首页 > 编程语言 >基于FBG传感器的形状重建算法仿真

基于FBG传感器的形状重建算法仿真

时间:2024-04-28 17:44:26浏览次数:59  
标签:仿真 tau mathbf frac 算法 FBG Delta kappa hat

算法涉及基本的 [[FBG传感器模型]],一般通过刻有若干个布拉格光栅的光纤集成到被测物体上,当光纤与被测物体同时发生形变的时候,布拉格光栅产生应变,从而产生波长的漂移,通过对入射光与反射光波长漂移的检测,可以计算得到光纤上若干个点的曲率与挠率。
在微分几何中,可以通过 [[Frenet–Serret 标架]]对曲线的局部信息进行描述,其利用单位切向量 \(\mathrm{T}\) ,单位法向量 \(\mathrm{N}\) ,单位副法向量 \(\mathrm{B}\) 坐标系并结合曲线的曲率 \(\kappa\) 和挠率 \(\tau\),得到[[Frenet–Serret 方程组]]:

\[\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d} \mathrm{T} }{\mathrm{d} s} & = & \kappa \mathrm{N} \\ \frac{\mathrm{d} \mathrm{N} }{\mathrm{d} s} & = & -\kappa \mathrm{T} + \tau \mathrm{B} \\ \frac{\mathrm{d} \mathrm{B} }{\mathrm{d} s} & = & -\tau \mathrm{N} \end{eqnarray} \]

本算法将利用 FBG 传感器得到的曲线上若干数量的曲率 \(\kappa[s]\) 和挠率 \(\tau[s]\), 通过数值方法求解 Frenet–Serret 方程组,重建光纤的实际形状。

由于没有实际的传感器,这里将通过仿真产生相关的数据进行算法的验证。

构造曲线数据

这里选用了空间螺旋线作为示例,其参数形式为

\[\begin{eqnarray} x(t) & = & r*\cos(t) \\ y(t) & = & r*\sin(t) \\ z(t) & = & p*t \end{eqnarray} \]

其中,\(r\) 是螺旋线的半径,\(p\) 是螺旋线的节距。
容易得到其一二三阶的导数分别为

\[\begin{eqnarray} x'(t) & = & -r*\sin(t) \\ y'(t) & = & r*\cos(t) \\ z'(t) & = & p \end{eqnarray} \]

\[\begin{eqnarray} x''(t) & = & -r*\cos(t) \\ y''(t) & = & -r*\sin(t) \\ z''(t) & = & 0 \end{eqnarray} \]

\[\begin{eqnarray} x'''(t) & = & r*\sin(t) \\ y'''(t) & = & -r*\cos(t) \\ z'''(t) & = & 0 \end{eqnarray} \]

对应的代码实现分别是

function r = cal_helic_pos(radius, pitch, t)
    x = radius * cos(t);
    y = radius * sin(t);
    z = pitch * t;
    r = [x; y; z];
end

function  v= cal_helic_vel(radius, pitch, t)
    vx = -radius * sin(t);
    vy = radius * cos(t);
    vz = pitch * ones(1, length(t));
    v = [vx; vy; vz];
end

function  a= cal_helic_acc(radius, pitch, t)
    ax = -radius * cos(t);
    ay = -radius * sin(t);
    az = 0 * t;
    a = [ax; ay; az];
end

function  j= cal_helic_jerk(radius, pitch, t)
    jx = radius * sin(j);
    jy = -radius * cos(j);
    jz = 0 * j;
    j = [jx; jy; jz];
end

由于 FBG 传感器所能刻蚀的光栅有限(一般而言都是 38 个以下),本次仿真中假设光纤整体长度 900 mm,每间隔 30 mm 分布一个布拉格光栅,总共 31 个光栅。在仿真中,我们需要在 31 个光栅的位置计算其曲率和挠率(替代传感器的真实数据)。

