聚类算法——Spherical K-Means聚类算法详解

Spherical K-Means聚类算法详解

聚类分析是数据挖掘和机器学习中的重要任务之一，其目的是将数据集中的对象分组，使得同一组内的对象相似度高，而不同组之间的对象相似度低。K-Means聚类算法是最经典和最广泛使用的聚类算法之一。然而，K-Means算法在处理高维稀疏数据或基于余弦相似度的应用中表现不佳。为了解决这些问题，Spherical K-Means（球面K-Means）聚类算法应运而生。本文将对Spherical K-Means聚类算法进行详细、通俗易懂的解读，涵盖其基本原理、算法步骤、优缺点及应用场景等方面。

聚类分析概述

聚类分析是一种无监督学习方法，其目标是将数据集中的对象划分为若干个类别或簇，使得同一簇内的对象在某种意义上具有较高的相似性，而不同簇之间的对象具有较大的差异性。聚类分析广泛应用于市场细分、社交网络分析、图像处理、基因数据分析等领域。

聚类算法种类繁多，常见的包括层次聚类、K-Means、DBSCAN、谱聚类等。每种算法都有其适用的场景和特点，选择合适的聚类算法对于取得良好的聚类效果至关重要。

K-Means聚类算法回顾

基本原理

K-Means是一种基于划分的聚类方法，其目标是将数据集划分为K个簇，使得簇内数据点的平方误差最小。具体来说，K-Means通过迭代优化簇中心，使得每个数据点被分配到最近的簇中心，直到簇中心不再发生显著变化。

算法步骤

初始化：随机选择K个初始簇中心。
分配：将每个数据点分配到距离其最近的簇中心。
更新：计算每个簇的均值，作为新的簇中心。
迭代：重复步骤2和3，直到簇中心稳定或达到预定的迭代次数。

优缺点

优点：

简单易懂，易于实现。
计算效率高，适用于大规模数据集。

缺点：

需要预先指定K值。
对初始簇中心敏感，可能陷入局部最优。
对噪声和离群点敏感。
假设簇为凸形，难以处理复杂形状的簇。

Spherical K-Means聚类算法简介

Spherical K-Means（球面K-Means）是K-Means算法的一种变体，旨在解决高维稀疏数据或基于余弦相似度的聚类问题。与标准K-Means不同，Spherical K-Means在簇中心和数据点之间使用余弦相似度（或角度）作为相似度度量，而不是欧几里得距离。这使得Spherical K-Means特别适用于文本数据和其他高维稀疏数据的聚类。

Spherical K-Means的数学原理

余弦相似度

余弦相似度是一种衡量两个非零向量在向量空间中方向相似度的方法，其值介于-1和1之间。计算公式为：

cosine_similarity ( A , B ) = A ⋅ B ∣ ∣ A ∣ ∣ × ∣ ∣ B ∣ ∣ \text{cosine\_similarity}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{||\mathbf{A}|| \times ||\mathbf{B}||} cosine_similarity(A,B)=∣∣A∣∣×∣∣B∣∣A⋅B

其中， A ⋅ B \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} A⋅B表示向量的点积， ∣ ∣ A ∣ ∣ ||\mathbf{A}|| ∣∣A∣∣和 ∣ ∣ B ∣ ∣ ||\mathbf{B}|| ∣∣B∣∣分别表示向量的范数。

目标函数

Spherical K-Means的目标是最大化所有数据点与其所属簇中心之间的余弦相似度之和，等价于最小化余弦距离（即1 - 余弦相似度）的总和。数学表示为：

Maximize ∑ i = 1 N ∑ j = 1 K r i j ⋅ A i ⋅ C j ∣ ∣ A i ∣ ∣ × ∣ ∣ C j ∣ ∣ \text{Maximize} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{K} r_{ij} \cdot \frac{\mathbf{A}_i \cdot \mathbf{C}_j}{||\mathbf{A}_i|| \times ||\mathbf{C}_j||} Maximizei=1∑Nj=1∑Krij⋅∣∣Ai∣∣×∣∣Cj∣∣Ai⋅Cj

