关于LC串、并联谐振回路相关公式的基础概念提要

• 串联谐振：阻抗最小，电流最大，用于放大特定频率的信号。
• 并联谐振：阻抗最大，电流最小，用于选择或过滤特定频率的信号。

1. 每个符号的基本含义

我们从最基础的每个符号含义开始：

电路参数符号

1. R ：电阻

• 表示电路中对电流的阻碍程度，单位是欧姆（Ω）。
• 电阻会消耗电能，转化为热能。

2. L ：电感

• 是一种储能元件，通过线圈来储存磁场能量，单位是亨（H）。
• 它会对电流的变化产生阻碍，电流变化越快，阻碍越大。

3. C ：电容

• 是另一种储能元件，通过电场来储存电能，单位是法拉（F）。
• 它对电压的变化产生阻碍，电压变化越快，阻碍越大。

4. Z ：阻抗

• 阻抗是对交流信号的“总阻碍”，综合了电阻 R 、电感 L 和电容 C 的影响。
• 用于交流电路中，单位是欧姆（Ω）。

5. Y ：导纳

• 导纳是阻抗的倒数，表示电路对交流信号的“易通过程度”。
• 用于分析并联电路，单位是西门子（S）。

信号参数符号

1. ω \omega ω：角频率

   • 角频率与信号的频率有关，公式为 ω = 2 π f \omega = 2\pi f ω=2πf
   • f 是信号的频率（每秒的振动次数），单位是赫兹（Hz）。
   • 角频率 ω \omega ω 的单位是弧度每秒（rad/s）

2. f 0 f_0 f0​：谐振频率

   • 谐振频率是一个特殊的频率点，在这个点，电感和电容的作用完全抵消（解释见后）。
   • 单位是赫兹（Hz）。

3. Q ：品质因数

• 品质因数是衡量谐振电路性能的一个参数，表示能量在电路中储存和损耗的比值。
• 数值越大，表示能量损耗越小，谐振效果越好。

附加概念

1. 感抗（Inductive Reactance）： X L = ω L X_L = \omega L XL​=ωL
   • 是电感对交流信号的阻碍大小，与信号频率成正比。
2. 容抗（Capacitive Reactance）： X C = 1 ω C X_C = \frac{1}{\omega C} XC​=ωC1​
   • 是电容对交流信号的阻碍大小，与信号频率成反比。

2. 拓展基础知识

在理解公式之前，先介绍“谐振”这一核心概念：

什么是谐振？

• 谐振是一个特殊现象，发生在电感 L 和电容 C 联合的电路中。
• 在谐振频率 f 0 f_0 f0​ 时：
  • 串联电路：电感和电容的阻碍（感抗和容抗）相等并互相抵消，总阻抗最小。
  • 并联电路：电感和电容的导纳相等并互相抵消，总阻抗最大。

为什么要研究谐振？

• 谐振点是信号处理的“选择点”，可以让特定频率的信号通过而抑制其他频率。
• 这在无线通信（信号选择）、滤波器（杂波抑制）和振荡器（信号产生）中非常重要。

3. 表格公式的详细解释

(1) 阻抗与导纳公式

1. 串联谐振回路：阻抗 Z
   Z = R + j ( ω L − 1 ω C ) Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) Z=R+j(ωL−ωC1​)

   • R ：电阻
   • ω L \omega L ωL：感抗。
   • 1 ω C \frac{1}{\omega C} ωC1​：容抗。
   • 当 ω = ω 0 = 1 L C \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} ω=ω0​=LC ​1​ 时，感抗与容抗抵消，只有电阻起作用，即：
     Z = R Z = R Z=R
     此时，阻抗最小，电路中的电流最大。

2. 并联谐振回路：导纳 Y
   Y = g + j ( ω C − 1 ω L ) Y = g + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right) Y=g+j(ωC−ωL1​)

   • g = 1 R g = \frac{1}{R} g=R1​：电导。
   • ω C \omega C ωC：电容的导纳。
   • 1 ω L \frac{1}{\omega L} ωL1​：电感的导纳。
   • 当 ω = ω 0 = 1 L C \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} ω=ω0​=LC ​1​ 时，容纳与感纳相等并互相抵消，导纳最小，阻抗最大。

(2) 谐振条件与频率公式

谐振频率公式：
f 0 = 1 2 π L C f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} f0​=2πLC ​1​

• 这个公式适用于串联和并联谐振回路。
• 它说明谐振频率只由电感和电容决定，电阻不会影响谐振频率。

(3) 品质因数 Q

1. 串联谐振回路：
   Q = ω 0 L R = 1 ω 0 C R Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R} Q=Rω0​L​=ω0​CR1​

   • Q 表示电路的“好坏”：
   • Q 值大：能量损耗小，谐振效果好，选频能力强。
   • Q 值小：能量损耗大，谐振效果差。

2. 并联谐振回路：
   Q = R ⋅ ω 0 C = R ω 0 L Q = R \cdot \omega_0 C = \frac{R}{\omega_0 L} Q=R⋅ω0​C=ω0​LR​

(4) 高频与低频的特性

1. 当 f < f 0 f < f_0 f<f0​（谐振频率以下）：

   • 串联谐振回路：表现为容性（电容占主导）。
   • 并联谐振回路：表现为感性（电感占主导）。

2. 当 f > f 0 f > f_0 f>f0​（谐振频率以上）：

   • 串联谐振回路：表现为感性（电感占主导）。
   • 并联谐振回路：表现为容性（电容占主导）。