文章主要参考了以下博文：
1. 简介
粒子群算法是一种解决最优化问题的通用方法，其优点是求解速度快，数值相对稳定，算法简单。粒子群算法分为连续型粒子群算法和离散型粒子群算法，分别用于解决连续型问题和离散型问题。
粒子群优化算法源自对鸟群捕食行为的研究：一群鸟在区域中随机搜索食物，搜索的策略就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。粒子群算法利用这种模型得到启示并应用于解决优化问题：
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鸟类的飞行空间： 搜索空间，也可以理解为约束
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鸟（粒子）： 可行解
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鸟类寻找到的食物源： 最优解
在粒子群算法中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟，称之为粒子（在连续性例子群算法中，每一个粒子就代表一个可行解）。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应度值，每个粒子还有一个速度决定它们飞翔的方向和距离。然后，粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。
粒子群算法首先在给定的解空间中随机初始化粒子群，待优化问题的变量数决定了解空间的维数（这里表示每个粒子的维度，后面我们会用D表示维度）。每个粒子有了初始位置与初始速度（x表示当前位置，v表示速度，粒子群算法最重要的是对速度公式的更新，因为速度决定了更新的方向，进而决定解的值），然后通过迭代寻优。在每一次迭代中，每个粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己在解空间中的空间位置与飞行速度：一个极值就是单个粒子本身在迭代过程中找到的最优解粒子，这个粒子叫作个体极值；（这里的意思是，每个粒子具有记忆性，每个粒子子记得两个值，一个是全部的粒子距离目标的最优值，另一个值是这个粒子曾经历史的最优值） 另一个极值是种群所有粒子在迭代过程中所找到的最优解粒子，这个粒子是全局极值。
2. 连续型粒子群优化算法
2.1 基本原理
假设在一个\(D维\)的目标搜索空间中，有\(N\)个粒子组成一个群落，其中第\(i\)个粒子表示一个\(D维\)的向量：
\[X_i=(x_{i1},x_{i2},\dots,x_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad(1) \]第\(i\)个粒子的“飞行”速度也是一个\(D维\)向量：
\[V_i=(v_{i1},v_{i2},\dots,v_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad\quad(2) \]第\(i\)个粒子迄今为止搜到的最优位置称为个体极值（比如：\((p_{11},p_{12},\dots,p_{1D})\)就是第一个粒子搜索到的最优位置），记为：
\[p_{best}=(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad(3) \]整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为全局极值（我的理解是\(g_{best}\)就是本次迭代的局部最优解），记为：
\[g_{best}=(g_{1},g_{2},\dots,g_{D})\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(4) \]在找到这两个最优值时，粒子根据如下的式(5)和式(6)分别来更新自己的速度和位置:
\[v_{ij}(t+1)=v_{ij}(t)+c_1r_1[p_{ij}(t)-x_{ij}(t)]+c_2r_2[p_{gj}(t)-x_{ij}(t)]\quad(5) \]\[x_{ij}(t+1)=x_{ij}(t)+v_{ij}(t+1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(6) \]式(5)和式(6)是整个粒子群算法最核心的部分，对于式(5)，其中：
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\(c_1\)和\(c_2\)为学习因子，也称加速常数；
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\(r_1\)和\(r_2\)为\([0，1]\)范围内的均匀随机数；\(r_1\)和\(r_2\)是介于0和1之间的随机数，增加了粒子飞行的随机性。
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\(j=1，2，…，D\)；
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\(v_{ij}\)是粒子的速度，\(v_{ij}∈［-v_{max}，v_{max}］\)，\(v_{max}\)是常数，由用户设定来限制粒子的速度。
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式（5）右边由三部分组成：
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第一部分为“惯性”或“动量”部分，反映了粒子的运动“习惯”，代表粒子有维持自己先前速度的趋势（就是原有的速度）；
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第二部分为“认知”部分，反映了粒子对自身历史经验的记忆或回忆，代表粒子有向自身历史最佳位置逼近的趋势；
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第三部分为“社会”部分，反映了粒子间协同合作与知识共享的群体历史经验，代表粒子有向群体或邻域历史最佳位置逼近的趋势（对于\(p_{gj}\)，我的理解是把\(p_{best}\)的最优值中的\(i\)下标的值记为\(g\)，或者换句话来说，\(p_{gj}(t)\)就是整个群体的历史最佳位置）。
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上面的是基本粒子群算法，下面的标准粒子群算法的更新是这样的，就是在速度\(v_{ij}\)的前面加一个权重系数\(w\)。使得权重系数是一个动态调整的。保证在迭代前期保证足够的全局搜索能力，迭代后期能够专注于局部最优解的搜索能力。