其中， N N N是数据点的数量， K K K是簇的数量， A i \mathbf{A}_i Ai是第 i i i个数据点， C j \mathbf{C}_j Cj是第 j j j个簇中心， r i j r_{ij} rij是指示变量，当数据点 i i i属于簇 j j j时， r i j = 1 r_{ij}=1 rij=1，否则 0 0 0。

簇中心的更新

在Spherical K-Means中，簇中心通过对簇内所有数据点进行归一化求和来更新。具体步骤如下：

对每个簇 j j j，计算簇内所有数据点的向量和：
S j = ∑ i ∈ S j A i \mathbf{S}_j = \sum_{i \in S_j} \mathbf{A}_i Sj=i∈Sj∑Ai
将 S j \mathbf{S}_j Sj归一化，得到新的簇中心：
C j = S j ∣ ∣ S j ∣ ∣ \mathbf{C}_j = \frac{\mathbf{S}_j}{||\mathbf{S}_j||} Cj=∣∣Sj∣∣Sj

为什么使用余弦相似度

在高维空间中，数据点往往是稀疏的，欧几里得距离可能无法有效衡量数据点之间的相似性。余弦相似度通过关注向量的方向而非幅度，使得它在高维稀疏数据中更具鲁棒性，尤其适用于文本数据表示（如TF-IDF向量）等场景。

Spherical K-Means算法步骤

Spherical K-Means的算法步骤与标准K-Means相似，但在相似度度量和簇中心更新上有所不同。具体步骤如下：

初始化簇中心：
- 随机选择K个数据点作为初始簇中心。
- 对每个簇中心进行归一化处理，使其长度为1。
分配数据点到最近的簇：
- 对于每个数据点 A i \mathbf{A}_i Ai，计算其与每个簇中心 C j \mathbf{C}_j Cj的余弦相似度：
  similarity i j = A i ⋅ C j ∣ ∣ A i ∣ ∣ \text{similarity}_{ij} = \frac{\mathbf{A}_i \cdot \mathbf{C}_j}{||\mathbf{A}_i||} similarityij=∣∣Ai∣∣Ai⋅Cj
- 将数据点分配到相似度最高的簇，即找到最大 similarity i j \text{similarity}_{ij} similarityij对应的簇 j j j。
更新簇中心：
- 对于每个簇 j j j，计算所有分配到该簇的数据点的向量和：
  S j = ∑ i ∈ S j A i \mathbf{S}_j = \sum_{i \in S_j} \mathbf{A}_i Sj=i∈Sj∑Ai
- 将 S j \mathbf{S}_j Sj归一化，得到新的簇中心 C j \mathbf{C}_j Cj：
  C j = S j ∣ ∣ S j ∣ ∣ \mathbf{C}_j = \frac{\mathbf{S}_j}{||\mathbf{S}_j||} Cj=∣∣Sj∣∣Sj
迭代：
- 重复步骤2和3，直到簇中心不再发生显著变化或达到预定的迭代次数。
终止条件：
- 簇分配不再发生变化。
- 簇中心的变化量低于设定的阈值。
- 达到最大迭代次数。

详细步骤解析

初始化簇中心

初始化簇中心是聚类算法中一个关键步骤，直接影响最终的聚类结果。Spherical K-Means通常采用随机选择K个数据点作为初始簇中心的方式。然而，为了提高稳定性和聚类效果，可以使用K-Means++等初始化方法，尽管这需要额外的计算开销。

数据点分配

在Spherical K-Means中，数据点的分配基于余弦相似度，而不是欧几里得距离。这意味着数据点会被分配到与其方向最接近的簇中心。这种方式特别适用于高维稀疏数据，因为它更关注数据点的方向信息，忽略了其幅度的影响。

