高斯消去法python代码

高斯消去法实现多元线性方程组求解

1. 流程概述

高斯消去法（Gaussian Elimination）是一种用于求解多元线性方程组的常用方法。它通过将方程组表示为增广矩阵的形式，然后进行一系列的行变换，将增广矩阵转化为上三角矩阵，最后利用回代法求解方程组。以下是高斯消去法的流程：

2. 代码实现

下面是使用Python实现高斯消去法的代码，我们会逐步解释每一步所需要的代码，并注释其意义。

步骤1：将方程组写成增广矩阵的形式

import numpy as np

def gaussian_elimination(A, b):
    # 将系数矩阵A和常数向量b合并成增广矩阵Ab
    Ab = np.column_stack((A, b))
    return Ab

在这一步中，我们使用numpy库的column_stack函数将系数矩阵A和常数向量b按列合并成增广矩阵Ab。

步骤2：选取主元，并进行行交换

def select_pivot_row(Ab, current_row):
    num_rows, num_cols = Ab.shape
    max_value = abs(Ab[current_row, current_row])
    max_row = current_row

    # 从当前行往下查找，找到最大值所在的行
    for i in range(current_row + 1, num_rows):
        if abs(Ab[i, current_row]) > max_value:
            max_value = abs(Ab[i, current_row])
            max_row = i

    # 交换当前行和最大值所在行
    Ab[[current_row, max_row]] = Ab[[max_row, current_row]]

    return Ab

在这一步中，我们需要找到当前列中绝对值最大的元素所在的行，并交换当前行和最大值所在行的位置。

步骤3：将主元所在列下方的元素消为0

def eliminate(Ab, current_row):
    num_rows, num_cols = Ab.shape
    pivot = Ab[current_row, current_row]

    # 将主元所在列下方的元素消为0
    for i in range(current_row + 1, num_rows):
        factor = Ab[i, current_row] / pivot
        Ab[i, current_row:] = Ab[i, current_row:] - factor * Ab[current_row, current_row:]

    return Ab

在这一步中，我们需要将主元所在列下方的元素消为0。通过将每一行的当前元素除以主元，然后用这个因子去消除下方的元素。

步骤4：重复步骤2和3，直到矩阵转化为上三角矩阵

def gaussian_elimination(A, b):
    Ab = gaussian_elimination(A, b)
    num_rows, num_cols = Ab.shape

    for i in range(num_rows - 1):
        Ab = select_pivot_row(Ab, i)
        Ab = eliminate(Ab, i)

    return Ab

在这一步中，我们需要重复进行步骤2和3，直到矩阵转化为上三角矩阵。这里通过循环，每次选取当前列的主元，并进行行交换和消元操作。

步骤5：利用回代法求解方程组

def back_substitution(Ab):
    num_rows, num_cols = Ab.shape
    x = np.zeros(num_rows)

    # 从最后一行开始，利用已知的变量值求解未知的变量值
    for i in range(num_rows - 1, -1, -1