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浅谈二次剩余与Cipolla算法

时间:2023-06-06 21:58:53浏览次数:50  
标签:剩余 frac 浅谈 二次 int 算法 Complex Cipolla mod

Preface

数论菜鸡来补一手知识黑洞,二次剩余以前OI时期还真一点没了解过,所以先写个板题先

(虽然当初想着反正到时候有数学巨佬队友带我飞,但多学一点总是好的)

二次剩余又俗称模意义下开根,用于求解\(x^2\equiv n\pmod p\)这样的方程

但注意一般情况下我们只讨论当\(p\)为奇素数时的情况,当\(p\)为任意数的情形下问题则变得异常复杂,因此先略去不谈

而求解二次剩余的主流方法有挺多的,我是选择了容易理解且相对较好实现的Cipolla算法

(以下运算若无特殊说明均指在模\(p\)意义下)


前置知识

勒让德符号

首先我们定义勒让德符号\((\frac np)\),它的取值为:

  • 若\(n=0\),则\((\frac np)=0\)
  • 若\(n\)是模\(p\)意义下的二次剩余,则\((\frac np)=1\)
  • 若\(n\)是模\(p\)意义下的非二次剩余,则\((\frac np)=-1\)

这东西在这部分内容中没啥实际用处,但在一些求解二次剩余的数量的问题中大有益处,这里就先不展开了

解的数量

考虑给定\(n,p\)时,若二次剩余存在,则解的数量是多少,首先无解和\(n=0\)的情况比较trivial,因此我们主要讨论\(n\ne 0\)的情形

不妨先假设有任意多组解,设其中两个不相等的解为\(x_1,x_2\)

由于\(x_1^2=n=x_2^2\),移项后有\((x_1-x_2)(x_1+x_2)=0\),前面的\(x_1-x_2\)不等于\(0\),那只能\(x_1+x_2\)等于\(0\)了

因此我们知道若二次剩余有解,则它们一定互为相反数

(注意当\(p\)为奇素数情况下这两个解的奇偶性一定不同,因此不会出现两个解相同的情况)

这也就说明了任意一对相反数都对应一个二次剩余,且这些二次剩余是两两不同的

因此我们有一个推论,那就是二次剩余的数量恰为\(\frac{p-1}{2}\),而其它的非\(0\)数都是非二次剩余,数量也是\(\frac{p-1}{2}\)

当然也很容易得到勒让德符号的一个性质,\(\sum_{n=0}^{p-1} (\frac np)=0\)

欧拉准则

欧拉准则用于快速判断一个数是否为二次剩余,我们先给出其表达式:

\[(\frac np)= n^{\frac{p-1}2} \]

考虑它的证明,这里只给出简易流程,首先当\(n=0\)时结论显然成立

否则我们根据费马小定理,得到\(n^{p-1}=1\),同时又根据二次探测定理,有\(n^{\frac{p-1}{2}}=\pm 1\)

此时如果\(n\)是二次剩余,则至少存在一个\(x\),使得\(n^{\frac{p-1}2}= x^{2\times \frac{p-1}2}= x^{p-1}=1\)(具体证明可以用原根,但我不太熟只能口胡下)

若\(n\)是非二次剩余,那么\(n^{\frac{p-1}2}\)就只能等于\(-1\)了


Cipolla算法

大致思想

Cipolla算法是一个基于随机的算法,但由于它的命中率很高,所以用起来也不会有问题

它的大致原理就是先随机在\([0,p-1]\)找一个\(a\)使得\(a^2-n\)是非二次剩余,由于上面讲的性质,因此找到这样的\(a\)的概率大约就是\(\frac{1}{2}\),因此期望两次就可以找到这样的一个\(a\)

然后就要通过一些神奇的操作来通过这个\(a\)算出满足条件的二次剩余了

扩域

考虑定义模运算下的虚数域,即定义一个\(i\),满足\(i^2=a^2-n\)(注意由于\(a^2-n\)是非二次剩余,因此这样的\(i\)实际上是不存在的)