计算余弦相似度时，为了提高计算效率，可以预先将所有数据点归一化。这样，余弦相似度计算简化为点积，因为 ∣ ∣ A i ∣ ∣ = 1 ||\mathbf{A}_i|| = 1 ∣∣Ai∣∣=1。

更新簇中心

簇中心的更新是通过对簇内所有数据点的向量进行求和，并归一化得到。这种方式确保了新的簇中心仍然是一个单位向量，保持了簇中心的方向信息。

具体来说，对于簇 j j j中的所有数据点 A i \mathbf{A}_i Ai，其簇中心 C j \mathbf{C}_j Cj更新为：

C j = ∑ i ∈ S j A i ∣ ∣ ∑ i ∈ S j A i ∣ ∣ \mathbf{C}_j = \frac{\sum_{i \in S_j} \mathbf{A}_i}{||\sum_{i \in S_j} \mathbf{A}_i||} Cj=∣∣∑i∈SjAi∣∣∑i∈SjAi

这种更新方式使得簇中心位于簇内数据点的“中心方向”。

迭代与终止

Spherical K-Means通过迭代不断优化簇中心和数据点的分配，直到满足终止条件。通常，算法会在簇分配稳定或簇中心变化极小时停止。为了防止无限迭代，通常设定一个最大迭代次数。

Spherical K-Means与标准K-Means的比较

特性	标准K-Means	Spherical K-Means
相似度度量	欧几里得距离	余弦相似度
簇中心更新	簇内数据点的均值	簇内数据点的归一化向量和
适用数据类型	一般数值型数据	高维稀疏数据，文本数据
对数据归一化的要求	不严格	通常需要归一化
对数据方向的敏感度	不敏感	高度敏感
算法复杂度	低	相似，但需要归一化

主要区别

相似度度量：
- 标准K-Means使用欧几里得距离，适用于聚类具有相似尺度和分布的数值型数据。
- Spherical K-Means使用余弦相似度，更适合高维稀疏数据，如文本数据中的TF-IDF向量。
簇中心更新：
- 标准K-Means通过计算簇内数据点的均值来更新簇中心。
- Spherical K-Means通过对簇内数据点进行向量求和并归一化来更新簇中心，保持了簇中心的方向信息。
数据预处理：
- 标准K-Means对数据的尺度敏感，通常需要对数据进行标准化处理。
- Spherical K-Means通常要求数据点是单位向量，即需要进行归一化处理。
应用场景：
- 标准K-Means适用于各种数值型数据的聚类。
- Spherical K-Means特别适用于文本数据、图像特征等高维稀疏数据的聚类。

应用场景

Spherical K-Means因其独特的相似度度量和簇中心更新方式，在以下领域表现尤为出色：

文本挖掘与自然语言处理

在文本挖掘中，文本通常被表示为高维稀疏向量，如TF-IDF向量。由于文本数据的特点，余弦相似度更能准确衡量文本之间的相似性。因此，Spherical K-Means在文本分类、主题建模、文档聚类等任务中得到了广泛应用。

图像处理

在图像特征提取中，常使用高维特征向量描述图像内容。Spherical K-Means能够有效处理这些高维特征，进行图像的聚类与分类。

生物信息学

在基因表达数据分析中，基因表达数据通常是高维的且具有稀疏性。Spherical K-Means能够有效地对基因进行聚类，揭示基因之间的潜在关系。

优缺点分析

优点

适用于高维稀疏数据：Spherical K-Means在处理高维稀疏数据时表现优异，尤其适用于文本数据等场景。
基于余弦相似度：余弦相似度更加关注数据点的方向信息，忽略了幅度的影响，适用于需要比较方向的任务。
计算效率高：与标准K-Means类似，Spherical K-Means的计算复杂度较低，适用于大规模数据集。
简单易实现：算法步骤与标准K-Means类似，容易理解和实现。

