复合函数的Riemann可积性

若函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积，那么复合函数 g ( f ( x ) ) g(f(x)) g(f(x))在满足什么条件下在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上也可积？下面给出相关命题及证明。

前置命题

在证明主命题之前，需要先证明一个前置命题：函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积的充分必要条件是：对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0与 σ > 0 \sigma >0 σ>0，存在划分 P P P，对于其中所有振幅 ω i ≥ ε \omega_{i}\geq \varepsilon ωi​≥ε的小区间 [ x i − i , x i ] [x_{i-i},x_{i}] [xi−i​,xi​]，都成立
∑ ω i ≥ ε Δ x i < σ \sum_{\omega_{i}\geq \varepsilon}\Delta x_{i}<\sigma ωi​≥ε∑​Δxi​<σ

前置命题的证明：

必要性

使用反证法。假设存在 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0与 σ > 0 \sigma >0 σ>0，对于任意划分 P : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b P: a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b P:a=x0​<x1​<...<xn​=b，存在振幅 ω i ≥ ε \omega_{i}\geq \varepsilon ωi​≥ε的小区间 [ x i − i , x i ] [x_{i-i},x_{i}] [xi−i​,xi​]，且这些小区间的长度和满足： ∑ ω i ≥ ε Δ x i ≥ σ \sum_{\omega_{i} \geq \varepsilon} \Delta x_{i} \geq \sigma ωi​≥ε∑​Δxi​≥σ
取 σ = 1 ε \sigma = \dfrac{1}{\varepsilon} σ=ε1​，那么有
∑ i = 1 n ω i Δ x i = ∑ ω i ≥ ε ω i Δ x i + ∑ ω i < ε ω i Δ x i ≥ ε ⋅ 1 ε + 0 = ε \sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta x_{i}=\sum_{\omega_{i} \geq \varepsilon} \omega_{i} \Delta x_{i}+\sum_{\omega_{i} < \varepsilon} \omega_{i} \Delta x_{i} \geq \varepsilon \cdot \frac{1}{\varepsilon}+0 = \varepsilon i=1∑n​ωi​Δxi​=ωi​≥ε∑​ωi​Δxi​+ωi​<ε∑​ωi​Δxi​≥ε⋅ε1​+0=ε

然而已知函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积，即对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0，存在一个划分 P : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b P: a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b P:a=x0​<x1​<...<xn​=b，使得 ∑ i = 1 n ω i Δ x i < ε \sum_{i=1}^{n}\omega_{i} \Delta x_{i} < \varepsilon ∑i=1n​ωi​Δxi​<ε，与上面的结论矛盾。因此假设不成立，必要性得证。

充分性

记 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的上下确界分别为 M , m M,m M,m。根据已知，对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0与 σ > 0 \sigma >0 σ>0，存在一个划分 P P P，成立

∑ i = 1 n ω i Δ x i = ∑ ω i ≥ ε ω i Δ x i + ∑ ω i < ε ω i Δ x i < ( M − m ) σ + ε ( b − a ) \sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta x_{i}=\sum_{\omega_{i} \geq \varepsilon} \omega_{i} \Delta x_{i}+\sum_{\omega_{i} < \varepsilon} \omega_{i} \Delta x_{i} <(M-m)\sigma +\varepsilon(b-a) i=1∑n​ωi​Δxi​=ωi​≥ε∑​ωi​Δxi​+ωi​<ε∑​ωi​Δxi​<(M−m)σ+ε(b−a)

记 ε ∗ = ( M − m ) σ + ε ( b − a ) > 0 \varepsilon^{*}=(M-m)\sigma +\varepsilon(b-a)>0 ε∗=(M−m)σ+ε(b−a)>0，由 ε \varepsilon ε与 σ \sigma σ的任意性，可得 ε ∗ \varepsilon^{*} ε∗的任意性。因此我们得到了一个结论：对于任意给定的 ε ∗ > 0 \varepsilon^{*}>0 ε∗>0, 存在一个划分 P P P，使得
∑ i = 1 n ω i Δ x i < ε ∗ \sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta x_{i}<\varepsilon^{*} i=1∑n​ωi​Δxi​<ε∗

因此函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积，充分性证毕。

至此前置命题证毕。接下来证明主命题

主命题

若函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积，且在 A ≤ f ( x ) ≤ B A\leq f(x) \leq B A≤f(x)≤B， g ( x ) g(x) g(x)在 [ A , B ] [A,B] [A,B]上连续，则 g ( f ( x ) ) g(f(x)) g(f(x))在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上也黎曼可积。

