封面 1
第一部分 引言 9
1 有限元方法概述 10
1.1 基本概念 10
1.2 历史背景 10
1.3 该方法的普遍适用性 13
1.3.1 一维热传递 13
1.3.2 一维流体流动 15
1.3.3 轴向受载的实心杆 15
1.4 有限元方法的工程应用 15
1.5 有限元方法的总体描述 17
1.6 采用线性插值模型的一维问题 18
1.7 采用三次插值模型的一维问题 28
1.8 用直接法推导有限元方程 32
1.8.1 轴向受载的杆单元 33
1.8.2 弹簧单元 34
1.8.3 热流的线单元 35
1.8.4 管道单元（流体流动） 36
1.8.5 电阻元件（电流流动的线单元） 37
1.9 商业有限元程序包 45
1.0 利用有限元软件求解 46
第二部分 基本步骤 60
2 区域离散化 61
2.1 引言 61
2.2 基本单元形状 61
2.3 离散化过程 65
2.3.1 单元类型 65
2.3.2 单元尺寸 68
2.3.3 节点位置 69
2.3.4 单元数量 69
2.3.5 物体物理构型所提供的简化 70
2.3.6 无限体的有限表示 70
2.4 节点编号方案 72
2.5 自动网格生成2 75
3 插值模型 86
3.1 引言 86
3.2 插值函数的多项式形式 87
3.3 单纯形、复形和多重形单元 88
3.4 基于节点自由度的插值多项式 89
3.5 插值多项式阶次的选择 91
3.6 收敛要求 91
3.7 基于全局坐标的线性插值多项式 95
3.7.1 一维单纯形单元 95
3.7.2 二维单纯形单元 98
3.7.3 三维单纯形单元 101
3.7.4 C0连续性 107
3.8 向量量的插值多项式 108
3.9 基于局部坐标的线性插值多项式 111
3.9.1 一维单元 111
3.9.1.1 二维（三角形）单元 113
3.9.3 三维（四面体）单元 116
3.10 自然坐标函数的积分 120
3.11 分片试验 121
4 高阶和等参元 133
4.1 引言 133
4.2 高阶一维单元 133
4.2.1 二次单元 133
4.2.2 三次单元 135
4.3 基于自然坐标的高阶单元 135
4.3.1 一维单元 135
4.3.2 二维（三角形）单元 138
4.3.3 二维（四边形）单元 141
4.3.4 三维（四面体）单元 145
4.4 基于经典插值多项式的高阶单元 146
4.4.1 经典插值函数 146
4.4.2 n个节点的拉格朗日插值函数 147
4.4.3 一般双节点插值函数 147
4.4.5 一阶埃尔米特插值函数 150
4.5 使用经典插值多项式的一维单元 152
4.5.1 线性单元 152
4.5.2 二次单元 152
4.5.3 三次单元 152
4.6 使用经典插值多项式的二维（矩形）单元 153
4.6.1 使用拉格朗日插值多项式 153
4.6.2 使用埃尔米特插值多项式 154
4.7 连续性条件 155
4.7.1 具有C0连续性的单元 156
4.7.2 具有C1连续性的单元 156
4.8 单元的对比研究 157
4.9 等参元 158
4.9.1 定义 158
4.9.2 坐标变换中的形函数 159
4.9.3 曲边单元 160
4.9.4 连续性与协调性 162
4.9.5 单元方程的推导 163
4.10 数值积分 165
4.10.1 在一维中 165
4.10.2 在二维中 167
4.10.3 在三维中 168
5 单元矩阵和向量的推导 177
5.1 引言 177
5.2 变分法 178
5.2.1 连续体问题的规定 178
5.2.2 求解连续体问题的近似方法 178
5.2.3 变分法 178
5.2.4 多个因变量和一个自变量 181
5.2.5 多个自变量和一个因变量 181
5.2.6 变分公式的优点 182
5.3 用变分（瑞利 - 里茨）法求解平衡问题 182
5.4 用变分（瑞利 - 里茨）法求解特征值问题 186
5.5 用变分（瑞利 - 里茨）法求解传播问题 187
5.6 有限元法与变分（瑞利 - 里茨）法的等价性 187
5.7 用变分（瑞利 - 里茨）法推导有限元方程 188
5.7.1 收敛要求 189
5.8 加权残值法 193
5.8.1 用加权残值法求解平衡问题 193
5.8.2 配点（或点配点）法 194
5.8.3 子域配点法 195
5.8.4 伽辽金法 196