缺点

需要预先指定K值：与K-Means相同，Spherical K-Means需要预先指定簇的数量K，这在实际应用中可能不易确定。
对初始簇中心敏感：初始簇中心的选择可能影响最终的聚类结果，容易陷入局部最优。
无法处理非球形簇：由于基于余弦相似度，Spherical K-Means对簇形状仍有一定假设，难以处理复杂形状的簇。
需要数据归一化：算法通常要求数据点为单位向量，增加了预处理步骤。

实战案例

以下通过一个实际案例，展示如何应用Spherical K-Means进行文本数据的聚类。

案例背景

假设我们有一个包含数千篇新闻文章的数据集，希望将这些文章按照主题进行聚类，以便进行主题分析和信息检索。

数据预处理

文本清洗：去除标点符号、数字、停用词等无关内容。
分词：将文本分割成单词或词组。
向量化：使用TF-IDF将文本转换为高维稀疏向量。
归一化：将每个向量归一化为单位向量，以便后续的余弦相似度计算。

聚类过程

选择K值：根据预期的主题数量，或通过方法如肘部法则确定K值。
初始化簇中心：随机选择K个归一化后的向量作为初始簇中心。
迭代聚类：
- 计算每个文档与所有簇中心的余弦相似度。
- 将文档分配到相似度最高的簇。
- 更新簇中心为簇内所有文档向量的归一化和。
- 重复以上步骤，直到簇分配稳定或达到最大迭代次数。
结果分析：
- 通过查看每个簇的关键词，分析每个簇对应的主题。
- 对簇内文档进行进一步的分析和应用。

实施效果

通过Spherical K-Means聚类，成功将数千篇新闻文章分为若干主题簇，每个簇内的文章主题相似度高，便于后续的信息检索和主题分析。

总结

Spherical K-Means聚类算法是K-Means算法的一个重要扩展，专门针对高维稀疏数据和基于余弦相似度的聚类需求而设计。通过使用余弦相似度作为相似度度量，并对簇中心进行归一化，Spherical K-Means在文本挖掘、图像处理、推荐系统等领域展现了卓越的性能。

尽管Spherical K-Means在许多应用中表现出色，但其依然存在需要预先指定K值、对初始簇中心敏感等局限。因此，在实际应用中，选择合适的初始化方法和合理确定K值是提高聚类效果的关键。

随着数据规模和维度的不断增加，聚类算法的发展仍然面临诸多挑战。Spherical K-Means作为一种高效、简单且适用性强的聚类方法，必将在更多领域得到广泛应用和进一步优化。

术语表

聚类分析（Clustering Analysis）：一种将数据集划分为若干个簇的过程，使得同一簇内的数据点相似度高，不同簇之间相似度低。
K-Means算法：一种基于划分的聚类方法，通过迭代优化簇中心，使簇内数据点的平方误差最小。
余弦相似度（Cosine Similarity）：衡量两个向量在向量空间中方向相似度的指标，忽略其幅度。
高维稀疏数据：数据具有大量特征，但每个数据点只有少数特征非零的特性，常见于文本数据等领域。
TF-IDF：词频-逆文档频率，一种用于文本挖掘的统计方法，用于评估一个词对于一个文档的重要性。

常见问题解答（FAQ）

Q1: Spherical K-Means与标准K-Means的主要区别是什么？

A1: Spherical K-Means使用余弦相似度作为相似度度量，并通过归一化簇中心来保持方向信息，而标准K-Means使用欧几里得距离并通过计算簇内均值来更新簇中心。前者更适用于高维稀疏数据。

Q2: 如何选择合适的K值？

A2: 常用的方法包括肘部法则、轮廓系数法、信息准则法（如BIC、AIC）等。此外，结合领域知识和实际需求也是确定K值的重要途径。

Q3: Spherical K-Means是否可以处理非球形簇？

A3: Spherical K-Means假设簇为球形，基于余弦相似度进行分配，因此在处理非球形簇时效果可能不佳。对于复杂形状的簇，其他聚类算法如DBSCAN或谱聚类可能更为适用。

