求解过渡矩阵（表示矩阵）并进行坐标变换；

空间Vn(F)：ξ=[ξ1⋯ξn]和η=[η1⋯ηn]是基，T是线性变换，α∈Vn(F)任意。

1. 已知α在ξ下的坐标为x=[x1⋮xn]，ξ→η的过度矩阵为C，则α在η下的坐标为y=C−1x；
2. 已知T在ξ下的表示矩阵为A，ξ→η的过度矩阵为C，则T在η下的表示矩阵为B=C−1AC；
3. 已知α在ξ下的坐标为x=[x1⋮xn]，T在ξ下的表示矩阵为A，则T(α)在ξ下的坐标为z=Ax；

证明W是V的子空间

1. 寻找一个元素α0∈W说明W是非空集合（一般地可以选择零元素）；
2. 证明W中的元素对加法封闭：∀α1,α2∈W,  (α1⊕α2)∈W；
3. 证明W中的元素对数乘封闭：∀α∈W,k∈F,  k∘α∈W；

求子空间W的基以及它的维数

V的基为ξ=(ξ1⋯ξn)，W={x=ξ⋅k | p(k) is true}，p是系数k的约束，∀α∈W。

则可知α∈V也成立，不妨设α在V下的坐标为k=(k1⋮kn)∈Cn任意，p对应的约束方程为Ak=0。

不妨其基础解系为η=[η1⋯ηr]，则k=η⋅c，其中c∈Cr任意，所以α=ξ⋅k=ξη⋅c。

①∀α∈W都能由ξη线性表示；②ξ是线性无关组，η也是线性无关组，所以ξη也是线性无关组。所以ξη是W的一组基，dim⁡(W)=rank⁡(η)。

在作答时，只需书写如下步骤：①计算p(k)对应的齐次方程Ak=0的基础解系η; ②所以dim⁡(W)=rank⁡(η); ③且W的一组基为ξη。

求空间的交集与并集的维数以及基

不妨设V1=span{α1,⋯,αr}=span(A)，V2=span{β1,⋯,βs}=span(B)，αi,βj∈Cm。

1. 求V1+V2维数和基

   求[A,B]的Hermite标准形H，则dim⁡(V1+V2)=rank⁡([A,B])，基为[A,B]中对应于的ei(H)的极大无关组。

   可以通过满秩分解来求：不妨设[A,B]=FG，则dim⁡(V1+V2)=rank⁡(G)，基就是F。

2. 求V1⋂V2维数和基

   ∀η∈V1⋂V2，η=A⋅a=B⋅(−b)，即有[A,B]⋅[ab]=0，即解出齐次方程[A,B]x=0。

   基础解系为ξ=[ξ1,⋯,ξt](r+s)×t=[(ξ1aξ1b)⋯(ξtaξtb)]=[ξaξb]，系数为k=[k1⋮kt]，则通解[ab]=ξ⋅k。

   所以解出：a=ξa⋅k，b=ξb⋅k。代入得η=A⋅ξa⋅k=Aξa⋅k=B⋅(−ξb⋅k)=−Bξb⋅k。

   而由于k是一个t维的自由向量（即有t个自由变元），所以不妨令γ=Aξa=−Bξb=[γ1,⋯,γt]，由于A线性无关、ξa线性无关，所以Aξa线性无关，B线性无关、ξb线性无关，所以Bξb线性无关。即有γ线性无关，而V1⋂V2中的任意向量η都能被γ线性表示出来，所以可以得出γ即是V1⋂V2的基，dim⁡(V1⋂V2)=t。

   线性无关组α=[α1,⋯,αr]和β=[β1,⋯,βs]，则α⋅β也是线性无关组。

   αβ⋅k=[α1⋯αr]⋅[β1⋯βs]⋅[k1⋮ks]=[α1⋯αr]⋅[∑i=1sβi(1)ki⋮∑i=1sβi(r)ki]=α1⋅∑i=1sβi(1)ki+⋯+αr⋅∑i=1sβi(r)ki=∑j=1rαj⋅∑i=1sβi(j)ki