空间曲线的曲率与挠率

由微积分基本知识,可以得到

\[\kappa(t) = \frac{\left | r'(t) \times r''(t) \right | }{\left | r'(t) \right |^3} \]

\[\tau(t) = \frac{ (r'(t) \times r''(t))\cdot r'''(t) }{\left | r'(t) \times r''(t) \right |^2} \]

通过以上关系可以得到 31 个光栅位置的曲率和挠率,算法将使用这些离散的曲率和挠率对空间曲线进行重建。

求解 Frenet–Serret 方程组

数值积分求解微分方程组

Frenet–Serret 方程组是一个典型的常微分方程组,由于实际情况中没有函数的解析形式,所以可以采用数值积分的方法对方程组进行求解。关于数值积分方法可以参考[1]。欧拉法是最基本的数值积分求解微分方程的方法,但是一阶欧拉积分的精度太低,不能满足要求,实际情况中很少使用。龙格-库塔法是一种非线性常微分方程的数值解法。由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。 Runge-Kutta 公式的思路就是利用区间内一些特殊点的一阶导数值的线性组合来替代某点处的 n 阶导数值,这样就可以仅通过一系列一阶导数值来得到某点幂级数展开的预测效果。龙格-库塔法(Runge-Kutta methods)是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。在工程中最常用的是四阶龙格-库塔积分,也就是 RK4 积分。
我们先从欧拉方法考虑,可以将 [[Frenet–Serret 方程组]]改写成离散的差分形式 $$
\begin{array}{l}{{\hat{\mathbf{t}}{k+1}=\hat{\mathbf{t}}+\kappa_{k}\Delta s\hat{\mathbf{n}}{k},}}\ {{\hat{\mathbf{n}}=\mathbf{\hat{n}}{k}-\kappa\Delta s\hat{\mathbf{t}}{k}+\tau\Delta s\hat{\mathbf{b}}{k},}}\ {{\hat{\mathbf{b}}=\mathbf{\hat{b}}{k}-\tau\Delta s\hat{\mathbf{n}}_{k}.}}\end{array}

\[这种差分的方式是对真实情况比较差的拟合,因为它假定了在局部的 $\hat{\mathbf{t}}_{k}, \hat{\mathbf{n}}_{k}, \hat{\mathbf{b}}_{k}$ 都是恒定的。另外,经过这种迭代后,$\hat{\mathbf{t}}_{k+1}, \hat{\mathbf{n}}_{k+1}, \hat{\mathbf{b}}_{k+1}$ 失去了正交性,且不再是单位向量。我们需要进行一定的处理, $$\begin{eqnarray} \hat{\mathbf{t}}_{k+1}^{rect} & = & \frac{\hat{\mathbf{t}}_{k+1}}{|\hat{\mathbf{t}}_{k+1}|},\\ \hat{\mathbf{n}}_{k+1}^{rect} & = & \frac{\hat{\mathbf{b}}_{k+1}\times\hat{\mathbf{t}}_{k+1}^{rect}}{|\hat{\mathbf{b}}_{k+1}\times\hat{\mathbf{t}}_{k+1}^{rect}|}, \\ \hat{\mathbf{b}}_{k+1}^{rect} & = & \hat{\mathbf{t}}_{k+1} \times \hat{\mathbf{n}}_{k+1}^{rect}. \end{eqnarray}\]

T(i,:) = T(i,:)/norm(T(i,:));
N(i,:) = cross(B(i,:),T(i,:))/norm(cross(B(i,:),T(i,:)));
B(i,:) = cross(T(i,:),N(i,:));

