经典算法：快速排序

快速排序

快速排序是对[[冒泡排序]]的优化，使用了分治的思想。

步骤

1. 选择基准元素（Pivot）：从数组中选择一个元素作为基准。常见的选择方法有：

   • 选择第一个元素
   • 选择最后一个元素
   • 选择中间的元素
   • 随机选择一个元素
   • 三数取中法（选择第一个、最后一个和中间值的中间值）

2. 划分操作（Partition）：将数组重新排列，使得所有小于基准的元素都位于基准的左侧，而所有大于基准的元素都位于基准的右侧。基准元素位于最终位置。理想情况下左右划分应相对均匀。

3. 递归排序：

   • 对基准左侧的子数组进行快速排序
   • 对基准右侧的子数组进行快速排序

4. 合并：由于快速排序是在原地排序（in-place），不需要额外的合并步骤。

复杂度分析

理想情况(平均情况)

• 假设划分均匀，那么共需要 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)时间。
• 每次划分对每个数排序，即n次。时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

最坏情况

• 原数组有序，且基准元素选择不优秀；
  假设有数组[1,2,3,4,5,6,7,8,9]，基准元素为最后一个，递增排序；

第一次划分

• 基准：9
• 左侧子数组：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
• 右侧子数组：[]

第二次划分

• 基准：8
• 左侧子数组：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
• 右侧子数组：[]

第三次划分

• 基准：7
• 左侧子数组：[1, 2, 3, 4, 5, 6]
• 右侧子数组：[]

可以看出，这其实就是冒泡，复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，也可以看出，这个算法不稳定

总结

• 快速排序是一种高效的排序算法，平均时间复杂度为 O ( n l o g ⁡ n ) O(nlog⁡n) O(nlog⁡n)
• 在最坏情况下，时间复杂度可能退化为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，但通过优化基准元素的选择，可以减少这种情况的发生。
• 快速排序是不稳定的排序算法，可能会改变相同元素的相对顺序。

模板

#define MAX_N 1000000

int N;
int nums[MAX_N];

int partition(int low, int high)
{
    int pivot = nums[low];
    while (low < high)
    {
        while (low < high && nums[high] >= pivot) high--;
        nums[low] = nums[high];
        while (low < high && nums[low] <= pivot) low++;
        nums[high] = nums[low];
    }
    nums[low] = pivot;
    return low;
}

void qsort(int low, int high)
{
    if (low < high)
    {
        int mid = partition(low, high);
        qsort(low, mid - 1);
        qsort(mid + 1, high);
    }
}