Q4: Spherical K-Means对数据的预处理有什么要求？

A4: 通常需要将数据点归一化为单位向量，以便准确计算余弦相似度。此外，去除噪声和异常值也有助于提高聚类效果。

Q5: 如何提高Spherical K-Means的聚类效果？

A5: 可以通过优化初始化方法（如K-Means++）、调整K值、进行适当的数据预处理（如降维、去噪）等方式来提高聚类效果。

附录

数学推导

目标函数的推导

在标准K-Means中，目标是最小化簇内平方误差：

Minimize ∑ j = 1 K ∑ i ∈ S j ∣ ∣ A i − C j ∣ ∣ 2 \text{Minimize} \sum_{j=1}^{K} \sum_{i \in S_j} ||\mathbf{A}_i - \mathbf{C}_j||^2 Minimizej=1∑Ki∈Sj∑∣∣Ai−Cj∣∣2

展开平方项，有：

∣ ∣ A i − C j ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ A i ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ C j ∣ ∣ 2 − 2 A i ⋅ C j ||\mathbf{A}_i - \mathbf{C}_j||^2 = ||\mathbf{A}_i||^2 + ||\mathbf{C}_j||^2 - 2 \mathbf{A}_i \cdot \mathbf{C}_j ∣∣Ai−Cj∣∣2=∣∣Ai∣∣2+∣∣Cj∣∣2−2Ai⋅Cj

由于 C j \mathbf{C}_j Cj是簇内数据点的均值，固定簇内点的数目后，最小化目标函数等价于最大化数据点与簇中心的点积总和：

Maximize ∑ j = 1 K ∑ i ∈ S j A i ⋅ C j \text{Maximize} \sum_{j=1}^{K} \sum_{i \in S_j} \mathbf{A}_i \cdot \mathbf{C}_j Maximizej=1∑Ki∈Sj∑Ai⋅Cj

在Spherical K-Means中，考虑余弦相似度：

cosine_similarity ( A i , C j ) = A i ⋅ C j ∣ ∣ A i ∣ ∣ × ∣ ∣ C j ∣ ∣ \text{cosine\_similarity}(\mathbf{A}_i, \mathbf{C}_j) = \frac{\mathbf{A}_i \cdot \mathbf{C}_j}{||\mathbf{A}_i|| \times ||\mathbf{C}_j||} cosine_similarity(Ai,Cj)=∣∣Ai∣∣×∣∣Cj∣∣Ai⋅Cj

假设所有数据点 A i \mathbf{A}_i Ai已归一化，即 ∣ ∣ A i ∣ ∣ = 1 ||\mathbf{A}_i|| = 1 ∣∣Ai∣∣=1，且簇中心 C j \mathbf{C}_j Cj也归一化，即 ∣ ∣ C j ∣ ∣ = 1 ||\mathbf{C}_j|| = 1 ∣∣Cj∣∣=1，则余弦相似度简化为点积：

cosine_similarity ( A i , C j ) = A i ⋅ C j \text{cosine\_similarity}(\mathbf{A}_i, \mathbf{C}_j) = \mathbf{A}_i \cdot \mathbf{C}_j cosine_similarity(Ai,Cj)=Ai⋅Cj

因此，Spherical K-Means的目标函数可以表示为最大化所有数据点与其所属簇中心的点积总和。

簇中心更新的推导

为了最大化点积总和，新的簇中心 C j \mathbf{C}_j Cj应当指向簇内所有数据点的平均方向。具体步骤如下：

计算簇内所有数据点的向量和：
S j = ∑ i ∈ S j A i \mathbf{S}_j = \sum_{i \in S_j} \mathbf{A}_i Sj=i∈Sj∑Ai
归一化 S j \mathbf{S}_j Sj，得到新的簇中心：
C j = S j ∣ ∣ S j ∣ ∣ \mathbf{C}_j = \frac{\mathbf{S}_j}{||\mathbf{S}_j||} Cj=∣∣Sj∣∣Sj

