3嵌入定理3.1.Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式定义24.(Sobolev共轭指数)设\(1\leqp<n\),我们称\(p^{\star}=\frac{np}{n-p}\)为\(p\)的Sobolev对偶指标.显然:\[\frac{1}{p^{\star}}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}\Rightarrowp^{\star}>p\]定理25.(Gagli

4.Poincare不等式4.1\(W_{0}^{1,p}(U)\)定理34.设\(1\leqp<\infty\)且\(U\subset\mathbb{R}^{n}\)为有界区域,则存在正常数\(C=C(p,U)\)使得\[\|u\|_{p,U}\leqC\|Du\|_{p,U},\quadu\inW_{0}^{1,p}(U)\]证明:我们只用对\(u\inC_{0}^{\inf

Sobolev空间2.5延拓本节我们介绍延拓定理,很多时候我们需要将一个函数延拓到更好的空间中,或者更好的区域上.曾经我们用过零延拓,但是这样的延拓会丧失掉很多函数的性质,例如如果\(u\)在\(\Omega\)上是弱可微的,但是将其零延拓到\(\mathbb{R}^{n}\)末必是弱可微的

Sobolev空间初探22.2逼近2.2.1局部逼近现在我们考虑用光滑函数逼近Sobolev函数,这里逼近的基本思想就是对函数进行磨光.引理10.(局部逼近)设\(\Omega_{\varepsilon}=\{x\in\Omega\mid\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon\}\),设\(\mathrm{h}

1.弱导数1.1定义定义1.(弱导数)设\(u\inL_{\mathrm{loc}}^{1}(U),\alpha\in\mathbb{N}^{n}\).我们说\(u(x)\)是\(\alpha\)阶弱可微函数,如果存在\(v\inL_{\mathrm{loc}}^{1}(U)\)使得\[\int_{U}uD^{\alpha}\phidx=(-1)^{|\alpha|}\int_{U}v\phi