证明

由于 g ( x ) g(x) g(x)在闭区间上连续，因此 g ( x ) g(x) g(x)有界，不妨设 ∣ g ( x ) ∣ ≤ M |g(x)|\leq M ∣g(x)∣≤M；根据Cantor定理， g ( x ) g(x) g(x)在 [ A , B ] [A,B] [A,B]上一致连续，即 ∀ ε > 0 , ∃ σ > 0 , ∀ x ′ , x ′ ′ ∈ [ A , B ] \forall \varepsilon >0, \exists \sigma >0, \forall x^{'}, x^{''}\in[A, B] ∀ε>0,∃σ>0,∀x′,x′′∈[A,B]，只要 ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < ε |x^{'}-x^{''}|<\varepsilon ∣x′−x′′∣<ε，就成立
∣ g ( x ′ ) − g ( x ′ ′ ) ∣ < σ 2 ( b − a ) |g(x^{'})-g(x^{''})|<\frac{\sigma}{2(b-a)} ∣g(x′)−g(x′′)∣<2(b−a)σ​

由于函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积，根据前置命题，对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0与 σ > 0 \sigma >0 σ>0，存在划分 P : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b P: a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b P:a=x0​<x1​<...<xn​=b，对于其中所有振幅 ω i ( f ) ≥ ε \omega_{i} (f) \geq \varepsilon ωi​(f)≥ε的小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_{i}] [xi−1​,xi​]，都成立
∑ ω i ( f ) ≥ ε Δ x i < σ 4 M \sum_{\omega_{i} (f) \geq \varepsilon}\Delta x_{i}<\dfrac{\sigma}{4M} ωi​(f)≥ε∑​Δxi​<4Mσ​

对于划分 P P P中所有振幅 ω j ( f ) < ε \omega_{j} (f) < \varepsilon ωj​(f)<ε的小区间 [ x j − 1 , x j ] [x_{j-1},x_{j}] [xj−1​,xj​]，对于任意 x i − j ≤ x ′ ≠ x ′ ′ ≤ x j x_{i-j} \leq x^{'} \neq x^{''} \leq x_{j} xi−j​≤x′=x′′≤xj​,都有 ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ ≤ ω j ( f ) < ε |f(x^{'})-f(x^{''})| \leq \omega_{j} (f) < \varepsilon ∣f(x′)−f(x′′)∣≤ωj​(f)<ε。因此 g ( x ) g(x) g(x)在此区间上的振幅满足：
ω j ( g ∘ f ) ω j ( f ) < ε = m a x { ∣ g ( f ( x ′ ) ) − g ( f ( x ′ ′ ) ) ∣ } < σ 2 ( b − a ) \mathop{\omega_{j} (g \circ f)}\limits_{\omega_{j} (f) < \varepsilon} =max\{ |g(f(x^{'}))-g(f(x^{''}))| \}<\frac{\sigma}{2(b-a)} ωj​(f)<εωj​(g∘f)​=max{∣g(f(x′))−g(f(x′′))∣}<2(b−a)σ​

因此函数 g ( f ( x ) ) g(f(x)) g(f(x))在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有
∑ i = 1 n ω i ( g ∘ f ) Δ x i = ∑ ω i ( f ) ≥ ε ω i ( g ∘ f ) Δ x i + ∑ ω j ( f ) < ε ω j ( g ∘ f ) Δ x j < 2 M ⋅ σ 4 M + σ 2 ( b − a ) ⋅ ( b − a ) = σ \sum_{i=1}^{n} \omega_{i}(g \circ f) \Delta x_{i}= \sum_{\omega_{i} (f) \geq \varepsilon} \omega_{i} (g \circ f) \Delta x_{i}+\sum_{\omega_{j} (f) < \varepsilon} \omega_{j} (g \circ f) \Delta x_{j}<2M \cdot \dfrac{\sigma}{4M} +\frac{\sigma}{2(b-a)} \cdot (b-a)=\sigma i=1∑n​ωi​(g∘f)Δxi​=ωi​(f)≥ε∑​ωi​(g∘f)Δxi​+ωj​(f)<ε∑​ωj​(g∘f)Δxj​<2M⋅4Mσ​+2(b−a)σ​⋅(b−a)=σ

至此已经证明，对于任意给定的 σ > 0 \sigma>0 σ>0，都存在一个划分 P P P，使得复合函数 g ( f ( x ) ) g(f(x)) g(f(x))在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有 ∑ i = 1 n ω i ( g ∘ f ) Δ x i < σ \sum_{i=1}^{n} \omega_{i}(g \circ f) \Delta x_{i}<\sigma i=1∑n​ωi​(g∘f)Δxi​<σ
因此 g ( f ( x ) ) g(f(x)) g(f(x))在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积，证毕。