\[v_{ij}(t+1)=w·v_{ij}(t)+c_1r_1[p_{ij}(t)-x_{ij}(t)]+c_2r_2[p_{gj}(t)-x_{ij}(t)]\quad(7) \]\[x_{ij}(t+1)=x_{ij}(t)+v_{ij}(t+1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(8) \]权重更新公式如下（这是其中一种，还有其他的更新方式）：
\[w=w_{max}-\frac{(w_{max}-w_{min})·t}{T_{max}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(9) \]2.2 算法流程
（1）初始化粒子群，包括群体规模\(N\)，每个粒子的位置\(x_i\)和速度\(v_i\)。
（2）计算每个粒子的适应度值\(fitness_i\)。
（3）对每个粒子，用它的适应度值\(fitness_i\)和个体极值\(p_{best}(i)\)比较。如果\(fitness_i＜p_{best}(i)\)，则用\(fitness_i\)替换掉\(p_{best}(i)\)。
（4）对每个粒子，用它的适应度值\(fitness_i\)和全局极值\(g_{best}\)比较。如果\(fitness_i＜g_{best}\)，则用\(fitness_i\)替换\(g_{best}\)。
（5）迭代更新粒子的速度\(v_i\)和位置\(x_i\)。
（6）进行边界条件处理。
（7）判断算法终止条件是否满足：若是，则结束算法并输出优化结果；否则返回步骤（2）。
2.3 算法详解
求函数\(f（x，y）=3cos（xy）+x+y^2\)的最小值，其中\(x\)的取值范围为\(［-4，4］\)，y的取值范围为\(［-4，4］\)。为了方便编程，在算法中，\(x\)用\(x[0]\)表示，\(y\)用\(x[1]\)来表示。
2.3.1 绘图
首先我们来看看\(f（x，y）=3cos（xy）+x+y^2\)函数长啥样：
# 求函数f(x,y) = 3*cos(x * y) + x + y**2的最小值，其中-4 <= x <= 4, -4 <= y <= 4
# 首先绘制这个函数的三维图像
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.arange(-4 ,4 ,0.01)
Y = np.arange(-4 ,4 ,0.01)
x, y = np.meshgrid(X ,Y)
Z = 3*np.cos(x * y) + x + y**2
# 作图
fig = plt.figure(figsize=(10,15))
ax3 = plt.axes(projection = "3d")
ax3.plot_surface(x,y,Z ,cmap = "rainbow")
# ax3.contour(x ,y ,Z ,zdim = "z" ,offset=-2 ,cmap = "rainbow")
plt.show()
2.3.2 连续型粒子群算法求解
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
# 设置字体和设置负号
matplotlib.rc("font", family="KaiTi")
matplotlib.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
# 初始化种群，群体规模，每个粒子的速度和规模
N = 100 # 种群数目
D = 2 # 维度
T = 200 # 最大迭代次数
c1 = c2 = 1.5 # 个体学习因子与群体学习因子
w_max = 0.8 # 权重系数最大值
w_min = 0.4 # 权重系数最小值
x_max = 4 # 每个维度最大取值范围，如果每个维度不一样，那么可以写一个数组，下面代码依次需要改变
x_min = -4 # 同上
v_max = 1 # 每个维度粒子的最大速度
v_min = -1 # 每个维度粒子的最小速度
# 定义适应度函数
def func(x):
return 3 * np.cos(x[0] * x[1]) + x[0] + x[1] ** 2
# 初始化种群个体
x = np.random.rand(N, D) * (x_max - x_min) + x_min # 初始化每个粒子的位置
v = np.random.rand(N, D) * (v_max - v_min) + v_min # 初始化每个粒子的速度
# 初始化个体最优位置和最优值
p = x # 用来存储每一个粒子的历史最优位置
p_best = np.ones((N, 1)) # 每行存储的是最优值
for i in range(N): # 初始化每个粒子的最优值，此时就是把位置带进去，把适应度值计算出来
p_best[i] = func(x[i, :])
# 初始化全局最优位置和全局最优值
g_best = 100 #设置真的全局最优值
gb = np.ones(T) # 用于记录每一次迭代的全局最优值
x_best = np.ones(D) # 用于存储最优粒子的取值
# 按照公式依次迭代直到满足精度或者迭代次数
for i in range(T):
for j in range(N):
# 个更新个体最优值和全局最优值
if p_best[j] > func(x[j,:]):
p_best[j] = func(x[j,:])
p[j,:] = x[j,:].copy()
# p_best[j] = func(x[j,:]) if func(x[j,:]) < p_best[j] else p_best[j]
# 更新全局最优值
if g_best > p_best[j]:
g_best = p_best[j]
x_best = x[j,:].copy() # 一定要加copy，否则后面x[j,:]更新也会将x_best更新
# 计算动态惯性权重
w = w_max - (w_max - w_min) * i / T
# 更新位置和速度
v[j, :] = w * v[j, :] + c1 * np.random.rand(1) * (p[j, :] - x[j, :]) + c2 * np.random.rand(1) * (x_best - x[j, :])
x[j, :] = x[j, :] + v[j, :]
# 边界条件处理
for ii in range(D):
if (v[j, ii] > v_max) or (v[j, ii] < v_min):
v[j, ii] = v_min + np.random.rand(1) * (v_max - v_min)
if (x[j, ii] > x_max) or (x[j, ii] < x_min):
x[j, ii] = x_min + np.random.rand(1) * (x_max - x_min)
# 记录历代全局最优值
gb[i] = g_best
print("最优值为", gb[T - 1],"最优位置为",x_best)
plt.plot(range(T),gb)
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("适应度值")
plt.title("适应度进化曲线")
plt.show()