   令αβ⋅k=0可得：∑j=1rαj⋅∑i=1sβi(j)ki=0，而α是极大无关组，所以∑i=1sβi(j)ki=0，j=1∼r。

   所以有[∑i=1sβi(1)ki⋮∑i=1sβi(r)ki]=0，即有β⋅k=0，而β是线性无关组，所以只有k=0，即证αβ也是线性无关组。

   在作答时，只要书写如下步骤：①计算齐次方程[A,B]x=0的基础解系为ξ=[ξaξb]; ②又因为γ=Aξa=−Bξb，所以V1⋂V2中的任意向量η都能被γ线性表示出来; ③即有dim⁡(V1⋂V2)=rank⁡(γ)，V1⋂V2=span(γ)。

求α到β的线性变换T在α下的表示矩阵（α→β的过渡矩阵）

已知V中的两个基：α=[α1⋯αr]和β=[β1⋯βs]，T(α)=β=α⋅T，其数域F=Cm。将αi和βj按照统一位次次序拉伸为向量形式，得到两组基对应的可逆矩阵A和B。

∀η∈V非零向量，在基α和β下的坐标分别为a=[a1⋮ar]和b=[b1⋮bs]，a∈Cr,b∈Cs任意非零向量。

即有η=α⋅a=β⋅b，按统一位次次序一一对应后有A⋅a=B⋅b，由于a和b都是非零向量，且由题意α可以向β变换，所以a是有解的，故有通解为a=A+B⋅b+(Ir−A+A)⋅y，y∈Cr任意。

故代入η并结合α⋅T=β得出等式：α⋅(A+B⋅b+(Ir−A+A)⋅y)=α⋅T⋅b。

化简即有：α⋅(A+B−T)⋅b=α⋅(Ir−A+A)⋅y，由dim⁡(α)=r得：rank⁡(A)=r⇔A+A=Ir。

即有最后的等式：α⋅(A+B−T)⋅b=0。由于α是V中的一组基，所以只有坐标(A+1B−T)⋅b=0时上述等式成立；又由于b是s维自由向量（解向量b有s个自由变元），所以有T在α下的表示矩阵为A+1B。

但是在实际作答过程中不能书写此步骤，此步骤只是作为辅助手段，帮助我们快速确定α与β之间的转换关系。所以在做题时需要老老实实写出βj和α之间的关系：β=α。

只有当你能确定α可以向β进行转换时才能使用该方法，因为降维变换是不可逆的。

当A−1存在时，A+=A−1。

核子空间与象子空间

1. 核子空间N(T)={x∈V: Tx=0}，所以dim⁡(N(T))=n−rank⁡(T)；
2. 象子空间R(T)={y=Tx, x∈V}，所以dim⁡(R(T))=rank⁡(T)；

正交投影矩阵与坐标变换

设Rm中L=span{α1,⋯,αn}=span{A}，则正交投影矩阵为PL=A(ATA)−1AT。

η∈Rm在L上的正交投影为y=PL⋅η，在L⊥上的正交投影为z=η−y。

求解Jordan标准形的两种方法

1. 相似变换秩不变：r(λI−A)k=r(λI−J)k，其中k可以从1开始取，直到筛选出唯一的J；
2. 初等因子组：求解行列式因子Di(λ)，再求不变因子di(λ)=Di(λ)Di−1(λ)，最后求每个不变因子中的非1因式；

求解Jordan相似变换矩阵

利用AP=PJ可以得出方程组APi=Pi⋅λi+Pi−1⋅Ji−1,i，其中Ji−1,i=0∨1。

1. 当Ji−1,i=0时，Pi就是矩阵A的特征值为λi的特征向量 ⇔Pi是方程(λiI−A)x=0的通解；
2. 当Ji−1,i=1时，Pi就是方程(λiI−A)x=−Pi−1的通解，其特解的自由变元为0；

最后需要满足P是可逆矩阵，即要求其行列式不为0，求出Pi中各个自由参数的约束，并取特殊值代入。

求矩阵范数

1. ‖A‖m1=∑i,j|aij|；
2. ‖A‖m∞=max(m,n)⋅maxi,j(|aij|)；
3. ‖A‖F=∑aij2=tr⁡(AHA)=∑λAHA(i)；
4. 任意向量范数可被定义为：‖x‖α=‖xαT‖，α=repT(1,n)；