这样所有数都可以被表示成\(A+Bi\)的形式,其中\(A,B\)是\([0,p-1]\)的整数

那么我们有接下来的一个重要推论,\((a+i)^{p+1}=n\)

证明的话要先证明两个引理,首先是\(i^p=-i\),这个比较简单,大致过程为:

\[i^p=i\times (i^2)^{\frac{p-1}{2}}=i\times (a^2-n)^{\frac{p-1}{2}}=-i \]

然后另一个就是\((A+B)^p=A^p+B^p\),这个其实在费马小定理的一种证明中就出现过(我们离散数学课上讲的就是这种证明)

考虑利用二项式定理展开左边的式子后,由于\(p\)是质数,因此除了\(C_p^0,C_p^p\)外,其它的组合数\(C_p^i\)分子上\(p!\)中的\(p\)因子都无法被消掉,因此模\(p\)之后都一定为\(0\),最后剩下来的就是上面的东西了

因此对于上面的推论就很好证明了,稍微化一下式子就有:

\[(a+i)^{p+1}=(a^p+i^p)(a+i)=(a-i)(a+i)=a^2-i^2=n \]

所以换句话说,\((a+i)^{p+1}\)就是\(n\)模\(p\)的二次剩余的一个解,那么它的另一个解也很容易得到了

但还有一个小问题,\((a+i)^{p+1}\)是一个扩域之后的数,它的所谓“虚部”一定等于\(0\)吗?

幸运的是确实如此,具体可以用反证法证明,这里由于篇幅所限又菜又懒就略去了

因此我们可以很容易地求解二次剩余问题了

代码实现

模板题见:Luogu P5491 【模板】二次剩余

数论题的板子都是只要理解了原理就非常好写的东西,复杂度的话由于要做快速幂所以是\(O(\log p)\)的,随机找的那部分基本就可以看作常数了

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<random>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
int t,n,mod,w;
struct Complex
{
	int x,y;
	inline Complex(CI X=0,CI Y=0)
	{
		x=X; y=Y;
	}
	friend inline Complex operator * (const Complex& A,const Complex& B)
	{
		return Complex((1LL*A.x*B.x+1LL*A.y*B.y%mod*w%mod)%mod,(1LL*A.x*B.y%mod+1LL*A.y*B.x%mod)%mod);
	}
};
inline int quick_pow(int x,int p=mod-2,int mul=1)
{
	for (;p;p>>=1,x=1LL*x*x%mod) if (p&1) mul=1LL*mul*x%mod; return mul;
}
inline Complex quick_pow(Complex x,int p=mod-2,Complex mul=Complex(1,0))
{
	for (;p;p>>=1,x=x*x) if (p&1) mul=mul*x; return mul;
}
mt19937_64 rnd(random_device{}());
inline int Cipolla(CI n)
{
	if (quick_pow(n,(mod-1)/2)==mod-1) return -1; int a;
	for (uniform_int_distribution<int> dist(0,mod-1);;)
	{
		a=dist(rnd); w=(1LL*a*a%mod-n+mod)%mod;
		if (quick_pow(w,(mod-1)/2)==mod-1) break;
	}
	return quick_pow(Complex(a,1),(mod+1)/2).x;
}
int main()
{
	//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
	for (scanf("%d",&t);t;--t)
	{
		scanf("%d%d",&n,&mod); n%=mod;
		if (!n) { puts("0"); continue; }
		int x=Cipolla(n); if (!~x) puts("Hola!"); else
		{
			int y=mod-x; if (x>y) swap(x,y);
			printf("%d %d\n",x,y);
		}
	}
	return 0;
}

Postscript

这下数论天坑又补上一个,剩下一个阶与原根还是有点太劲了的说,到时候再慢慢看看吧

标签:剩余,frac,浅谈,二次,int,算法,Complex,Cipolla,mod
From: https://www.cnblogs.com/cjjsb/p/17461818.html

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