常用拉普拉斯变换及其性质和证明

1. 基本函数的拉普拉斯变换

2. 常用性质

（1）线性性质

L { a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) } = a F 1 ( s ) + b F 2 ( s ) \mathcal{L}\{a f_1(t) + b f_2(t)\} = a F_1(s) + b F_2(s) L{af1​(t)+bf2​(t)}=aF1​(s)+bF2​(s)

（2）延时性质

若 f ( t ) → L F ( s ) f(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} F(s) f(t)L ​F(s)，则
f ( t − τ ) u ( t − τ ) → L e − τ s F ( s ) f(t-\tau)u(t-\tau) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{-\tau s}F(s) f(t−τ)u(t−τ)L ​e−τsF(s)

（3）导数性质

• f ′ ( t ) → L s F ( s ) − f ( 0 + ) f'(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} sF(s) - f(0^+) f′(t)L ​sF(s)−f(0+)
• f ′ ′ ( t ) → L s 2 F ( s ) − s f ( 0 + ) − f ′ ( 0 + ) f''(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} s^2F(s) - sf(0^+) - f'(0^+) f′′(t)L ​s2F(s)−sf(0+)−f′(0+)

（4）积分性质

∫ 0 t f ( τ ) d τ → L F ( s ) s \int_{0}^{t} f(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{F(s)}{s} ∫0t​f(τ)dτL ​sF(s)​

（5）卷积性质

若 f 1 ( t ) f_1(t) f1​(t) 和 f 2 ( t ) f_2(t) f2​(t) 的卷积定义为：
f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ 0 t f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f_1(t) * f_2(t) = \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau f1​(t)∗f2​(t)=∫0t​f1​(τ)f2​(t−τ)dτ
则拉普拉斯变换为：
L { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = F 1 ( s ) F 2 ( s ) \mathcal{L}\{f_1(t) * f_2(t)\} = F_1(s)F_2(s) L{f1​(t)∗f2​(t)}=F1​(s)F2​(s)

（6）频移性质

e a t f ( t ) → L F ( s − a ) e^{at}f(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} F(s-a) eatf(t)L ​F(s−a)

（7）初值与终值定理

• 初值定理：
  f ( 0 + ) = lim ⁡ s → ∞ s F ( s ) f(0^+) = \lim_{s \to \infty} sF(s) f(0+)=s→∞lim​sF(s)
• 终值定理：
  f ( ∞ ) = lim ⁡ s → 0 s F ( s ) f(\infty) = \lim_{s \to 0} sF(s) f(∞)=s→0lim​sF(s)

3. 特殊函数的拉普拉斯变换

4. 一些基本证明

拉普拉斯变换的定义

L { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t   d t \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt L{f(t)}=F(s)=∫0∞​f(t)e−stdt

1. 线性性质证明

如果 f 1 ( t ) → L F 1 ( s ) f_1(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} F_1(s) f1​(t)L ​F1​(s)，且 f 2 ( t ) → L F 2 ( s ) f_2(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} F_2(s) f2​(t)L ​F2​(s)，则对于任意常数 a a a 和 b b b：
L { a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) } = ∫ 0 ∞ [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) ] e − s t   d t \mathcal{L}\{a f_1(t) + b f_2(t)\} = \int_{0}^{\infty} \left[ a f_1(t) + b f_2(t) \right] e^{-st} \, dt L{af1​(t)+bf2​(t)}=∫0∞​[af1​(t)+bf2​(t)]e−stdt
将积分拆分：
= a ∫ 0 ∞ f 1 ( t ) e − s t   d t + b ∫ 0 ∞ f 2 ( t ) e − s t   d t = a \int_{0}^{\infty} f_1(t) e^{-st} \, dt + b \int_{0}^{\infty} f_2(t) e^{-st} \, dt =a∫0∞​f1​(t)e−stdt+b∫0∞​f2​(t)e−stdt
根据定义：
= a F 1 ( s ) + b F 2 ( s ) = a F_1(s) + b F_2(s) =aF1​(s)+bF2​(s)
因此，线性性质成立。

