代码随想录算法训练营第四十三天 | 完全背包理论基础、518.零钱兑换II、377. 组合总和 Ⅳ、70. 爬楼梯 （进阶）

完全背包理论基础

题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052
文档讲解：https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F…
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9/

思路

完全背包中，每个物品可以使用无限次。遍历顺序为顺序遍历物品和顺序遍历背包，并且两个for循环可以交换顺序。

for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
	for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){
		dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
	}
}

代码

import java.util.*;

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int bagWeight = in.nextInt();
        int[] weight = new int[n];
        int[] value = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            weight[i] = in.nextInt();
            value[i] = in.nextInt();
        }
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[bagWeight]);
    }
}

518.零钱兑换II

题目链接：https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/
文档讲解：https://programmercarl.com/0518.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D…
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1KM411k75j/

思路

• 确定dp数组以及下标的含义：凑成j块钱有dp[j]种方法。
• 确定递推公式：计算方法数要用累加，公式为dp[j] += dp[j - coins[i]];。
• dp数组如何初始化：dp[0] = 1;，否则累加出来都是0。
• 确定遍历顺序：完全背包问题中，物品和背包都是正序遍历。本题要求的是组合数，需要先遍历物品，再遍历背包；如果是求排列数，就需要先遍历背包，再遍历物品。
• 打印dp数组，用于debug

代码

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }

        return dp[amount];
    }
}

分析：时间复杂度：O(mn)，空间复杂度：O(m)。其中 m 是 amount，n 是 coins 的长度。

377. 组合总和 Ⅳ

题目链接：https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/
文档讲解：https://programmercarl.com/0377.%E7%BB%84%E5%90%88%E6%80%BB%E5%92%8C%E2%85%A3.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1V14y1n7B6/

思路

• 确定dp数组以及下标的含义：能够凑成目标整数j的组合数为dp[j]。
• 确定递推公式：计算方法数要用累加，公式为dp[j] += dp[j - nums[i]];。
• dp数组如何初始化：dp[0] = 1;，否则累加出来都是0。
• 确定遍历顺序：完全背包问题中，物品和背包都是正序遍历。本题要求的是排列数，需要先遍历背包，再遍历物品；如果是求组合数，就需要先遍历物品，再遍历背包。
• 打印dp数组，用于debug

代码

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int j = 0; j <= target; j++) {
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                if (j >= nums[i]) dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

分析：时间复杂度：O(mn)，空间复杂度：O(m)。其中m是target，n是nums的长度。

70. 爬楼梯 （进阶）

题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1067
文档讲解：https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5…

思路

• 确定dp数组以及下标的含义：爬j阶台阶的方法有dp[j]种。
• 确定递推公式：计算方法数要用累加，公式为dp[j] += dp[j - i];。
• dp数组如何初始化：dp[0] = 1;，否则累加出来都是0。
• 确定遍历顺序：完全背包问题中，物品和背包都是正序遍历。本题要求的是排列数，需要先遍历背包，再遍历物品；如果是求组合数，就需要先遍历物品，再遍历背包。
• 打印dp数组，用于debug

代码

import java.util.*;

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int m = in.nextInt();
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            for (int i = 1; i <= m; i++) {
                if (j >= i) dp[j] += dp[j - i];   
            }
        }
        System.out.println(dp[n]);
    }
}

分析：时间复杂度：O(mn)，空间复杂度：O(n)。