线性空间
1.基本概念
设向量集合 \(S=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}\)。
- 若向量 \(b\) 能由 \(S\) 进行若干次向量加法与标量乘法得到，则称 \(b\) 能被 \(S\) 表出。
- \(S\) 能够表示出的所有向量的集合称为一个 线性空间，\(S\) 称为这个线性空间的 生成子集。
- 集合 \(S\) 中若至少存在一个向量能够被其他向量表出，则称这个向量集合 线性相关，否则称这个集合 线性无关。
可以用 \(k\) 个数 \(a_1,a_2,a_3,...a_k\) 描述一个 \(k\) 维空间内的向量。
它们表示，这个向量由在第 \(i\) 个坐标轴上的长度为 \(a_i\) 的向量全部相加得到。
2.线性空间的基底
线性无关的生成子集称为这个线性空间的 基底，简称 基。
Lemma 1
线性空间的基底不一定唯一，但所有基底的大小均相同。
假设线性空间中存在两个基底 \(S,T\)，满足 \(|S|<|T|\)。
由基底的定义得，\(S,T\) 能够相互表出。
而 \(S\) 也能表出一个线性无关的 \(T'\)，使得 \(T \subseteq T',|T'|=|S|\)。则有 \(S\) 表出 \(T'\)，\(T'\) 表出 \(T\)。
由于 \(T'\) 线性无关，作为子集的 \(T\) 不能表出 \(T'\)，这与 “\(T\) 为基底” 矛盾。
基底的大小也称为这个线性空间的 维度。
Lemma 2
对于一个线性空间，其所有的生成子集至少存在一个子集是基底。
向基底中加入若干个不属于这个基底的向量，可以得到一个新的生成子集。
由基底的极小性，此方法可以生成所有的生成子集。
换而言之，任意生成子集都能用此方法生成。
Lemma 3
基底是最小的生成子集。
综合引理 1 2，反证法易得。
Lemma 4
在线性空间中，线性无关的生成子集，等价于极大线性无关子集。
设线性无关生成子集大小为 \(X\)，极大线性无关子集大小为 \(Y\)。
假设 \(X>Y\)。此时所有的线性无关子集都不是生成子集，显然矛盾。
假设 \(X<Y\)。此时所有的线性无关生成子集都不是极大的，由引理 1 得出矛盾。
则有 \(X=Y\)，亦可得出等价关系。
3.线性空间与几何
考虑如何为一维、二维、三维空间分别构造一个向量集合，使得这个集合是空间内所有向量的基底。
对每个空间坐标轴取一个单位向量，这些单位向量就是线性空间的一组基底。
考虑三维空间与三维线性空间的联系。
在线性空间中线性相关的 \(3\) 个向量，等价于在三维空间中共面或共线。
类似地，线性无关的 \(3\) 个向量等价于在三维空间中不共面或共线。
推广到 \(k\) 维线性空间，\(k\) 个线性空间中 \(k\) 个线性相关的向量，等价于它们同时处于一个小于 \(k\) 维的空间中。
另外，我们有：
- \(n\) 维空间内 \(n\) 个线性无关的向量构成线性空间的一组基；
- \(n\) 维空间的线性空间的基底大小为 \(n\)。
由此建立了线性空间这一代数上的概念与几何的联系。
4.线性空间与矩阵
对于一个 \(n \times m\) 的矩阵，我们把每一行看作一个 \(m\) 维向量，称这些向量为这个矩阵的 行向量。
同理，我们把每一列看作一个 \(n\) 维向量，称这些向量为这个矩阵的列向量。
以行向量作为生成子集的线性空间的维度称为这个矩阵的 行秩。类似地，我们有 列秩 的定义。
Theorem
对于任意一个矩阵，其行秩与列秩相等。
Proof
考虑对矩阵 \(A\) 进行初等行变换。
初等行变换分为三种：
- 交换矩阵不同的两行；
- 把矩阵的某一行乘上一个非 0 系数加到另一行上；
- 对某一行乘上一个非 0 系数。
其中第 2,3 种变换对应了行向量的向量加法与标量乘法。
这意味着无论如何对矩阵做初等行变换，行向量表出的线性空间保持不变。
类似于高斯消元，利用初等行变换将原矩阵转化为对角矩阵。
全为 0 的行表示 0 向量，无法表出除 0 向量以外的任意向量，且非 0 行组成的向量集合线性无关。
于是我们得到，矩阵的行秩就是对角矩阵的非 0 行个数。
公式
可以发现，对于这个对角矩阵进行初等列变换，得到列秩也等于非 0 行个数。
接下来需要证明对一个矩阵进行初等行变换之后，列向量表出的线性空间的维度不变。
设 \(m\) 维向量集合 \(S={a_1,a_2,a_3,...,a_n}\) 与 \(m\) 维向量 \(b\)。
\(S\) 能够表出 \(b\)，当且仅当存在一组 \(k_1,k_2,...k_n\)，满足：
\[\begin{cases} \sum a_{i,1}\cdot k_i=b_1 \\ \sum a_{i,2}\cdot k_i=b_2 \\ \sum a_{i,3}\cdot k_i=b_3 \\ \vdots\\ \sum a_{i,m} \cdot k_i = b_m \end{cases} \]我们把这个方程组写为增广矩阵形式：
\[\begin{bmatrix} a_{1,1} &a_{2,1} &a_{3,1} &\cdots &a_{n,1} &b_1\\ a_{1,2} &a_{2,2} &a_{3,2} &\cdots &a_{n,2} &b_2\\ a_{1,3} &a_{2,3} &a_{3,3} &\cdots &a_{n,3} &b_2\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ a_{1,m} &a_{2,m} &a_{3,m} &\cdots &a_{n,m} &b_2 \end{bmatrix} \]对这个矩阵进行初等行变换，不会对 \(k\) 是否存在产生影响。
设 \(S\) 变为 \(S'\)，\(b\) 变为 \(b'\)，\(T,T'\) 分别为 \(S,S'\) 表出的线性空间。
对于任意的 \(b\)，若能被 \(S\) 表出，则对应的 \(b'\) 也一定能够被 \(S'\) 表出。故 \(T,T'\) 为一组双射。
不失一般性，删去 \(S\) 中若干个元素，使得 \(S\) 变为 \(T\) 的基底，产生对应的 \(S'\)。设 \(T'\) 的基底为 \(P\)。
假设 \(|S|<|P|\)，则 \(|S'|<|P|\)。由基底的极小性，\(|S'|\) 不可能成为 \(T'\) 的生成子集，这与 \(T'\) 定义矛盾。故得到 \(|S|\geq |P|\)。
由初等行变换的可逆性，逆向地考虑，同理可得 \(|S| \leq |P|\)。
于是有 \(|S|=|P|\)。初等行变换不会影响列向量的维度。命题得证。
回到原来的对角矩阵，它的列秩就等于原矩阵的列秩。
我们最终得到，对于任意的矩阵，行秩和列秩分别对应了对角矩阵的行秩与列秩，二者相等。
标签：矩阵,空间,子集,线性,基底,向量 From： https://www.cnblogs.com/XP3301Pipi/p/18662213