这种方式可以保证标架的单位正交性,但是并不能消除积分过程中的累积误差。
为了减少积分过程中的累积误差,可以将上述仅考虑一阶微分关系的差分方程改成引入高阶微分关系的差分方程,即龙格-库塔法。我们这里使用四阶龙格-库塔的方法,可以将积分的关系式写为 $$\begin{eqnarray}
\hat{\mathbf{t}}{k+1} &=&\hat{\bf{t}}+\frac{\Delta{s}}{6}(a_{t1}+2a_{t2}+2a_{t3}+a_{t4}), \
\hat{\mathbf{n}}{k+1} &=&\hat{\bf{n}}+\frac{\Delta{s}}{6}(a_{n1}+2a_{n2}+2a_{n3}+a_{n4}), \
\hat{\mathbf{b}}{k+1} &=&\hat{\bf{b}}+\frac{\Delta{s}}{6}(a_{b1}+2a_{b2}+2a_{b3}+a_{b4}).
\end{eqnarray} $$
其中,

\[\begin{eqnarray} a_{t1}&=&\kappa_{k}\hat{\bf n}_{k},\\ a_{n1}&=&-\kappa_{k}\hat{\bf t}_{k}+\tau_{k}\hat{\bf b}_{k},\\ a_{b1}&=&-\tau_{k}\hat{\bf n}_{k}, \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} a_{t2}&=&\kappa_{k}\left(\hat{\bf n}_{k}+\frac{\Delta s}{2}a_{n1}\right),\\ a_{n2}&=&-\kappa_{k}(\hat{\bf t}_{k}+\frac{\Delta s}{2}a_{t1})+\tau_{k}(\hat{\bf b}_{k}+ \frac{\Delta s}{2} a_{b1}),\\ a_{b2}&=&-\tau_{k}\left(\hat{\bf n}_{k}+\frac{\Delta s}{2}a_{n1}\right), \end{eqnarray} \]

\[\begin{eqnarray} a_{t3}&=&\kappa_{k}\left(\hat{\bf n}_{k}+\frac{\Delta s}{2}a_{n2}\right),\\ a_{n3}&=&-\kappa_{k}(\hat{\bf t}_{k}+\frac{\Delta s}{2}a_{t2})+\tau_{k}(\hat{\bf b}_{k}+ \frac{\Delta s}{2} a_{b2}),\\ a_{b3}&=&-\tau_{k}\left(\hat{\bf n}_{k}+\frac{\Delta s}{2}a_{n2}\right), \end{eqnarray} \]

\[\begin{eqnarray} a_{t4}&=&\kappa_{k}\left(\hat{\bf n}_{k}+\Delta sa_{n3}\right),\\ a_{n4}&=&-\kappa_{k}(\hat{\bf t}_{k}+\Delta sa_{t3})+\tau_{k}(\hat{\bf b}_{k}+ \Delta s a_{b3}),\\ a_{b4}&=&-\tau_{k}\left(\hat{\bf n}_{k}+\Delta sa_{n3}\right). \end{eqnarray} \]

最终整理可以得到 $$\begin{eqnarray}
\hat{\mathbf{t}}{k+1} &=& \left[1 + \frac{\kappa^{2}\Delta s{2}}{2},+,\frac{(\kappa+\tau^{2})\Delta s^{4}}{4}\right]\hat{\bf t}

  • \left[\kappa\Delta s-\frac{\left(\kappa{3}-\kappa\tau\right)\Delta s^{3}}{6}\right]\hat{\bf n}_
  • \left[ \frac{\kappa\tau\Delta s^{2}}{2} - \frac{(\kappa3\tau+\kappa\tau3)\Delta s^{4}} {24} \right ]\hat{\bf b}_{k}, \

\hat{\mathbf{n}}{k+1} &=& \left[-\kappa \Delta s + \frac{(\kappa\tau^{2} + \kappa^{3})\Delta s^{3}}{6} \right]\hat{\bf t} + \left[1,-,\frac{\left(\kappa{2}+\tau\right)\Delta s{2}}{2},+,\frac{\left(\kappa+\tau{2}\right)\Delta s^{4}}{24}\right]\hat{\bf n}_{k}

  • \left[\tau \Delta s - \frac{(\kappa^{2}\tau + \tau^{3})\Delta s^{3}}{6} \right]\hat{\bf b}_{k} , \

