4. Poincare不等式
4.1 \(W_{0}^{1, p}(U)\)
定理 34. 设 \(1 \leq p < \infty\) 且 \(U \subset \mathbb{R}^{n}\) 为有界区域, 则存在正常数 \(C=C(p, U)\) 使得
\[\|u\|_{p, U} \leq C\|D u\|_{p, U}, \quad u \in W_{0}^{1, p}(U) \]证明: 我们只用对 \(u \in C_{0}^{\infty}(U)\) 的情形证明即可，假设区域:
因此我们有:
\[U \subset \{(x^{\prime}, x_{n}) \mid a < x_{n} < a+b\} \]因此:
\[u\left(x^{\prime}, x_{n}\right)=\int_{a}^{x_{n}} D_{n} u\left(x^{\prime}, t\right) \mathrm{dt} \]对 \(x_{n}\) 进行积分我们可以得到:
\[\left|u\left(x^{\prime}, x_{n}\right)\right|^{p} \leq\left(x_{n}-a\right)^{p-1} \int_{a}^{a+b}\left|D_{n} u\left(x^{\prime}, t\right)\right|^{p} \mathrm{dt}, \quad a \leq x_{n} \leq a+b \]再对 \(x\) '积分:
\[\int_{a}^{a+b}\left|u\left(x^{\prime}, x_{n}\right)\right|^{p} x_{n} \leq \frac{b^{p}}{p} \int_{\mathbb{R}}\left|D_{n} u\left(x^{\prime}, t\right)\right|^{p} \mathrm{dt} \]两边 \(1 / p\) 次方即可.
\[\int_{U}|u(x)|^{p} d x \leq \frac{b^{p}}{p} \int_{U}|D u(x)|^{p} \mathrm{~d} \mathbf{x} . \]4.2.$ W^{1, p}(U)$
定理 35. 设 \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的有界开子集, \(\partial \Omega \in C^{1}\), 又设 \(1 \leqslant p \leqslant+\infty\), 则存在与 \(u\) 无关的常数 \(C=C(n, p, \Omega) > 0\), 使得
\[\left\|u-u_{\Omega}\right\|_{L^{p}(\Omega)} \leqslant C\|\mathrm{D} u\|_{L^{p}(\Omega)} \]对每一个函数 \(u \in W^{1, p}(\Omega)\) 成立.
这里的 \(u_{\Omega}\) 是指 \(u\) 在 \(\Omega\) 上的平均值.
证明: 假设不然, 那么存在 \(u_{k} \in W^{1, p}\) 使得:
\[\left\|u_{k}-\left(u_{k}\right)_{\Omega}||_{L^{p}} \geq k\right\| D u_{k} \|_{L^{p}} \]现在我们令:
\[v_{k}=\frac{u_{k}-\left(u_{k}\right)_{\Omega}}{\left\|u_{k}-\left(u_{k}\right)_{\Omega}\right\|_{L^{p}}} \]因此我们可以得到:
\[\left(v_{k}\right)_{\Omega}=0,\left\|v_{k}\right\|=1,\left\|D v_{k}\right\|_{L^{p}} \leq 1 / k \]由于 \(v_{k}\) 再 \(W^{1, p}\) 中有界, 因此根据紧嵌入定理我们知道 \(\left\{v_{k}\right\}\) 在 \(L^{p}\) 中是预紧的, 因此存在收敛子列 \(\left\{v_{k_{j}}\right\}\), 对每一个 \(\phi \in C_{0}^{\infty}(\Omega)\) 函数, 我们有:
\[\int_{\Omega} v \phi_{x_{i}} d \boldsymbol{x}=\lim _{k_{j} \rightarrow \infty} \int_{\Omega} v_{k_{j}} \phi_{x_{j}} d \boldsymbol{x}=-\lim _{k_{j} \rightarrow \infty} \int_{\Omega} v_{k_{j} x_{i}} \phi \mathrm{d} \boldsymbol{x}=0 . \]因此 \(v \in W^{1, p}(\Omega), D v=0\), 因此 \(v\) 是常数. 又因为 \(v\) 的平均值为 0 , 因此 \(v \equiv 0, a . e\). 这与其范数为 1 是矛盾的.
我们将该定理运用到 \(\Omega=B(x, r)\) 的情况.
定理 36. (球上的Poincare不等式) 设 \(1 \leqslant p \leqslant+\infty\), 则存在常数 \(C=C(n, p)\), 使得
对任意开球 \(B(\boldsymbol{x}, r) \subset \mathbb{R}^{n}\) 和 \(u \in W^{1, p}(B(\boldsymbol{x}, r))\).
\[\left\|u-(u)_{B(\boldsymbol{x}, r)}\right\|_{L^{p}(B(\boldsymbol{x}, r))} \leqslant C(n, p) r\|\mathbf{D} u\|_{L^{p}(B(\boldsymbol{x}, r))} \]证明:(1)先考虑 \(r=1\) 的情形,利用区域上的Poincare不等式可以直接证明.
(2): 现在我们一般的 \(B(x, r)\), 此时我们只需要换个元即可, 令:
\[v(y)=u(x+r y), y \in B(0,1) \]我们对 \(v \in W^{1, p}(B(0,1))\) 利用 \(r=1\) 的球上的 Poincare不等式即可.
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