求矩阵算子范数

1. 与向量1-范数相容的矩阵列和范数：‖A‖1=maxj∑iaij（列模和的最大值）；
2. 与向量∞范数相容的矩阵行和范数：‖A‖∞=maxi∑jaij（行模和的最大值）；
3. 与向量2-范数相容的矩阵谱范数：‖A‖2=λAHA(1)；（AHA的最大特征值的根）；
4. 当然与向量2-范数相容的还有矩阵F范数‖A‖F；
5. 任意矩阵算子范数可以被定义为：‖A‖=maxx≠0‖Ax‖α‖x‖α=max‖x‖α=1‖Ax‖α；

证明实值函数‖x‖A是Cn上的一种向量范数

1. 正定性：‖x‖A≥0，且‖x‖A=0⟺x=0；
2. 齐次性：‖kx‖A=|k|‖x‖A；
3. 三角不等式：‖x1+x2‖A≤‖x1‖A+‖x2‖A；

证明实数‖A‖是A的矩阵范数

1. 正定性：‖A‖≥0，且‖A‖=0⟺A=0；
2. 齐次性：‖kA‖=k⋅‖A‖；
3. 三角不等式：‖A+B‖=‖A‖+‖B‖；
4. 相容性：‖AB‖≤‖A‖⋅‖B‖；

用向量范数‖·‖α构造另一个向量范数‖·‖β；（三种性质均通过β范数搭桥）

用矩阵范数‖·‖α构造另一个矩阵范数‖·‖β；（四种性质均通过β范数搭桥）

利用盖尔圆孤立特征值

1. 求行盖尔圆和列盖尔圆

   行盖尔圆为：列盖尔圆为：行盖尔圆为：Sk:|z−akk|≤∑j≠kn|akj|    列盖尔圆为：Gk:|z−akk|≤∑i≠kn|aik|

2. 如果不能完全孤立所有的盖尔圆，则使用对角阵增大孤立盖尔圆半径并缩小连通盖尔圆半径

   1. 设独立的行盖尔圆有r个，编号为x=[x1⋯xr]；独立的列盖尔圆有c个，编号为y=[y1⋯yc]。
   2. 选择孤立盖尔圆多的方向，即编号为z=[z1⋯zm]=r≥c ? x:y的行或列盖尔圆，增大孤立盖尔圆半径Rzk，k=1∼m；缩小连通盖尔圆半径Ri，i≠zk，k=1∼m。
   3. 令对角阵D=[δ1⋱δn]，δi={dk i=zk, k=1∼m1otherwise，增大行盖尔圆半径增大列盖尔圆半径dk={0<dk<1增大行盖尔圆半径1<dk增大列盖尔圆半径，一般选择12或者2。则有B=D−1AD与A有相同特征值，所以B的行列盖尔圆也可以隔离A的特征值。

如果行列盖尔圆中独立盖尔圆的并集包含所有盖尔圆，则所有的盖尔圆独立；

实矩阵A的盖尔圆都孤立，则说明A的特征值全为实数；

实矩阵的复特征值一定是成对出现的，因为实矩阵的行列式是实数，其值为特征值之积；

几个重要的范数不等式（p,q为共轭指数：1p+1q=1）

构造Holder范数为‖x‖p=(∑|xk|p)1p（证明满足(1)正定性; (2)齐次性; (3)三角不等式）。

1. Holder不等式（祖宗不等式）

   ，即有∑k=1n|akbk|=∑k=1n|ak||bk|≤(∑k=1n|ak|p)1p(∑k=1n|bk|q)1q，即有:(a,b)≤(|a|,|b|)≤‖a‖p‖b‖q

2. Cauchy-Schwarz不等式（p=q=2时的Holder不等式）

   ，即有∑k=1n|akbk|=∑k=1n|ak||bk|≤(∑k=1n|ak|2)12(∑k=1n|bk|2)12，即有(a,b)≤(|a|,|b|)≤‖a‖2‖b‖2

3. 多重Holder不等式（m个n维向量的Hadamard积形式：(⨀|Xi|,rep(1,n))=‖⨀|Xi|‖1）

   ，即有∑k=1n∏i=1m|Xik|≤∏i=1m(∑k=1n|Xik|pi)1pi，即有(⨀i=1mXi,rep(1,n))≤‖⨀i=1m|Xi|‖1≤∏i=1m‖Xi‖pi