\hat{\mathbf{b}}{k+1} &=& \left[\frac{\kappa\tau\Delta s^{2}}{2} - \frac{(\kappa\tau^{3} + \kappa^{3}\tau)\Delta s^{4}}{24} \right]\hat{\bf t} + \left[-\tau \Delta s + \frac{\left(\kappa^{2}\tau + \tau^{3}\right)\Delta s^{3}}{6}\right]\hat{\bf n}_{k}

  • \left[1,-,\frac{\tau^{2}\Delta s{2}}{2},+,\frac{\left(\kappa\tau{2}+\tau4\right)\Delta s^{4}}{24}\right]\hat{\bf b}_{k}.
    \end{eqnarray}$$
    相应的代码为
T(i,:) = (1+k(i-1)^2*ds^2/2+(k(i-1)^4+k(i-1)^2*t(i-1)^2)*ds^4/4)*T(i-1,:)...
      + (k(i-1)*ds-(k(i-1)^3-k(i-1)*t(i-1)^2)*ds^3/6)*N(i-1,:)...
      + (k(i-1)*t(i-1)*ds^2/2-(k(i-1)^3*t(i-1)+k(i-1)*t(i-1)^3)*ds^4/24)*B(i-1,:);
B(i,:) = (k(i-1)*t(i-1)*ds^2/2 - (k(i-1)*t(i-1)^3+k(i-1)^3*t(i-1))*ds^4/24)*T(i-1,:)...
      + (-t(i-1)*ds+(k(i-1)^2*t(i-1)+t(i-1)^3)*ds^3/6)*N(i-1,:)...
      + (1-t(i-1)^2*ds^2/2 + (k(i-1)^2*t(i-1)^2+t(i-1)^4)*ds^4/24)*B(i-1,:);
N(i,:) = (-k(i-1)*ds + (k(i-1)*t(i-1)^2+k(i-1)^3)*ds^3/6)*T(i-1,:)...
      + (1-(k(i-1)^2+t(i-1)^2)*ds^2/2+(k(i-1)^2+t(i-1)^2)^2*ds^4/24)*N(i-1,:)...
      + (t(i-1)*ds - (k(i-1)^2*t(i-1)+t(i-1)^3)*ds^3/6)*B(i-1,:);  

同样,经过迭代之后,依然需要按照前面的方法将其恢复为单位正交的向量。

样条曲线插值获取对应步长的函数值

由于光栅的数量小于数值积分所需要的采样点的数量,可以通过样条曲线插值的方式获得两两光栅之间更密集的采样点,并将数值积分的步长固定在密集采样点之间的步长。
实际过程中,我们对900 mm 的光纤中的 31 个光栅位置的曲率与挠率进行了样条曲线重采样。

位置积分

通过上述方法得到所有重采样点上的 TNB 标架,可以沿曲线 \(s\) 在 \(\hat{\bf t}_{k}\) 方向进行积分,得到曲线点的位置 $$r_{k+1}=r_{k}+\frac{\Delta s}{2}\left(\hat{\bf t}{k}+ {\hat{\bf t}{k+1}}\right)$$

最终效果

![[FBG重建算法仿真_龙格库塔法.png]]

More Reading

Lim, Sungyeop, and Soonhung Han. 2017. “Helical Extension Method for Solving the Natural Equation of a Space Curve.” Surface Topography: Metrology and Properties 5 (3): 035002. https://doi.org/10.1088/2051-672X/aa7ea8.

