1. 弱导数
1.1 定义
定义 1. (弱导数) 设 \(u \in L_{\mathrm{loc}}^{1}(U), \alpha \in \mathbb{N}^{n}\). 我们说 \(u(x)\) 是 \(\alpha\) 阶弱可微函数, 如果存 在 \(v \in L_{\mathrm{loc}}^{1}(U)\) 使得
\[\int_{U} u D^{\alpha} \phi d x=(-1)^{|\alpha|} \int_{U} v \phi d x, \quad \forall \phi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}(U) . \]此时, 我们就称 \(v\) 是 \(u\) 的 \(\alpha\) 阶弱导数, 记为 \(D^{\alpha} u=v\),
- 弱导数具有唯一性. 假设 \(u\) 有 \(\alpha\) 阶弱导数. 假设不唯一, 那么必然存在 \(v_{1}, v_{2}\), 使得满足上述的分部积分公式, 因此我们有:
于是我们就可以得到 \(v_{1}=v_{2}\), a.e. \(x \in U\).
- 弱导数定义的一致性. 如果 \(u \in C^{m}\), 那么 \(u\) 的弱导数就是其古典导数 \((|\alpha| \leqslant m)\).
下边的例子可以告诉我们,弱导数是古典导数的一种推广.
例 2. 设 \(n=1, \Omega=(0,2)\) 且 \(u(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 < x \leqslant 1, \\ 1, & 1 < x < 2,\end{array}\right.\) 定义 \(v(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 < x \leqslant 1, \\ 0, & 1 < x < 2,\end{array}\right.\) 则 \(u^{\prime}(x)=v(x)\).
但是这并不意味着, 分段可导的函数 \(\mathrm{j}\) 就具有整体的弱导数.
例 3. 设 \(n=1, \Omega=(0,2)\), 且 \(u(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 < x \leq 1 \\ 2,1 < x < 2\end{array}\right.\), 则 \(u^{\prime}(x)\) 在 \((0,2)\) 不存在.
证: 反证假设存在. 那么我们可以得到:
\[\int_{0}^{2} u \phi_{x} d x=-\int_{0}^{2} v \phi \mathrm{d} x, \quad \forall \phi \in C_{0}^{\infty}((0,2)) \]注意到紧支集的定义, 因此我们将 \(u\) 带入分部积分就可以得到: \(L H S=-\phi(1)-\int_{0}^{1} \phi(x) \mathrm{dx}\). 此时我们取:
\[\phi_{m}(x)= \begin{cases}c \cdot \exp \left\{\frac{1}{\left(m^{2}(x-1)^{2}-1\right)}\right\}, & |x-1|<\frac{1}{m}, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} \]其中 \(0 \leq \phi_{m} \leq 1, \phi_{m}(1)=1, \phi_{m}(x) \rightarrow 0, x \neq 1, m \rightarrow \infty\), 对:
令 \(m \rightarrow \infty\), 就可以得到: \(1=0\), 因此矛盾.
\[\phi_{m}(1)+\int_{0}^{1} x \phi_{m}(x) \mathrm{dx}=\int_{0}^{2} u_{x} \phi_{m}(x) \mathrm{d} \mathrm{x} \]1.2 性质
弱导数和导数在运算上具有很多相似的地方:
命题 4. 设 \(u, v \in W^{k, p}(U),|\alpha| \leq k\), 则:
(1) \(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u \in W^{k-|\boldsymbol{\alpha}|}(U)\) 且 \(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}}\left(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u\right)=\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}}\left(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} u\right)=\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}} u, \forall|\boldsymbol{\alpha}|+|\boldsymbol{\beta}| \leqslant k\);
(2) \(\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \lambda u+\mu v \in W^{k, p}(U)\) 且 \(\mathrm{D}^{\alpha}(\lambda u+\mu v)=\lambda \mathrm{D}^{\alpha} u+\mu \mathrm{D}^{\alpha} v,|\boldsymbol{\alpha}| \leqslant k\);
(3) 如果 \(V\) 是 \(U\) 的一个开集, 则 \(u \in W^{k, p}(V)\);
(4) 如果 \(\xi \in C_{0}^{\infty}(U)\), 则 \(\xi u \in W^{k, p}(U)\) 且 \(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}}(\xi u)=\sum_{\boldsymbol{\beta} \leqslant \boldsymbol{\alpha}}\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\beta}\end{array}\right) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} \xi \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}} u\), 其中, \(\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\beta}\end{array}\right)=\mathrm{C}_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\beta}}=\frac{\boldsymbol{\alpha} !}{\boldsymbol{\beta} !(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}) !}\).
