核矩阵计算任务分配到不同的处理器或节点上，实现模型的并行化。
内存优化
在处理大规模数据集时，内存优化至关重要。可以通过以下方法优化内存使用：
- 内存映射：利用内存映射技术，将核矩阵和数据集映射到磁盘，避免将整个核矩阵加载到内存中。
- 数据压缩：采用数据压缩技术，对核矩阵和数据集进行压缩存储，减少内存占用。
- 稀疏矩阵表示：对于稀疏核矩阵，采用稀疏矩阵表示方法（如 CSR、CSC 格式），节省内存空间。
优化算法参数
合理调整算法参数能够提升 Kernel K-Means 的聚类效果和计算效率。常用的参数优化方法包括：
- 核函数参数调优：通过交叉验证、网格搜索等方法，选择最适合数据的核函数及其参数（如 RBF 核的 γ \gamma γ 值）。
- 簇数量 K K K 选择：通过肘部法则、轮廓系数等方法，选择合适的簇数量 K K K，避免过拟合或欠拟合。
- 迭代次数和收敛阈值：设置合理的最大迭代次数和收敛阈值，平衡算法的计算效率和聚类质量。
示例分析
通过一个具体的例子，可以更直观地理解 Kernel K-Means 的工作原理和优势。以下将展示数据生成、算法执行和结果分析的全过程。
数据生成与可视化
假设我们有一个二维数据集，包含多个非线性可分的簇，数据点分布复杂。以下是数据生成和初始分布的可视化：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_moons, make_circles
# 生成模拟数据：半月形数据集
X, y_true = make_moons(n_samples=500, noise=0.05, random_state=0)
# 绘制初始数据分布
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_true, s=50, cmap='viridis')
plt.title("初始数据分布")
plt.xlabel("特征1")
plt.ylabel("特征2")
plt.show()
Kernel K-Means 聚类过程
Kernel K-Means 的聚类过程包括初始化、核矩阵计算、簇分配、质心更新和收敛检测。以下是具体步骤的说明：