Reference


  1. Butcher, John Charles. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, 2016. ↩︎

标签:仿真,tau,mathbf,frac,算法,FBG,Delta,kappa,hat
From: https://www.cnblogs.com/pomolnc/p/18164211

相关文章

  • 支持向量机的算法原理与Python实现
    支持向量机(SupportVectorMachine,SVM)是一种强大的监督学习算法,用于分类和回归任务。其核心思想是在高维空间中找到一个最优的超平面,将不同类别的数据分开。SVM的关键在于找到支持向量,即离超平面最近的数据点,这些支持向量决定了超平面的位置和方向。SVM通过最大化支持向量与超平面......
  • 自动驾驶半实物仿真平台设计方案:827-8路GMSL视频注入回灌的自动驾驶半实物仿真平台
    8路GMSL视频注入回灌的自动驾驶半实物仿真平台一、平台介绍   产品基于8路GMSL视频注入回灌的自动驾驶半实物仿真平台旨在提高实验室及研究生院师生在基础软件层开发、计算机视觉和深度学习方面的专业知识学习和实践能力,为师生提供一个稳定软件开发和多精度框......
  • 算法学习笔记(14):区间最值操作和历史最值问题
    区间最值操作,历史最值问题来源吉老师2016集训队论文,oiwiki,网络上各种博客。概述区间最值操作指的是:将所有的$i\in$\((l,r)\),\(a_i=min或max(a_i,k)\)。历史最值问题指的是:新定义一个数组\(b[]\),\(b[i]=max或min(b[i],a[i])\)。还有一种是历史版本和,即\(......
  • XMU《计算方法》实验一 三次样条插值算法
    实验一 三次样条插值算法一、Matlab代码clear;x=input('请输入插值结点的x:');y=input('请输入插值结点的y:');[x,I]=sort(x);y=y(I);iflength(y)~=length(x)error('x和y的数量不相等!');endn=length(x)-1;N=n*4;%函数值约束A=[];......
  • XMU《计算方法》实验三 龙贝格算法
    实验三龙贝格算法实验报告一、代码clear;fun=inline(input('请输入函数:f(x)=','s'));a=input('请输入下界a=');b=input('请输入上界b=');e=input('请输入误差限e=');h=b-a;k=1;N=1;T(1,1)=h/2*(fun(a)+fun(b......
  • 短视频开发app,不会还有人不知道这些排序算法吧
    一、快速排序(QuickSort)快速排序采用分治法。首先从短视频开发app的数列中挑出一个元素作为中间值。依次遍历数据,所有比中间值小的元素放在左边,所有比中间值大的元素放在右边。然后按此方法对左右两个子序列分别进行递归操作,直到所有数据有序。最理想的情况是,每次划分所选择的......
  • 数据结构与算法学习(1)——BFS(广度优先搜索)
    BFS基础BFS会从根节点开始搜索,在每一个路口面临分叉的时候,先把每个岔路记录下来,然后再去一个一个的往前走一步。节点进行广度优先搜索的顺序题目PS:下列题目均来自leetcode中灵神题单1311.获取你好友已观看的视频......
  • Floyd算法
    Floyd首先,对该算法有一个大致的了解:通过动态规划的方式,按顺序对每两个点之间的最短距离进行处理而这个顺序用一句话总结就是:依次将每个点作为"中间点"做更新1、存储邻接矩阵存储用两个数组存储信息一个存储两点长度一个存储路径Path其中,D(-1)表......
  • 机器学习-K近邻算法-KNN
    1K-紧邻算法简介1.1什么是K-近邻算法直观上理解,就是根据距离的远近来判断你所处于的类别。但是,也会存在一些问题,距离最近的样本所属于的类别与你需要判断的类别可能不是同一种类别。1.1KNN概念KNearestNeighbor算法又叫做KNN算法,这个算法是机器学习里面比较经典的算法,总......
  • 基于混沌序列的图像加解密算法matlab仿真,并输出加解密之后的直方图
    1.算法运行效果图预览 2.算法运行软件版本matlab2022a 3.算法理论概述3.1混沌系统特性       混沌系统是一类具有确定性、非线性、初值敏感性、遍历性和伪随机性等特性的动力学系统。其主要特性包括: 确定性:混沌系统由一组确定性微分方程或差分方程描述......