4. Minkowski不等式（Holder范数的三角不等式）

   ，即有(∑k=1n|ak+bk|p)1p≤(∑k=1n|ak|p)1p+(∑k=1n|bk|p)1p，即有‖a+b‖p≤‖a‖p+‖b‖p

均值不等式中1-范数与2-范数的关系

算术平均数平方平均数{算术平均数:An=∑inxin=x1+⋯+xnn=1n⋅‖x‖1平方平均数:Qn=∑inxi2n=x12+⋯+xn2n=1n⋅‖x‖2

由算术平均数≤平方平均数可得：‖x‖1≤n⋅‖x‖2，而根据俩范数的定义我们知道：‖x‖2≤‖x‖1，所以最终我们得出：‖x‖2≤‖x‖1≤n⋅‖x‖2。

最小多项式求f(At)

1. 求解最小多项式mA(λ)

   首先求解|λI−A|=cA(λ)=∏i=1n(λ−λi)ci，然后查看∏i=1n(λ−λi)ri是否是零矩阵，如果是则求出最小多项式为mA(λ)=∏i=1n(λ−λi)ri，其中ri=1:ci。

2. 用A的多项式近似f(At)（待定系数）

   构造函数r(λ)=∑i=0m−1ai⋅λi，其中的m是指最小多项式mA(λ)的最高次数。用rA(λ)近似f(λ)即要满足：

   ，其中的重数f(k)(λi)=r(k)(λi)，其中k=1:(λi的重数)

   解得ai代入rA(λ)，最后f(At)=r(At)=∑i=0m−1ai⋅Ai即可获得f(At)对应的A多项式。

用Jordan标准形求f(At)

不妨设Ji是A的第i个Jordan块，ki为λi的重数，则有（行泰勒展开项）

f(Jit)=[f(λit)ddλf(λt)|λ=λi⋯1(ki−1)!d(ki−1)dλ(ki−1)f(λt)|λ=λi0f(λit)ddλf(λt)|λ=λi⋮00⋱⋮⋮⋮⋮0⋯⋯f(λit)]

由f(At)=P⋅f(Jt)⋅P−1得出：f(At)=P⋅diag({f(Jit)})⋅P−1。

求解一阶微分方程组

x(t)=eA(t−t0)⋅c+eAt⋅∫t0te−Au⋅f(u) du

矩阵求导与向量求导

导数的结构首先由分母的布局决定，其中的元素由分子的布局决定。

1. ddx(xTAx)=Ax
2. ddX(tr⁡(AX))=AT
3. ddx(Ax)=[a11⋯amn]T；
4. ddx(xTAT)=AT；
5. ddA(tr⁡(A))=In；

满秩分解及其广义逆

求得A的Hermite标准形（行最简标准形），记为AH=[G0]，然后取F为A中对应于AH的极大线性无关组。

A+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH。

奇异值分解及其广义逆

1. 首先求出AHA的特征值，取其非0特征值为λ1:r（递减），则A的奇异值为σ1:r=λ1:r；
2. 然后令Σ=diag({σi})，则V1为λ1:r对应的特征向量，然后取与V1单位正交的V2；
3. U1=AV1Σ−1，取与U1单位正交的U2；
4. A=U[Σ0T00]VH，A+=V[Σ−10T00]UH；

由于V2与V1正交，所以求V2即求V1Hx=0的基础解系的单位向量；同理U2为U1Hx=0的基础解系的单位向量。

正交三角分解

1. Schmidt正交化

   βs=αs−∑i=1s−1<βi,αs><βi,βi>βi=αs−β1:s⋅ks     qs=βs‖βs‖2A=QR=[q1,⋯,qn]⋅[r1,⋯,rn]αs=[β1:s−1,βs,βs+1:n]⋅[ks10]=[q1:s,qs+1:n]⋅[‖β1:s‖20]∘[k1:s10]

   首先使用Schmidt求出正交向量组q，然后通过Schmidt公式反推出α与q的线性表出关系r。

2. Householder变换

   αi=Bi:m,i(i)    ‖ρi‖2=‖αi‖2     ui=αi−ρie1‖αi−ρie1‖2H~i=I−2uiuiH    B(i+1)=[Ii0T0H~i]B(i)    B(1)=A

   ρi⋅αie1要是实数，也就是ρi必须和αie1（αi的第1个元素）在复数域上形式相同。

Ax=b有解

AA+b=b，通解为x=A+b+(I−A+A)y，y∈Cn任意，极小范数解x0=A+b；

Ax=b无解

AA+b≠b，通解为x=A+b+(I−A+A)y，y∈Cn任意，极小范数最小二乘解x0=A+b；