多源谱嵌入融合学习算法（Multi-source Spectral Embedding Fusion Learning Algorithm，简称MSEF）是一种专门设计用于处理多源数据的高级学习方法，其目标是在不同数据源之间建立一致的表示，从而提高聚类性能和数据理解的全面性。
这种算法的核心在于利用全局和局部谱嵌入的融合，以全面捕获多源数据的结构信息。
步骤与公式详解
1. 全局谱嵌入融合
全局谱嵌入融合旨在捕捉多视图数据的全局结构信息。
算法通过最小化不同视图的谱嵌入之间的差异，同时保持每个视图的谱聚类目标，以达到融合的目的。
设
U
(
i
)
U^{(i)}
U(i)为第
i
i
i个视图的谱嵌入，则全局谱嵌入融合的目标函数可表示为：
min
∑
i
=
1
m
∑
j
=
i
+
1
m
∣
∣
U
(
i
)
−
U
(
j
)
∣
∣
F
2
+
∑
i
=
1
m
Tr
(
U
(
i
)
T
L
(
i
)
U
(
i
)
)
\min \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=i+1}^{m} ||U^{(i)} - U^{(j)}||^2_F + \sum_{i=1}^{m} \text{Tr}(U^{(i)T} L^{(i)} U^{(i)})
mini=1∑mj=i+1∑m∣∣U(i)−U(j)∣∣F2+i=1∑mTr(U(i)TL(i)U(i))
其中，
m
m
m是视图的总数，
∣
∣
⋅
∣
∣
F
||\cdot||_F
∣∣⋅∣∣F表示Frobenius范数，
L
(
i
)
L^{(i)}
L(i)是第
i
i
i个视图的拉普拉斯矩阵，
Tr
(
⋅
)
\text{Tr}(\cdot)
Tr(⋅)表示矩阵的迹。
2. 局部谱嵌入融合
局部谱嵌入融合聚焦于捕捉多视图数据的局部结构。
算法通过保持每个视图的局部流形结构，同时最小化局部嵌入坐标之间的差异，以达到融合目的。
设
Y
(
i
)
Y^{(i)}
Y(i)为第
i
i
i个视图的局部嵌入坐标，则局部谱嵌入融合的目标函数为：
min
∑
i
=
1
m
∑
j
=
i
+
1
m
∣
∣
Y
(
i
)
−
Y
(
j
)
∣
∣
F
2
+
∑
i
=
1
m
Tr
(
Y
(
i
)
T
S
(
i
)
Y
(
i
)
)
\min \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=i+1}^{m} ||Y^{(i)} - Y^{(j)}||^2_F + \sum_{i=1}^{m} \text{Tr}(Y^{(i)T} S^{(i)} Y^{(i)})
mini=1∑mj=i+1∑m∣∣Y(i)−Y(j)∣∣F2+i=1∑mTr(Y(i)TS(i)Y(i))
其中，
S
(
i
)
S^{(i)}
S(i)是第
i
i
i个视图的局部权值矩阵。
3. 多源谱嵌入融合模型
将全局谱嵌入融合和局部谱嵌入融合结合起来，形成MSEF模型。
模型的目标函数综合了全局和局部的融合过程，以全面表示数据的结构信息。
设
F
F
F为最终的嵌入结果，称为一致谱嵌入，则MSEF模型的目标函数为：
min
∣
∣
F
−
U
∣
∣
F
2
+
α
Tr
(
F
T
L
F
)
+
β
∣
∣
F
−
Y
∣
∣
F
2
\min ||F-U||^2_F + \alpha \text{Tr}(F^T L F) + \beta ||F-Y||^2_F
min∣∣F−U∣∣F2+αTr(FTLF)+β∣∣F−Y∣∣F2
其中，
U
U
U和
Y
Y
Y分别代表全局和局部的谱嵌入，
α
\alpha
α和
β
\beta
β是平衡因子，用于调整全局和局部结构的重要性。
4. 模型优化
通过交替迭代优化算法求解MSEF模型的目标函数。
优化过程中，利用Stiefel流形投影法保证谱嵌入的正交性。
模型的优化目标是在保持各数据源之间差异最小化的同时，获得一致的谱嵌入。
公式作用
- 全局谱嵌入融合：确保不同数据源之间的全局结构一致性，提高聚类性能。
- 局部谱嵌入融合：保持数据源的局部结构信息，增加模型对细节的敏感性。
- MSEF模型：通过融合全局和局部结构信息，获得更全面、更精细的数据表示，从而提高学习算法的整体性能。