偶然发现这玩意貌似很好玩于是写点意思一下
代数形式
\[\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\\ \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]这三个函数的奇偶性同正常的三角函数，其中两个奇函数是单增的，\(\cosh x\) 的增减性同 \(y=x^2\)
双曲函数恒等式
\(\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\)
\(\sinh^2(x)-\cosh^2(x)=1\)
求导法则如下：
\((\sinh x)'=\cosh x\)
\((\cosh x)'=\sinh x\)
\((\tanh x)'=1-\tanh^2x\)
甚至还有一个重要极限
\(\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sinh x}{x}=1\)
可见双曲函数和正常三角函数有高度统一性，以至于我们注意到
\[\sinh(ix)=i\sin(x),\sin(ix)=i\sinh(x)\\ \cosh(ix)=\cos(x),\cos(ix)=\cosh(x)\\ \tanh(ix)=i\tan(x),\tan(ix)=i\tanh(x) \]同样有基本的和差角公式
\[\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x \sinh y \\ \cosh(x\pm y)=\cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y\\ \tanh(x\pm y)=\dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm \tanh x \tanh y}\\ \]当然也有二倍角公式，懒得推了，降幂一样的
自然和差化积和积化和差也是可以的
常见用途是积分时换元
标签：ix,函数,tanh,dfrac,cosh,双曲,sinh,pm From： https://www.cnblogs.com/exut/p/18646250