证明:(1):注意到如下的关系式:
\[\int D^{\alpha}\left(D^{\beta} u\right) \phi \mathrm{dx}=(-1)^{|\alpha|} \int D^{\beta} u \cdot D^{\alpha} \phi \mathrm{dx}=(-1)^{|\alpha|+|\beta|} \int u D^{\alpha+\beta} \phi \mathrm{dx} \]从上边的等式中我们可以看出 (1)成立.
\((2) /(3)\) : 显然.
(4): 我们利用数学归纳法来证明:首先看 \(k=1\) 的情况, 即证明:
\[\frac{\partial(\xi u)}{\partial x_{i}}=\xi_{i} u+u_{i} \xi \]我们只需要验证, 对任意的 \(\phi \in C_{0}^{\infty}\),两边分别与 \(\phi\) 积分相同即可.
\[\begin{aligned} \int\left(u \frac{\partial \xi}{\partial x_{i}}+\xi \frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right) \phi \mathrm{d} x & =\int u \frac{\partial \xi}{\partial x_{i}} \phi \mathrm{d} x+\int \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \xi \phi \mathrm{d} x \\ & =\int u \frac{\partial \xi}{\partial x_{i}} \phi \mathrm{d} x-\int u \cdot \frac{\partial}{\partial x_{i}}(\xi \phi) \mathrm{d} x=-\int u \xi \cdot \phi_{x_{i}} \mathrm{~d} \mathrm{x} \end{aligned} \]现在我们假设对 \(k=l\) 结论是成立的, 往证 \(l+1\) 的情况 \(\mathrm{y}\) 也是成立的. 令: \(\alpha=\beta+\gamma\) 其中 \(|\beta|=l,|\gamma|=1\), 我们验证分部积分公式.
\[\begin{aligned} \int_{U} \zeta u D^{\alpha} \phi d x & =\int_{U} \zeta u D^{\beta}\left(D^{\gamma} \phi\right) \mathrm{dx}=(-1)^{|\beta|} \int_{U} \sum_{\sigma \leq \beta}\left(\begin{array}{c} \beta \\ \sigma \end{array}\right) D^{\sigma} \zeta D^{\beta-\sigma} u D^{\gamma} \phi \mathrm{dx} \\ & =(-1)^{|\beta|+|\gamma|} \int_{U} \sum_{\sigma \leq \beta}\left(\begin{array}{c} \beta \\ \sigma \end{array}\right) D^{\gamma}\left(D^{\sigma} \zeta D^{\beta-\sigma} u\right) \phi \mathrm{dx} \\ & =(-1)^{|\alpha|} \int_{U} \sum_{\sigma \leq \beta}\left(\begin{array}{c} \beta \\ \sigma \end{array}\right)\left[D^{\rho} \zeta D^{\alpha-\rho} u+D^{\sigma} \zeta D^{\alpha-\sigma} u\right] \phi \mathrm{dx} \\ & =(-1)^{|\alpha|} \int_{U}\left[\sum_{\sigma \leq \alpha}\left(\begin{array}{c} \alpha \\ \sigma \end{array}\right) D^{\sigma} \zeta D^{\alpha-\sigma} u\right] \phi \mathrm{dx} \end{aligned} \]上述的证明中用到了组合数的一个基本性质:
其中 \(\rho=\sigma+\gamma\).
\[\left(\begin{array}{c} \beta \\ \sigma-\gamma \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \beta \\ \sigma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \alpha \\ \sigma \end{array}\right) \]但是, 弱导数和古典导数终究是有区别的.
例 5. 设 \(|\boldsymbol{x}|=\sqrt{\sum x_{i}^{2}}\), 取 \(\Omega=B(0,1)\) 为 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的开单位球且 \(u(\boldsymbol{x})=|\boldsymbol{x}|^{-\alpha}, \boldsymbol{x} \in \Omega, \boldsymbol{x} \neq 0\). 试问当 \(n, p, \alpha>0\) 取什么值时, \(u \in W^{1, p}(\Omega)\) ? 首先我们有: \(u_{x_{i}}=-\frac{a x_{i}}{|x|^{a+2}}\), 因此 \(|D u|=\frac{|a|}{|x|^{a+1}}\), 现在我们要保证 \(|D u| \in L^{p}\), 因此:
显然要求: \(0 < a < \frac{n}{p}-1\).
