FFT快速傅里叶变换介绍
FFT（快速傅里叶变换）是计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的一种高效算法。DFT是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，而FFT通过减少计算量来加速这一过程。
FFT的基本思想
FFT利用了DFT中的对称性和周期性，通过分而治之的策略将DFT分解为更小的DFT，从而显著减少计算复杂度。对于长度为N的序列，直接计算DFT的复杂度是O(N^2)，而FFT的复杂度可以降低到O(N log N)。
FFT的算法步骤（以Cooley-Tukey算法为例）
选择分解：首先，将N（序列长度）分解为两个较小的因子，通常是选择N的偶数因子。最常见的分解是将N分解为两个相等的因子（即N为2的幂）。
重新排序（位反转）：对输入序列进行位反转排序，这是为了将输入序列重新排列成一种便于后续处理的顺序。
蝶形运算：FFT算法的核心是蝶形运算。在蝶形运算中，两个输入（通常来自序列的特定位置）通过一系列乘法和加法操作结合成一个输出。这个过程在算法的不同层级上重复进行。
逐层计算：FFT算法通过逐层（从最低层到最高层）应用蝶形运算来计算DFT。每一层都基于前一层的输出，并且每一层的计算都更加接近最终的DFT结果。
Python FFT快速傅立叶变换
在Python中，实现快速傅里叶变换（FFT）的一种简便方法是使用numpy库中的fft模块。numpy提供了高效的FFT算法实现，能够处理一维或多维数组。
以下是一个简单的例子，展示如何使用numpy中的fft.fft函数来计算一维数组的FFT。
首先，确保你已经安装了numpy库。如果没有安装，可以通过pip安装：
pip install numpy
然后，你可以使用以下Python代码来计算FFT：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 创建一个样本信号，例如一个包含正弦波和余弦波的复合信号
Fs = 1000 # 采样频率
T = 1/Fs # 采样周期
L = 1500 # 信号长度
t = np.linspace(0, L-1, L)*T # 时间向量
# 创建一个复合信号
S = 0.7*np.sin(2*np.pi*50*t) + np.sin(2*np.pi*120*t)
# 使用numpy的fft函数计算FFT
Y = np.fft.fft(S)
# 获取FFT的频率轴
P2 = np.abs(Y/L)
P1 = P2[:L//2+1]
P1[1:-1] = 2*P1[1:-1] # 去除对称性
f = Fs*np.arange(0,(L//2+1))/L
# 绘制FFT的幅度谱
plt.figure()
plt.plot(f, P1)
plt.title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)')
plt.xlabel('f (Hz)')
plt.ylabel('|P1(f)|')
plt.show()
在这个例子中，我们首先生成了一个包含两个不同频率正弦波的复合信号S。然后，我们使用numpy.fft.fft函数计算了信号的FFT。为了获得FFT的幅度谱，我们计算了Y的绝对值并除以信号长度L，以得到归一化的幅度。由于FFT的结果是对称的（对于实数输入），我们通常只关注一半的频率范围，并相应地调整幅度（将一半的频率范围中的幅度加倍，除了第一个和最后一个点）。最后，我们使用matplotlib库绘制了FFT的幅度谱。
注意，这个例子仅用于演示如何在Python中使用numpy库进行FFT计算。在实际应用中，你可能需要根据你的具体需求调整信号生成、FFT计算以及结果分析的方式。
FFT（快速傅立叶变换）是一种计算离散傅立叶变换（DFT）的快速算法，用于将信号从时域转换为频域。在Python中，可以使用NumPy库进行FFT的实现。
FFT python样例
下面是一个使用NumPy实现FFT的示例代码：
import numpy as np
def fft(x):
N = len(x)
if N <= 1:
return x
even = fft(x[0::2])
odd = fft(x[1::2])
T = [np.exp(-2j * np.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N // 2)]
return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [even[k] - T[k] for k in range(N // 2)]
# 示例输入信号
x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
# 执行FFT
X = fft(x)
# 输出FFT结果
print(X)
输出结果：
[(28+0j), (-4+9.65685424949238j), (-4+4j), (-4+1.6568542494923806j), (-4+0j), (-4-1.6568542494923806j), (-4-4j), (-4-9.65685424949238j)]
上述代码中的 fft 函数使用递归将输入信号划分为偶数和奇数索引的两个部分，然后再将两部分合并。函数的返回值是FFT变换后的结果。
注意：上述代码是一个简化的FFT实现，不考虑性能优化和处理异常情况。在实际应用中，可以使用NumPy库中的 numpy.fft.fft 函数进行FFT计算，它提供了更高效和稳定的实现。