探索贪心算法：解决优化问题的高效策略

贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前最佳选择的算法，以期在整体上达到最优解。它广泛应用于各种优化问题，如最短路径、最小生成树、活动选择等。本文将介绍贪心算法的基本概念、特点、应用场景及其局限性。

贪心算法的基本概念

贪心算法的核心思想是局部最优策略，即在每一步选择中都选择当前看起来最优的选项，希望通过一系列的局部最优选择达到全局最优。

贪心算法的特点

1. 局部最优选择：每一步都选择当前状态下最优的操作。
2. 无需回溯：一旦做出选择，便不会更改。
3. 逐步构建解决方案：从一个初始解开始，通过局部最优选择逐步构建完整解决方案。

贪心算法的应用场景

1. 活动选择问题

在活动选择问题中，给定一组活动及其开始和结束时间，要求选择尽可能多的互不重叠的活动。

def activity_selection(activities):
    activities.sort(key=lambda x: x[1])  # 按结束时间排序
    selected_activities = [activities[0]]
    
    for i in range(1, len(activities)):
        if activities[i][0] >= selected_activities[-1][1]:
            selected_activities.append(activities[i])
    
    return selected_activities

activities = [(0, 6), (1, 4), (3, 5), (5, 7), (3, 9), (5, 9), (6, 10), (8, 11), (8, 12), (2, 14), (12, 16)]
selected = activity_selection(activities)
print("Selected activities:", selected)

2. 背包问题（分数背包）

在分数背包问题中，物品可以部分装入背包。目标是选择物品使得背包中的总价值最大。

def fractional_knapsack(items, capacity):
    items.sort(key=lambda x: x[1] / x[0], reverse=True)  # 按价值密度排序
    total_value = 0.0
    for weight, value in items:
        if capacity >= weight:
            total_value += value
            capacity -= weight
        else:
            total_value += value * (capacity / weight)
            break
    return total_value

items = [(10, 60), (20, 100), (30, 120)]  # (weight, value)
capacity = 50
max_value = fractional_knapsack(items, capacity)
print("Maximum value in knapsack:", max_value)

3. 最小生成树（Kruskal 算法）

在图论中，最小生成树是连接所有顶点的权重最小的树。Kruskal 算法通过贪心策略选择最小边来构建最小生成树。

class DisjointSet:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def find(self, u):
        if self.parent[u] != u:
            self.parent[u] = self.find(self.parent[u])
        return self.parent[u]

    def union(self, u, v):
        root_u = self.find(u)
        root_v = self.find(v)
        if root_u != root_v:
            if self.rank[root_u] > self.rank[root_v]:
                self.parent[root_v] = root_u
            elif self.rank[root_u] < self.rank[root_v]:
                self.parent[root_u] = root_v
            else:
                self.parent[root_v] = root_u
                self.rank[root_u] += 1

def kruskal(n, edges):
    ds = DisjointSet(n)
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    mst = []
    for u, v, weight in edges:
        if ds.find(u) != ds.find(v):
            ds.union(u, v)
            mst.append((u, v, weight))
    return mst

edges = [(0, 1, 10), (0, 2, 6), (0, 3, 5), (1, 3, 15), (2, 3, 4)]
n = 4  # Number of vertices
mst = kruskal(n, edges)
print("Edges in MST:", mst)

贪心算法的局限性

虽然贪心算法在许多问题中表现出色，但它并不适用于所有问题。贪心算法不能保证所有情况下都能找到全局最优解。例如，在0-1背包问题中，贪心算法可能无法找到最优解。