首页 > 其他分享 >manim边学边做--同伦变换

manim边学边做--同伦变换

时间:2024-12-25 09:00:48浏览次数:6  
标签:同伦 动画 函数 -- 向量场 homotopy 变换 边学边

Manim中,移动一个元素除了之前介绍的方法之外,还可以通过同伦运算来移动一个元素。

与普通的移动元素方式相比,使用同伦运算移动一个元素时,实际上是在考虑整个空间的连续变形过程中元素的相应变化。

这种移动不是孤立地看待元素的位置改变,而是将元素置于空间的整体结构中,通过连续变形的方式实现元素的 “移动”。

简单来说,元素的同伦移动是通过连续变形实现的,不存在突然的跳跃或中断。

在同伦运算中,元素的每一个中间状态都与前后状态连续过渡,保持了整个移动过程的连贯性。

Manim中关于同伦移动的动画类主要有:

  1. ComplexHomotopy:用于展示复函数之间的同伦变换
  2. Homotopy:更通用的同伦动画效果类,它可以用于展示任意两个对象之间的同伦变换,不仅仅局限于复函数
  3. SmoothedVectorizedHomotopy:对向量场进行平滑的同伦变换

1. 动画概述

1.1. ComplexHomotopy

ComplexHomotopy通常需要接收两个复函数作为参数,通过在复平面上对这两个函数进行采样,得到一系列的复数点。

然后,在动画过程中,按照一定的插值方法,逐步将第一个函数对应的点变换到第二个函数对应的点。

它的参数主要有:

参数名称 类型 说明
complex_homotopy func 定义了复平面上的同伦变换规则的函数
mobject Mobject 要应用同伦变换的数学对象

complex_homotopy参数是一个函数,它接受一个复数作为参数,并返回一个浮点数。

1.2. Homotopy

Homotopy需要定义起始对象和目标对象,以及一个描述同伦过程的函数。

在动画运行时,根据时间参数,通过同伦函数计算出每个时刻对象的中间状态,

这个中间状态的计算可能涉及到对象的几何属性(如点的坐标、图形的形状参数等)的插值和变换。

它的参数主要有:

参数名称 类型 说明
homotopy func 定义了对象在动画过程中的变形规则的函数
mobject Mobject 要应用同伦变换的数学对象
apply_function_kwargs dict 在应用同伦变换函数时提供额外的控制或配置信息

homotopy参数是一个参数,它接受四个数$ (x,y,z,t) \(作为参数,分别表示对象在三维空间中的坐标\) (x,y,z) \(以及动画时间参数\) t $(的取值范围从 0 到 1),

并返回一个包含三个数的元组$ (x',y',z') \(,表示在时间\) t $时,原始坐标对应的点经过同伦变换后的新坐标。

1.3. SmoothedVectorizedHomotopy

SmoothedVectorizedHomotopy首先需要获取起始向量场和目标向量场的信息,例如向量的大小和方向。

在动画过程中,通过一种平滑的插值算法来计算中间时刻向量场的向量值,这种算法可能会考虑向量场的梯度、散度等属性,以确保向量的变化是连续且符合物理规律的。

在每一帧动画中,根据计算得到的向量值绘制出相应的向量场,展示出向量场的平滑同伦变换。

它的参数主要有:

参数名称 类型 说明
homotopy func 定义了对象在动画过程中的变形规则的函数
mobject Mobject 要应用同伦变换的数学对象
apply_function_kwargs dict 在应用同伦变换函数时提供额外的控制或配置信息

SmoothedVectorizedHomotopy参数和Homotopy参数的含义是一样的。

SmoothedVectorizedHomotopy侧重于向量场的平滑同伦变换,虽然参数类似但主要针对向量场,确保其变换过程平滑,在涉及向量场的场景(如物理场模拟)中发挥独特作用。

2. 使用示例

这几个同伦变换的类使用起来没有那么直观,下面通过几个示例来演示如何使用这些类。

2.1. 复函数同伦变换展示

这个示例利用ComplexHomotopy展示了复函数$ f(z)=e^z \(到\) g(z)=sin(z) $的同伦变换过程。

通过在复平面上创建一系列的点来模拟这个变换的过程。

# 创建复平面
plane = ComplexPlane(
    x_range=[-8, 8],
    y_range=[-8, 8],
    x_length=6,
    y_length=6,
)
self.add(plane)