2. 延时性质证明

设 g ( t ) = f ( t − τ ) u ( t − τ ) g(t) = f(t-\tau)u(t-\tau) g(t)=f(t−τ)u(t−τ)，其拉普拉斯变换为：
L { g ( t ) } = ∫ 0 ∞ g ( t ) e − s t   d t = ∫ 0 ∞ f ( t − τ ) u ( t − τ ) e − s t   d t \mathcal{L}\{g(t)\} = \int_{0}^{\infty} g(t) e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} f(t-\tau) u(t-\tau) e^{-st} \, dt L{g(t)}=∫0∞​g(t)e−stdt=∫0∞​f(t−τ)u(t−τ)e−stdt
因为 u ( t − τ ) = 0 u(t-\tau) = 0 u(t−τ)=0 当 t < τ t < \tau t<τ，所以积分下限可以改为 τ \tau τ：
= ∫ τ ∞ f ( t − τ ) e − s t   d t = \int_{\tau}^{\infty} f(t-\tau) e^{-st} \, dt =∫τ∞​f(t−τ)e−stdt
令 t ′ = t − τ t' = t - \tau t′=t−τ，则 d t = d t ′ dt = dt' dt=dt′，且当 t = τ t = \tau t=τ 时， t ′ = 0 t' = 0 t′=0；当 t → ∞ t \to \infty t→∞ 时， t ′ → ∞ t' \to \infty t′→∞：
= ∫ 0 ∞ f ( t ′ ) e − s ( t ′ + τ )   d t ′ = \int_{0}^{\infty} f(t') e^{-s(t'+\tau)} \, dt' =∫0∞​f(t′)e−s(t′+τ)dt′
将 e − s τ e^{-s\tau} e−sτ 提取出来：
= e − s τ ∫ 0 ∞ f ( t ′ ) e − s t ′   d t ′ = e^{-s\tau} \int_{0}^{\infty} f(t') e^{-st'} \, dt' =e−sτ∫0∞​f(t′)e−st′dt′
根据定义：
= e − s τ F ( s ) = e^{-s\tau} F(s) =e−sτF(s)
因此，延时性质成立。

3. 导数性质证明

设 f ′ ( t ) f'(t) f′(t) 的拉普拉斯变换为：
L { f ′ ( t ) } = ∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t   d t \mathcal{L}\{f'(t)\} = \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} \, dt L{f′(t)}=∫0∞​f′(t)e−stdt
对 f ( t ) e − s t f(t)e^{-st} f(t)e−st 使用分部积分：
令 u = e − s t u = e^{-st} u=e−st， d v = f ′ ( t ) d t dv = f'(t)dt dv=f′(t)dt，则 d u = − s e − s t d t du = -se^{-st}dt du=−se−stdt， v = f ( t ) v = f(t) v=f(t)：
∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t   d t = [ f ( t ) e − s t ] 0 ∞ − ∫ 0 ∞ f ( t ) ( − s e − s t )   d t \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} \, dt = \left[ f(t)e^{-st} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} f(t)(-se^{-st}) \, dt ∫0∞​f′(t)e−stdt=[f(t)e−st]0∞​−∫0∞​f(t)(−se−st)dt
边界条件：

• 当 t → ∞ t \to \infty t→∞，若 f ( t ) f(t) f(t) 增长缓慢（指数衰减），则 f ( t ) e − s t → 0 f(t)e^{-st} \to 0 f(t)e−st→0；
• 当 t = 0 t = 0 t=0， f ( t ) e − s t → f ( 0 + ) f(t)e^{-st} \to f(0^+) f(t)e−st→f(0+)。

因此：
∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t   d t = − f ( 0 + ) + s ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t   d t \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} \, dt = -f(0^+) + s \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt ∫0∞​f′(t)e−stdt=−f(0+)+s∫0∞​f(t)e−stdt
根据定义：
L { f ′ ( t ) } = s F ( s ) − f ( 0 + ) \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^+) L{f′(t)}=sF(s)−f(0+)

