卡尔曼滤波算法的学习总结

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本文为作者学习卡尔曼滤波算法后的学习总结，如有错误请指正，万分感谢！

前言

本文学自B站up主华南小虎队，原视频讲得很好，推荐去观看。原视频卡尔曼滤波讲解

一、简介

（1）作用

在学习卡尔曼滤波之前，我们首先要明白在使用该滤波器后，可以给我们带来什么好处？

在此给读者举出一个例子，方便更加直观地理解。

假若这是一个超声波测距输出的距离信号与时间关系的坐标轴。

红色波浪线代表为滤波的信号，可以看到未滤波前的信号起伏较大，导致其所产生的误差会对我们的信号采集产生影响。

为了得到一个相对稳定的信号，我们需要对信号进行滤波，图中的紫色波浪线就是滤波后的信号，可以看到数据平稳了很多，能够更好的被我们使用。

（2）应用系统

卡尔曼滤波适用于线性、高斯系统。

1.线性

线性指的是输入对输出造成影响，例如 y = kx+b。x的改变会对输出 y 的结果进行改变。

2.高斯

信号的噪声满足高斯分布，即在均值的某一方差范围内，噪声出现的概率普遍较高。

（3）原理

从宏观意义上来看，卡尔曼滤波的本质是对数据权重的调整。

在卡尔曼中，有一个估计值和观测值，我们通过对两个值的权重调整，得到最优结果。

二、状态空间表达式

在上文的简介中，我们初步了解了卡尔曼滤波的概念，此时我们需要引入两个方程来进一步学习。

（1）状态方程

$X_{k}$ = $AX_{k-1}$ + $Bu_{k}$ + $W_{k}$

$X_{k}$ 是当前状态的当前值
$AX_{k-1}$ 就是 A * 上一个时刻的值，A 是某种关系，可以理解成一个系数。
$Bu_{k}$ 是 B * 当前状态的输入值，同理，B也可以理解成一个系数。
$W_{k}$ 是过程中产生的噪声，指外界条件（非人为）对当前状态产生影响。

（2）观测方程

$Y_{k}$ = C* $X_{k}$ + $v_{k}$

$X_{k}$ 就是状态方程的输出结果。
$v_{k}$ 是观测噪声，与观测仪器的误差有关。
C 是一个系数。

从状态方程和观测方程的表达式中，我们可以得到以下框图

（3）示例

这里用一个对水壶加热的例子来进行理解加深

在这个例子中

我们可以对状态方程的表达式进行拆解 $X_{k}$ = $AX_{k-1}$ + $Bu_{k}$ + $W_{k}$

$AX_{k-1}$ 是上一时刻的水温。

$Bu_{k}$ 是在这一时段内，水上升的温度。

$W_{k}$ 是外界条件造成的噪声影响

由此我们可得出 $X_{k}$ 的值

再将其带入观测方程表达式，加上 $v_{k}$ 观测器的误差，即可获得 $Y_{k}$ 的值。

三、参数分析

（1）高斯白分布

$W_{k}$ （过程噪声）和 $v_{k}$ （观测噪声）都符合高斯白分布，即均值为0的高斯分布

（2）参数定义

因为 $v_{k}$ 符合正态分布，所以可以设它的均值为0，方差为 $R_{k}$ 。

例：我们可以根据 GPS 来定位一个物体的位置，此时可以确定该物体在 1000m处，误差在8米之内，那么此时8米就是 $v_{k}$ （观测噪声），方差 $R_{k}$ 可以是1m。

同理，可以设 $W_{k}$ 的均值为0，方差为 $Q_{k}$ 。

例：若现有一个滑板以 5m/s 的速度在运动，此时可能有一股8m/s的顺风来加快滑板的运动，那么8m/s就是 $W_{k}$ （过程噪声），方差 $Q_{k}$ 可以是1m/s。

（3）超参数

使用卡尔曼滤波时需要调节Q、R这两个参数的值，也就是过程噪声的方差和观测噪声的方差。

如果运动状态很理想，几乎没有噪声，那么Q就可以调小，反之则调大。

若观测器精度较高，那么R就可以调小，反之则调大。

四、卡尔曼公式理解

（1）汇总

先分析公式之前，我们首先需要先知道卡尔曼滤波的实现过程，简单来说，该过程就是使⽤上⼀次的最优结果预测当前的值,同时使⽤观测值修正当前值,得到最优结果。

（2）先验估计

这个公式左边的值被称为先验估计值。

右边的第一个部分为 F * 上一个时刻的最优估计值（最终滤波结果），F为状态转移矩阵。

第二部分则是控制输入部分，B为控制矩阵。

（3）先验估计协方差

这个公式的左边是先验估计值的协方差，并且它是由先验估计值推算而来的。

在进行推算之前，我先引入两种协方差的表达公式，如下图所示

由于这个公式是求的先验估计值的协方差，所以我们可以直接将式子的左边替换，具体推算过程如下图。

（4）修正估计

这个公式的左边部分是卡尔曼滤波的最终结果。

右边部分是先验估计值加上 $K_{t}$ （卡尔曼增益）*（观测值 - 先验估计值）。

如果状态模型很理想，几乎没有误差，那么先验估计值就为可信， $K_{t}$ 可以调小。

如果观测器更为精准，则调大 $K_{t}$ ，增加观测值的权重。

（5）更新卡尔曼增益

可以根据先验估计协方差的结果来对这里进行推导。由于只需要求一个状态量，所以H矩阵可以简化成 1。

（6）更新后验估计协方差

这个公式的左边部分是最优估计值的协方差，右边部分是先验估计值协方差 * 一个矩阵关系。

I 是一个单位矩阵。

（7）小结

在分析完这五个公式后，我们可以得知这是一个循环的过程，使得最终滤波结果会越来越精准。

简单来说，可以理解为：

先验估计值 = 上一时刻的最优估计值*矩阵 + 控制输入
先验估计协方差 = 上一时刻的最优估计值*矩阵 + 过程噪声协方差
卡尔曼增益可以看似与 Q和R有关的表达式
最优估计值 = 先验估计值 + 卡尔曼增益*（测量值 - 先验估计值）
最优估计协方差 = （单位矩阵 - 卡尔曼增益）*先验估计协方差

五、卡尔曼滤波的使用

选择状态量、观测量
根据状态模型、观测模型构建方程
初始化参数（Q、R、P等等）
代入公式迭代
调节超参数

总结

本文简单分析了卡尔曼滤波的原理和公式，希望对各位读者有所帮助。

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