# 定义两个复函数
def f(z):
    return np.exp(z)

def g(z):
    return np.sin(z)

# ComplexHomotopy动画
homotopy = lambda z, t: (1 - t) * f(z) + t * g(z)
# 要应用动画的点集
points = [
    complex(x, y) for x in np.arange(-3, 3, 0.5) for y in np.arange(-3, 3, 0.5)
]
mobject = VGroup(*[Dot(plane.n2p(p)) for p in points])
self.add(mobject)
self.play(
    ComplexHomotopy(homotopy, mobject),
    run_time=3,
)

2.2. 圆形的同伦收缩演示

借助Homotopy实现圆形在三维空间沿轴逐渐收缩为点的动画,

展示拓扑学中同伦变换下几何图形的连续变化,辅助理解拓扑性质。

# 创建一个圆形
circle = Circle(radius=2)
self.add(circle)

# 定义同伦函数
def homotopy(x, y, z, t):
    return (x * (1 - t), y * (1 - t), z)

# 创建Homotopy动画
self.play(
    Homotopy(homotopy, circle),
    run_time=3,
)

2.3. 向量场强度均匀减弱模拟

通过SmoothedVectorizedHomotopy呈现二维向量场强度随时间均匀减弱,

在物理学电场或磁场教学中,能有效帮助学生理解向量场动态变化。

# 创建一个向量场
vector_field = ArrowVectorField(
    lambda pos: (pos[0], pos[1], 0)
)
self.add(vector_field)

# 定义同伦函数
def homotopy(x, y, z, t):
    return ((1 - t) * x, (1 - t) * y, 0)

# SmoothedVectorizedHomotopy动画
self.play(
    SmoothedVectorizedHomotopy(homotopy, vector_field),
    run_time=3,
)

3. 附件

文中的代码只是关键部分的截取,完整的代码共享在网盘中(homotopy.py),

下载地址: 完整代码 (访问密码: 6872)

4. 补充说明:什么是同伦运算

同伦运算是代数拓扑学中的概念,本质上是在同伦范畴中对映射或空间的操作。

从直观上来说,如果两个连续映射 可以通过连续变形从一个变成另一个,那么这两个映射是同伦的,而对这些同伦的映射进行的各种操作和研究就是同伦运算的范畴。

具体的数学定义这里不赘述,举几个实际生活中可以当做同伦变换的例子来帮助大家理解一下:

  1. 揉面团:把一块面团从初始的球形揉成各种形状,比如椭圆形、扁平状,甚至可以在面团上捏出一些起伏但不切断面团。这个过程中,面团的形状发生了连续变化,但它始终是一个整体,没有被撕裂或粘连,不同形状之间存在同伦关系。
  2. 吹气球:从气球未吹气时的扁平状态,到逐渐吹起变成球形的过程,气球的表面在连续地扩张变形。只要气球没有破裂,这个过程就是一个连续的变换。
  3. 绳结的变换:在不剪断绳子和不使绳子打结部分相互穿越的前提下,绳结可以从一种形状连续地变换为另一种形状。
  4. 衣服的变形:一件衣服在被人穿着的过程中,随着人的动作,衣服会发生各种变形。比如从平整的挂在衣架上的状态,到穿在人身上随着身体的弯曲、伸展而改变形状。
  5. 等等... ...