4. 卷积性质证明

设 h ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ 0 t f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ )   d τ h(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau) \, d\tau h(t)=f1​(t)∗f2​(t)=∫0t​f1​(τ)f2​(t−τ)dτ，求 h ( t ) h(t) h(t) 的拉普拉斯变换：
L { h ( t ) } = ∫ 0 ∞ h ( t ) e − s t   d t = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 t f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ )   d τ ) e − s t   d t \mathcal{L}\{h(t)\} = \int_{0}^{\infty} h(t)e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau) \, d\tau \right) e^{-st} \, dt L{h(t)}=∫0∞​h(t)e−stdt=∫0∞​(∫0t​f1​(τ)f2​(t−τ)dτ)e−stdt
交换积分顺序（Fubini 定理）：
= ∫ 0 ∞ ∫ τ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) e − s t   d t   d τ = \int_{0}^{\infty} \int_{\tau}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)e^{-st} \, dt \, d\tau =∫0∞​∫τ∞​f1​(τ)f2​(t−τ)e−stdtdτ
令 t ′ = t − τ t' = t - \tau t′=t−τ，则 d t = d t ′ dt = dt' dt=dt′，且 t = τ t = \tau t=τ 时， t ′ = 0 t' = 0 t′=0，当 t → ∞ t \to \infty t→∞ 时， t ′ → ∞ t' \to \infty t′→∞：
= ∫ 0 ∞ f 1 ( τ ) ( ∫ 0 ∞ f 2 ( t ′ ) e − s ( t ′ + τ )   d t ′ ) d τ = \int_{0}^{\infty} f_1(\tau) \left( \int_{0}^{\infty} f_2(t') e^{-s(t'+\tau)} \, dt' \right) d\tau =∫0∞​f1​(τ)(∫0∞​f2​(t′)e−s(t′+τ)dt′)dτ
将 e − s τ e^{-s\tau} e−sτ 提取到外部：
= ∫ 0 ∞ f 1 ( τ ) e − s τ ( ∫ 0 ∞ f 2 ( t ′ ) e − s t ′   d t ′ ) d τ = \int_{0}^{\infty} f_1(\tau)e^{-s\tau} \left( \int_{0}^{\infty} f_2(t')e^{-st'} \, dt' \right) d\tau =∫0∞​f1​(τ)e−sτ(∫0∞​f2​(t′)e−st′dt′)dτ
根据定义：
= F 1 ( s ) F 2 ( s ) = F_1(s)F_2(s) =F1​(s)F2​(s)

因此，卷积性质成立。

MATLAB编写拉氏变换代码

% 确保你已经加载了 Symbolic Math Toolbox
syms t s a omega;

% 定义一个符号函数 f(t)
f1 = 1;                             % f(t) = 1
f2 = t;                             % f(t) = t
f3 = exp(a*t);                      % f(t) = e^(a*t)
f4 = sin(omega*t);                  % f(t) = sin(ωt)
f5 = cos(omega*t);                  % f(t) = cos(ωt)

% 计算各个函数的拉普拉斯变换
F1 = laplace(f1, t, s);             % 拉普拉斯变换 f1(t) = 1
F2 = laplace(f2, t, s);             % 拉普拉斯变换 f2(t) = t
F3 = laplace(f3, t, s);             % 拉普拉斯变换 f3(t) = e^(a*t)
F4 = laplace(f4, t, s);             % 拉普拉斯变换 f4(t) = sin(ωt)
F5 = laplace(f5, t, s);             % 拉普拉斯变换 f5(t) = cos(ωt)

% 输出结果
disp('Laplace Transform of f1(t) = 1:');
disp(F1);

disp('Laplace Transform of f2(t) = t:');
disp(F2);

disp('Laplace Transform of f3(t) = e^(a*t):');
disp(F3);

disp('Laplace Transform of f4(t) = sin(ω*t):');
disp(F4);

disp('Laplace Transform of f5(t) = cos(ω*t):');
disp(F5);

运行结果为：

Laplace Transform of f1(t) = 1:
1/s

Laplace Transform of f2(t) = t:
1/s^2

Laplace Transform of f3(t) = e^(a*t):
1/(s-a)

Laplace Transform of f4(t) = sin(ω*t):
ω/(s^2 + ω^2)

Laplace Transform of f5(t) = cos(ω*t):
s/(s^2 + ω^2)