\[\int_{B(0,1)} \frac{1}{|x|^{(a+1) p}} \mathrm{dx}=\omega_{n} \int_{0}^{1} \frac{1}{r^{(a+1) p}} r^{n-1} \mathrm{dr} \]接下来我们验证分部积分公式：对于任何 \(\phi \in C_{0}^{\infty}(\Omega), \varepsilon>0\) 有
\[\begin{aligned} \int_{\Omega \backslash B(0, \varepsilon)} u \phi_{x_{i}} \mathrm{dx} & =\int_{\partial B(0, \varepsilon)} u \phi \cdot v^{i} d S_{x}-\int_{\Omega \backslash B(0, \varepsilon)} u_{x_{i}} \phi \mathrm{d} x \\ & =\int_{\partial B(0, \varepsilon)} \varepsilon^{-\alpha} \phi v^{i} d S_{x}-\int_{\Omega \backslash B(0, \varepsilon)} u_{x_{i}} \phi \mathrm{d} x \end{aligned} \]因此分部积分如果成立, 就必要要求 \(\varepsilon \rightarrow 0\) 时, RHS 的第一项要趋于 0 , 对后者进行估值
\[\left|\int_{B(0, \varepsilon)} \varepsilon^{-\alpha} \phi v^{i} d S_{x}\right| \leqslant|\phi|_{L^{\infty}} \int_{B(0, \varepsilon)} \varepsilon^{-\alpha} \mathrm{d} S_{x} \leqslant|\phi|_{L^{\infty}} \varepsilon^{-\alpha} M \varepsilon^{n-1} \leqslant M \varepsilon^{n-\alpha-1} \rightarrow .0 \]由于我们要求 \(\alpha < n / p-1\), 因此当 \(\varepsilon \rightarrow 0\) 时, 结论成立.
2. Sobolev空间
2. 1 定义
定义 6. \(\left(\operatorname{Sobolev}\right.\) 空间 \(\left.\boldsymbol{W}^{m, p}(\boldsymbol{\Omega})\right)\) 对于 \(1 \leqslant p \leqslant+\infty\), 记
\[W^{m, p}(\Omega)=\left\{v \in L^{p}(\Omega)\left|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} v \in L^{p}(\Omega), \forall \boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{Z}_{+}^{n},\right| \boldsymbol{\alpha} \mid \leqslant m\right\} \]其中, \(D^{\alpha} u\) 表述 \(u\) 的 \(\alpha\) 阶弱导数. 对 \(u \in W^{m, p}\), 我们可以定义其范数为:
或者是:
\[\|u\|_{W^{m, p}(\Omega)}:=\left(\sum_{|\alpha| \leqslant m}\left\|D^{\alpha} u\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac{1}{p}} . \]\[\|u\|_{W^{m, p}(\Omega)}:=\sum_{|\alpha| \leqslant m}\left\|D^{\alpha} u\right\|_{p} \]由基本不等式可以得到这两个范数是等价范数. 特别的, 当 \(p=2\) 时, 我们记 \(W^{m, 2}\) 为 \(H^{m}\) 在该空间中我们可以定义内积使其称为一个Hilbert空间:
\[(u, v)_{H^{m}}:=\sum_{|\alpha| \leqslant m}\left(D^{\alpha} u, D^{\alpha} v\right)_{L^{2}} \]当我们称 \(f_{k}\) 在 \(W^{m, p}\) 中收敛到 \(f\) 时, 是指其按照范数收敛到 \(f\). 即:
\[||f_k-f||_{W^{m,p}}\to 0 \]类似\(L_{loc}^1\)空间,我们可以定义局部\(W^{m,p}\)空间.
\[W_{\mathrm{loc}}^{m, p}(\Omega)=\left\{v \in L_{\mathrm{loc}}^{p}(\Omega)\left|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} v \in L_{\mathrm{loc}}^{p}(\Omega), \forall \boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{Z}_{+}^{n},\right| \boldsymbol{\alpha} \mid \leqslant m\right\} \]如果 \(f \in W_{\mathrm{loc}}^{m, p}\), 那么我们就称其为一个Sobolev 函数.
现在我们说明这是一个赋范空间:
- 范数的正定型:
这是显然的.
\[\|u\|_{W^{k, p}}=0 \Longleftrightarrow u=0, \text { a. } e x \in U \]- 正齐次性也是 Trival的.
- 三角不等式, 利用 \(L^{p}\) 的三角不等式可以证明. 只考虑 \(1 \leq p<\infty\)
比较困难的是完备性的证明.
定理 7. \(W^{m, p}(U)\) 是一Banach空间.