这种更新方式确保了簇中心在方向上尽可能代表簇内所有数据点的平均方向，从而最大化余弦相似度总和。

算法伪代码

以下是Spherical K-Means算法的伪代码：

输入：
    数据集 A = {A1, A2, ..., AN}，每个 Ai 是d维向量
    簇数 K
    最大迭代次数 max_iters

输出：
    簇中心 C = {C1, C2, ..., CK}
    簇分配 R = {R1, R2, ..., RN}

步骤：
1. 对每个数据点 Ai，归一化为单位向量：
    Ai = Ai / ||Ai||

2. 随机选择K个数据点作为初始簇中心 Cj，j = 1, 2, ..., K
    并归一化 Cj = Cj / ||Cj||

3. 迭代以下步骤，直到收敛或达到最大迭代次数：
    a. 对每个数据点 Ai，计算与每个簇中心 Cj 的余弦相似度：
        similarity_ij = Ai · Cj
    b. 将 Ai 分配到具有最高 similarity_ij 的簇：
        R_i = argmax_j (similarity_ij)
    c. 对于每个簇 Cj，更新簇中心：
        S_j = Σ Ai (所有分配到 Cj 的 Ai)
        如果 S_j ≠ 0，则：
            Cj = S_j / ||S_j||
        否则：
            随机选择一个数据点作为新的 Cj

4. 返回簇中心 C 和簇分配 R

常用优化技巧

初始化优化：使用K-Means++等方法初始化簇中心，可以提高算法的收敛速度和聚类效果。
并行计算：利用并行计算技术加速相似度计算和簇中心更新，适用于大规模数据集。
降维处理：在聚类前进行主成分分析（PCA）或其他降维方法，减少计算量并去除噪声。
增量式聚类：对于动态数据集，采用增量式Spherical K-Means，逐步更新簇中心以适应新数据。

实现示例（Python）

以下是使用Python实现Spherical K-Means的简单示例：

import numpy as np
from sklearn.preprocessing import normalize
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity

def spherical_kmeans(X, K, max_iters=100):
    # 归一化数据
    X_normalized = normalize(X, norm='l2')
    
    # 随机初始化簇中心
    indices = np.random.choice(X_normalized.shape[0], K, replace=False)
    C = X_normalized[indices]
    
    for it in range(max_iters):
        # 计算相似度
        similarities = cosine_similarity(X_normalized, C)
        
        # 分配簇
        R = np.argmax(similarities, axis=1)
        
        # 更新簇中心
        C_new = np.zeros_like(C)
        for j in range(K):
            members = X_normalized[R == j]
            if len(members) > 0:
                C_new[j] = np.mean(members, axis=0)
                C_new[j] = C_new[j] / np.linalg.norm(C_new[j])
            else:
                # 如果簇为空，随机选择一个数据点作为新簇中心
                C_new[j] = X_normalized[np.random.choice(X_normalized.shape[0])]
        
        # 检查收敛
        if np.allclose(C, C_new):
            break
        C = C_new
    
    return C, R

# 示例使用
if __name__ == "__main__":
    from sklearn.datasets import fetch_20newsgroups
    from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer

    # 加载数据
    newsgroups = fetch_20newsgroups(subset='train')
    vectorizer = TfidfVectorizer(stop_words='english')
    X = vectorizer.fit_transform(newsgroups.data).toarray()

    # 运行Spherical K-Means
    K = 20
    centers, assignments = spherical_kmeans(X, K)

    print("聚类完成。")

结语

Spherical K-Means聚类算法作为标准K-Means的有效扩展，凭借其基于余弦相似度的特点，在处理高维稀疏数据时展现出了显著优势。随着数据规模和复杂性的不断增加，选择合适的聚类算法成为数据分析中的关键一步。

标签：Spherical,Cj,mathbf,Means,算法,聚类,数据
From： https://blog.csdn.net/qq_44648285/article/details/143426127