R语言蒙特卡洛计算和快速傅立叶变换计算矩生成函数
对精算科学来说，当我们处理独立随机变量的总和时，特征函数很有趣，因为总和的特征函数是特征函数的乘积。
介绍
在概率论中，让
对于
和
对于
是一些随机变量的累积分布函数
，即
。什么是矩生成函数
，即
？如何编写
？
在概率教科书中，标准答案是
- 如果 是离散的
- 如果 （绝对）连续，
是的密度
。这里，
显然不是离散变量。但是是连续的。需要绘制该分布函数以查看，
， 对所有
我们有一个不连续的0。因此，我们在这里必须谨慎一些：
既不是连续的也不是离散的。让我们使用公式，
如果也可以写
，
这只是说总体平均值是每个子组平均值的重心。
然后让
而
）。
让我们考虑三个不同的组成部分。
（因为它是一个实值常量），在这里
。所以最后，我们计算
。观察一下
给定
是具有密度的（绝对）连续随机变量。观察所有
，
和
，即
给定
是指数分布。因此，
是指数变量和Dirac质量之间的混合
。这实际上是问题的棘手部分，因为当我们看到上面的公式时，它并不明显。
从现在开始，这是高中阶段的计算，
如果
。如果把所有的放在一起
- 蒙特卡洛计算
可以使用蒙特卡洛模拟来计算该函数，
> F=function(x) ifelse(x<0,0,1-exp(-x)/3)
> Finv=function(u) uniroot(function(x) F(x)-u,c(-1e-9,1e4))$root
或（以避免不连续的问题）
> Finv=function(u) ifelse(3*u>1,0,uniroot(function(x)
+ F(x)-u,c(-1e-9,1e4))$root))
在这里，逆很容易获得，因此我们可以使用
然后，我们使用
> plot(u,v,type="b",col='blue')
> lines(u,Mtheo(u),col="red")
蒙特卡洛模拟的问题在于，仅当它们有效时才应使用它们。我可以计算
> M(3)
[1] 5748134
有限总和始终可以通过数字计算。就算在这里
不存在。就像Cauhy样本的平均值一样，即使期望值不存在，我也总是可以计算出来
> mean(rcauchy(1000000))
[1] 0.006069028
这些生成函数在存在时会很有趣。也许使用特征函数是一个更好的主意。
- 生成函数
首先，让我们定义那些函数。
如果
足够小。
现在，如果我们使用泰勒展开式
和
如果我们看一下该函数在0点的导数的值，那么
，
如果要导出给定分布的矩，则一些矩生成函数很有趣。另一个有趣的特征是，在某些情况下，此矩生成函数（在某些条件下）完全表征了随机变量的分布。
，
对所有人
， 然后
。
- 快速傅立叶变换
回想一下欧拉公式，
因此，看到傅立叶变换就不会感到惊讶。从这个公式，我们可以写
使用傅立叶分析中的一些结果，我们可以证明概率函数满足
也可以写成
如果在点处的分布是绝对连续的，则可以获得类似的关系
，
实际上，我们可以证明，
然后可以使用1951年获得的吉尔-佩莱阿兹（Gil-Peleaz）的反演公式来获得累积分布函数，
这意味着，在金融市场上工作的任何人都知道用于定价期权的公式（例如，参见 Carr＆Madan（1999） ）。好处是，可以使用任何数学或统计软件来计算这些公式。
- 特征函数和精算科学
对精算科学来说，当我们处理独立随机变量的总和时，特征函数很有趣，因为总和的特征函数是特征函数的乘积。考虑计算Gamma随机变量复合和的99.5％分位数的问题，即
和
。策略是分散损失金额，然后，要计算的代码
， 我们用
99.5％分位数
> sum(cumsum(f)<.995)
考虑以下损失金额
> print(X[1:5])
[1] 75.51818 118.16428 14.57067 13.97953 43.60686
让我们拟合一个伽玛分布。我们可以用
shape rate
1.309020256 0.013090411
(0.117430137) (0.001419982)
> alpha
[1] 1.308995
> beta
[1] 0.01309016
无论如何，我们都有个人损失的Gamma分布参数。并假设泊松计数变量的均值为
> lambda <- 100
同样，可以使用蒙特卡洛模拟。我们可以使用以下通用代码：首先，我们需要函数来生成两种感兴趣的变量，
如果我们生成一百万个变量，我们可以得到分位数的估算，
> set.seed(1)
> quantile(rcpd4(1e6),.995)
99.5%
13651.64
另一个想法是记住Gamma分布的比例：独立Gamma分布的总和仍然是Gamma（在参数上有附加假设，但在此我们考虑相同的Gamma分布）。因此，可以计算复合和的累积分布函数，
如果我们求解那个函数，我们得到分位数
> uniroot()$root
[1] 13654.43
这与我们的蒙特卡洛计算一致。现在，我们也可以在此处使用快速傅立叶变换，
> sum(cumsum(f)<.995)
[1] 13654
让我们比较获得这三个输出的计算时间
> system.time
user system elapsed
2.453 0.106 2.611
> system.time
user system elapsed
0.041 0.012 0.361
> system.time
user system elapsed
0.527 0.020 0.560