证明: 现在我们设 \(\left\{f_{k}\right\}\) 是 \(W^{m, p}\) 中的 Cauchy列, 往证: 存在一子列使得 \(f_{k_{j}}\) 在 \(W^{m, p}\) 中收敛到 \(f\). 由于 \(f_{k}\) 是基本列, 因此:
\[\left\|f_{k}-f_{j}\right\|_{W^{m, p}} \rightarrow 0 \]- 我们这里暂且只考虑 \(1 \leqslant p<\infty\) 的情况. 故 \(\left\{D^{\alpha} f_{k}\right\}\) 在 \(L^{p}\) 中是 Cauchyl 列, 那么必然存在收敛的字列 \(g^{\alpha} \in L^{p}\). 并且:
我们记 \(g^{(0, \cdots, 0)}=g\), 现在证明 \(g\) 的各 \(\alpha\) 阶导数就是 \(g^{\alpha}\). 首先我们有:
\[\int f_{j} D^{\alpha} \phi \mathrm{dx}=(-1)^{|\alpha|} \int D^{\alpha} f_{j} \phi \mathrm{dx} \]\(L^{p}\) 中的强收敛 (依范数收敛) 蕴含弱收敛, 因此当 \(j \rightarrow \infty\) 时, 就有 :
\[\int g D^{\alpha} \phi \mathrm{dx}=(-1)^{|\alpha|} \int g^{\alpha} \phi \mathrm{dx} \]因此 \(g^{\alpha}\) 就是 \(g\) 的各阶导数, 且 \(g^{\alpha} \in L^{p}\), 故 \(g \in W^{m, p}\). 现在证明 \(\left\|f_{k}-g\right\|_{W^{m, p}} \rightarrow 0\).
\[\begin{aligned} \left\|f_{j}-g\right\|_{W^{m, p}(\Omega)}^{p} & =\sum_{|\boldsymbol{\alpha}| \leqslant m} \int_{\Omega}\left|\mathrm{D}^{\alpha} f_{j}-\mathrm{D}^{\alpha} g\right|^{p} d \boldsymbol{x} \\ & =\sum_{|\boldsymbol{\alpha}| \leqslant m} \int_{\Omega}\left|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f_{j}-g^{\boldsymbol{\alpha}}\right|^{p} d \boldsymbol{x} \rightarrow 0, \quad k \rightarrow \infty \end{aligned} \]故定理得证.
下边看 \(W^{m, p}\) 的可分性. 首先我们需要如下的引理:
引理 8. (i) 设 \(\left(X_{j},\|\cdot\|_{j}\right)\) 是Banach空间 \((j=1,2, \cdots, m)\), 则笛卡儿乘积空 间 \(X=\prod_{j=1}^{m} X_{j}\) 按照通常意义下的线性运算和范数(其中 \(\left.1 \leq p \leq \infty\right)\)
\[\|x\|_{(p)}=\left(\sum_{j=1}^{m}\left|x_{j}\right|_{j}^{p}\right)^{1 / p}, \quad x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right) \in X \]构成 Banach 空间 \(\left(X,\|\cdot\|_{(p)}\right)\).
(ii) 若 \(\left(X_{j},\|\cdot\|_{j}\right)\) 都是可分空间 \((j=1,2, \cdots, m)\) 且 \(1 \leq p < \infty\), 则 \(\left(X,\|\cdot\|_{(p)}\right)\) 也是可分空间.
(iii) 若 \(\left(X_{j},\|\cdot\|_{j}\right)\) 都是自反空间 \((j=1,2, \cdots, m)\) 且 \(1< p < \infty\), 则 \(\left(X,\|\cdot\|_{(p)}\right)\) 也是自反空间.
(iv) 可分Banach空间的闭子空间还是可分Banach空间，自 反Banach空间的闭子空间也是自反Banach空间.
现在我们利用引理 8 就可以证明 \(W^{m, p}\) 的可分性和自反性.
定理 9. 当 \(1 \leqslant p < \infty\) 时, \(W^{m, p}\) 是可分的, 当 \(1 < p < \infty\) 时, \(W^{m, p}\) 是自反的.
证明:我们记:
\[L_{N}^{p}(U)=L^{p}(U) \times L^{p}(U) \times \cdots \times L^{p}(U) \]其中 \(N\) 为所有 \(|\alpha| \leq k\) 的多重指标的个数. 并在上边定义范数为:
\[\|v\|_{L_{N}^{p}(U)}=\left(\sum_{j=1}^{N}\left|v_{j}\right|_{L^{p}(U)}^{p}\right)^{1 / p}, \quad v=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{N}\right) \in L_{N}^{p}(U) \]因此这是一个Banach 空间, 且当 \(1 \leq p <\infty\) 空间可分, 当 \(1 < p < \infty\) 空间是自反的.
为此我们构建 \(W^{k, p}\) 到 \(L_{N}^{p}\) 的映射:
\[P: W^{k, p}(U) \rightarrow L_{N}^{p}(U) ; P(u)=\left(D^{\alpha} u:|\alpha| \leq k\right) \]由于 \(W^{k, p}\) 的完备性, 因此 \(P W^{k, p}\) 在 \(L_{N}^{p}\) 中是闭子空间, 并且: \(W^{k, p} \rightarrow P W^{k, p}\) 是等距同构的, 由引理 8 的 \(3 / 4\) 条可知, 当 \(p\) 满足相应的关系时, 这个空间是可分的、自反的.
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