注意,上面的示例可以帮助理解同伦变换,但并不是完全严谨的同伦变换

比如,面团弄断了,衣服撕裂了等等情况就不是同伦变换,但却是实际生活中经常发生的事。

标签:同伦,动画,函数,--,向量场,homotopy,变换,边学边
From: https://www.cnblogs.com/wang_yb/p/18629168

相关文章

  • 破解多区域协作难题,打造无缝连接新生态,让企业效率倍增!
    跨国公司在全球范围内拥有多个分支机构、生产基地和供应链,为了实现高效的运营和多区域协作,跨国公司需要建立稳定、安全的网络连接,确保不同地区之间的数据传输顺畅。例如,苹果、微软、可口可乐等全球知名企业均在全球范围内进行商品和服务的国际贸易、资本投资以及资产配置和整合。......
  • 面向对象程序设计JAVA学习总结
    第一章“初识JAVA与面向对象程序设计”廖利凯1、JAVA概述1.1计算机编程语言发展史机器语言:由微处理器理解和使用的二进制代码,是第一代编程语言,如0001111111101111等,直接控制硬件操作,但难记且不通用。汇编语言:用英文单词指令编写程序,是第二代编程语言,如MOVAX,1等,相比机......
  • 深入理解 Servlet:从基础概念到高级特性与实战应用
    一、Servlet简介与工作原理Servlet是JavaWeb开发中的重要组件,它运行在服务器端,用于处理客户端的请求并返回响应。其工作原理涉及多个组件和步骤,从客户端发起请求到服务器端的处理和响应,整个过程有条不紊地进行。(一)Servlet容器与TomcatServlet容器是Servlet运行的环境,负责管理S......
  • 208、春雨
    208、春雨唐●李商隐怅卧新春白袷衣,白门寥落意多违。红楼隔雨相望冷,珠箔飘灯独自归。远路应悲春畹晚,残宵犹得梦依稀。玉珰缄札何由达,万里云罗一雁飞。 【现代诗意译】暮春时节,我身穿白夹衫,心情惆怅的躺在床上,白门,我们曾经欢会的地方,空寂清冷、让我万分难过。 隔......
  • 政府单位如何选用替代FTP传文件的先进文件传输系统?
    FTP在政府单位被广泛应用于传输体量较大的业务型数据,比如政策文件、工作报告、统计数据、会议材料、项目文件等。然而,由于FTP协议本身的安全性问题,如明文传输、易受网络攻击等,这些机密文件在传输过程中可能会面临泄露的风险。因此,随着信息安全意识的提高,政府单位正在逐步寻找替代F......
  • log_archive_config配置错误导致的ORA-16053
    log_archive_config决定remoteredolog的传输,正常配置dataguard的环境中,参数应为:dg_config=(procdb,procdb_std)   [DG_CONFIG=(remote_db_unique_name1[,... remote_db_unique_name30)|NODG_CONFIG] 在搭建ADG的时候,如果不小心将uniquename写错,日志不会传输......
  • Oracle-DG最大可用模式下,dg备库可能对主库有什么影响?
    --查询数据库的保护模式:>selectname,database_role,protection_modefromv$database;NAMEDATABASE_ROLEPROTECTION_MODE---------------------------------------------DINGDINGPHYSICALSTANDBYMAXIMUMAVAILABILITY--验证最高可用性日志传输模式:插入数据:切换......
  • Tomcat安装和使用
    Tomcat【1】、Tomcat基本介绍环境准备JVM介绍Java业务都是运行在java虚拟机上,java虚拟机简称JVM(javavirtualmachine)虚拟机是通过软件模拟出具有完整硬件系统的功能为什么Java需要JVM虚拟机早期C语言不支持跨平台,如果C语言想要在WindowsLinuxMac上运行,需要进行分别编......
  • SecureCRT 9.1 免费版下载及安装使用教程
    SecureCRT是一款专业的电脑终端仿真器,将坚如磐石的终端仿真与强大的加密功能结合在一起,严格保证用户的信息安全。SecureCRT具备安全传输,高度可配置的会话,SSH加密等等功能,支持SSH2、SSH1、Telnet、Telnet/SSH、Relogin、Serial、TAPI、RAW等协议。软件特色1、标签组现在在所有......
  • RAC环境查询JOB正在运行的信息
    添加了JOB运行的实例ID,RAC环境无需登陆多个节点查询selectv.inst_id,v.SID,v.id2JOB,j.FAILURES,LAST_DATE,substr(to_char(last_date,'HH24:MI:SS'),1,8)LAST_SEC,THIS_DATE,substr(to_char(this_date,'HH24:MI:SS'),1,8)THIS_SEC,j.field1INSTAN......