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概述
本文主要介绍离散化PID算法的实现原理，以方便对其进行数字化的处理，重点介绍位置式PID算法和增量式PID算法的离散化实现原理。还介绍了调整PID参数的常用方法。
1 背景介绍
由于计算机的出现，计算机进入了控制领域。人们将模拟 PID 控制规律引入到计算机中来。对下式中 PID 控制规律进行适当的变换，就可以用软件实现 PID 控制，即数字 PID 控制。
模拟PID公式：
Kp ―― 控制器的比例系数
Ti ―― 控制器的积分时间，也称积分系数
Td ―― 控制器的微分时间，也称微分系数e(t） PID 控制的输入
2 数字式 PID 控制算法
数字式 PID 控制算法可以分为位置式 PID 和增量式 PID 控制算法。
2.1 位置式 PID
由于计算机控制是一种采样控制， 它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量量， 进行连续控制。 由于这一特点中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。离散化处理的方法为：以T 作为采样周期， 作为采样序号，则离散采样时间 kT对应着连续时间t ， 用矩形法数值积分近似代替积分， 用一阶后向差分近似代替微分， 可作如下近似变换：
离散PID公式
上式中，为了表示的方便，将类似于e(kT )简化成ek 等。根据模拟PID公式和离散PID公式的关系，就可以得到离散的 PID 表达式为：
或
参数介绍
k ―― 采样序号， k ＝0， 1， 2，……；
uk ―― 第k 次采样时刻的计算机输出值；
ek ―― 第k 次采样时刻输入的偏差值；
ek－1 ―― 第k －1 次采样时刻输入的偏差值；
Ki ―― 积分系数， Ki＝ Kp *T Ti ；
Kd ―― 微分系数， Kd＝ Kp *Td T ；
上述离散PID公式表示的控制算法式直接按模拟PID公式所给出的 PID 控制规律定义进行计算的，所以它给出了全部控制量的大小，因此被称为全量式或位置式 PID 控制算法。
这种算法的缺点是：
由于全量输出， 所以每次输出均与过去状态有关， 计算时要对ek 进行累加，工作量大； 并且，因为计算机输出的 对应的是执行机构的实际位置， 如果计算机出现故障，输出的 uk将大幅度变化，会引起执行机构的大幅度变化，有可能因此造成严重的生产事故，这在实生产际中是不允许的。
2.2 增量式 PID
所谓增量式 PID 是指数字控制器的输出只是控制量的增量∆uk 。 当执行机构需要的控制量是量，而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式 PID 控制算法进行控制。
增量式 PID 控制算法可以通过离散PID公式推导出。由离散PID公式可以得到控制器的第 k－1
个采样时刻的输出值为：
可以推出公式：
其中
由上式可以看出，如果计算机控制系统采用恒定的采样周期T ，一旦确定 A、 B、 C，只要使用前后三次测量的偏差值，就可以由上式求出控制量。
2.3 两种算法比较
增量式 PID 控制算法与位置式 PID 算法相比，计算量小的多，因此在实际中得到广泛的应用。而位置式 PID 控制算法也可以通过增量式控制算法推出递推计算公式：
3 控制器参数整定
控制器参数整定： 指决定调节器的比例系数 Kp 、 积分时间Ti 、 微分时间Td 和采样周期Ts 的具体数值。 整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配， 以改善系统的动态和静态指标，取得最佳的控制效果。整定调节器参数的方法很多， 归纳起来可分为两大类， 即理论计算整定法和工程整定法。 理论计算整定法有对数频率特性法和根轨迹法等； 工程整定法有凑试法、 临界比例法、经验法、 衰减曲线法和响应曲线法等。 工程整定法特点不需要事先知道过程的数学模型，直接在过程控制系统中进行现场整定方法简单、计算简便、易于掌握。
3.1 凑试法
按照先比例（P）、再积分（I）、最后微分（D）的顺序。置调节器积分时间Ti =∞， 微分时间Td =0， 在比例系数 按经验设置的初值条件下， 将系统投入运行，由小到大整定比例系数 。求得满意的 1/4 衰减度过渡过程曲线。Kp引入积分作用（此时应将上述比例系数 Kp 设置为 5/6 Kp ）。将Ti 由大到小进行整定。若需引入微分作用时，则将Td 按经验值或按Td =（1/3～1/4） Ti 设置，并由小到大加入。
3.2 临界比例法
在闭环控制系统里， 将调节器置于纯比例作用下， 从小到大逐渐改变调节器的比例系数， 得到等幅振荡的过渡过程。 此时的比例系数称为临界比例系数 ， 相邻两个波峰间的时间间隔， 称为临界振荡周期Tu 。
临界比例度法步骤：
1、将调节器的积分时间 置于最大（ Ti =∞），微分时间置零（ Td =0），比例系数 适当，平衡操作一段时间，把系统投入自动运行。
2、 将比例系数 Kp 逐渐增大， 得到等幅振荡过程， 记下临界比例系数 Ku 和临界振荡周期Tu值。
3、根据 Ku 和Tu 值，采用经验公式，计算出调节器各个参数，即 Kp 、 Ti 和Td 的值。按“先 P 再 I 最后 D”的操作程序将调节器整定参数调到计算值上。若还不够满意，可再作进一步调整。
临界比例度法整定注意事项：
1）有的过程控制系统， 临界比例系数很大， 使系统接近两式控制， 调节阀不是全关就是全开，对工业生产不利。
2）有的过程控制系统， 当调节器比例系数 调到最大刻度值时， 系统仍不产生等幅振荡，对此，就把最大刻度的比例度作为临界比例度 进行调节器参数整定。
3.3 经验法
用凑试法确定 PID 参数需要经过多次反复的实验， 为了减少凑试次数， 提高工作效率， 可以借鉴他人的经验， 并根据一定的要求， 事先作少量的实验， 以得到若干基准参数， 然后按照经验公式，用这些基准参数导出 PID 控制参数，这就是经验法。临界比例法就是一种经验法。 这种方法首先将控制器选为纯比例控制器， 并形成闭环， 改变比例系数，使系统对阶跃输入的响应达到临界状态，这时记下比例系数 Ku 、临界振荡周期为Tu 。
4 参数调整规则的探索
人们通过对 PID 控制理论的认识和长期人工操作经验的总结， 可知 PID 参数应依据以下几点来适应系统的动态过程。
1、 在偏差比较大时， 为使尽快消除偏差， 提高响应速度， 同时为了避免系统响应出现超调， Kp取大值， 取零；在偏差比较小时，为继续减小偏差，并防止超调过大、产生振荡、稳定性变坏，值要减小， 取小值； 在偏差很小时，为消除静差，克服超调，使系统尽快稳定， 值继续减小， 值不变或稍取大。
2、当偏差与偏差变化率同号时，被控量是朝偏离既定值方向变化。因此，当被控量接近定值时，反号的比列作用阻碍积分作用，避免积分超调及随之而来的振荡，有利于控制；而当被控量远未接近各定值并向定值变化时，则由于这两项反向，将会减慢控制过程。在偏差比较大时， 偏差变化率与偏差异号时， Kp 值取零或负值，以加快控制的动态过程。
3、偏差变化率的大小表明偏差变化的速率， 越大， 取值越小， 取值越大，反之亦然。同时，结合偏差大小来考虑。
4、微分作用可改善系统的动态特性，阻止偏差的变化，有助于减小超调量，消除振荡，缩短调节时间 ，允许加大 ，使系统稳态误差减小，提高控制精度，达到满意的控制效果。所以，在 比较大时， 取零，实际为 PI 控制；在 比较小时， 取一正值，实行 PID 控制。