5.8.5 最小二乘法 198
5.9 用加权残值法求解特征值问题 201
5.10 用加权残值法求解传播问题 201
5.11 用加权残值（伽辽金）法推导有限元方程 202
5.12 用加权残值（最小二乘法）法推导有限元方程 204
5.13 强形式和弱形式公式 207
6 单元矩阵和向量的组装以及系统方程的推导 217
6.1 坐标变换 217
6.2 单元方程的组装 222
6.3 边界条件的引入 229
6.3.1 方法1 230
6.3.2 方法2 230
6.3.3 方法3 231
6.4 罚函数法 237
6.5 多点约束：罚函数法 241
6.6 对称条件：罚函数法 245
6.6.1 方向约束 246
6.7 刚性单元 247
6.7.1 加筋板和壳 250
7 有限元方程的数值解法 261
7.1 引言 261
7.2 平衡问题的解法 262
7.2.1 高斯消元法 263
7.2.2 乔列斯基法 265
7.2.3 其他方法 270
7.3 特征值问题的解法 271
7.3.1 标准特征值问题 272
7.3.2 特征值问题的求解方法 274
7.3.3 雅可比法 274
7.3.4 幂法 276
7.3.5 瑞利 - 里茨子空间迭代法 281
7.4 传播问题的解法 282
7.4.1 一组一阶微分方程的解法 283
7.4.2 方程（7.68）的数值解法 286
7.5 有限元分析中的并行处理 288
第三部分 固体力学问题中的应用 297
8 基本方程与求解步骤 298
8.1 引言 298
8.2 固体力学基本方程 298
8.2.1 引言 298
8.2.2 方程 299
8.3 固体和结构力学的公式表述 316
8.3.1 微分方程表述方法 317
8.3.2 变分表述方法 317
8.4 有限元方程的公式表述（静力分析） 321
8.5 有限元解的性质 325
9 桁架、梁和框架的分析 334
9.1 引言 334
9.2 空间桁架单元 334
9.2.1 等效荷载向量 337
9.2.2 应力计算 337
9.3 梁单元 347
9.4 空间框架单元 352
9.4.1 轴向位移 352
9.4.2 扭转位移 354
9.4.3 xy平面内的弯曲位移 355
9.4.4 xz平面内的弯曲位移 355
9.4.5 单元总刚度矩阵 356
9.4.6 整体刚度矩阵 356
9.4.7 平面框架单元（作为空间框架单元的特殊情况） 361
9.4.8 梁单元（作为空间框架单元的特殊情况） 362
9.5 刚度矩阵的特性 363
10 板的分析 382
10.1 引言 382
10.2 三角形膜单元 382
10.3 膜单元的数值结果 394
10.3.1 受拉板 394
10.3.2 带圆孔的板 397
10.3.3 悬臂箱梁 398
10.4 二次三角形单元 400
10.5 矩形板单元（面内力） 401
10.6 板的弯曲特性 403
10.7 板弯曲的有限元分析 406
10.8 三角形板弯曲单元 407
10.9 弯曲单元的数值结果 410
10.9.1 矩形单元 411
10.9.2 三角形单元 411
10.9.3 数值结果 412
10.10 用板单元分析三维结构 413
11 三维问题的分析 429
11.1 引言 429
11.2 四面体单元 429
11.2.1 等效荷载向量 431
11.3 六面体单元 438
11.3.1 自然坐标系 439
11.3.2 位移模型 440
11.3.3 应变 - 位移和应力 - 应变关系 440
11.3.4 单元刚度矩阵 442
11.3.5 数值计算 442
11.3.6 数值结果 442
11.4 回转体的分析 443
11.4.1 引言 443
11.4.2 轴对称环形单元的单元方程公式表述 443
11.4.3 数值结果 447
12 动力分析 458
12.1 运动动力学方程 458
12.2 一致质量矩阵和集中质量矩阵 460
12.2.1 杆单元的一致质量矩阵和集中质量矩阵 461
12.2.2 空间桁架单元的一致质量矩阵和集中质量矩阵 462
12.2.3 等截面梁单元的一致质量矩阵和集中质量矩阵 464
12.2.4 空间框架单元的一致质量矩阵 465
12.2.5 平面框架单元的一致质量矩阵 467
12.2.6 三角形膜单元的一致质量矩阵 468
12.2.7 三角形弯曲单元的一致质量矩阵 468
12.2.8 四面体单元的一致质量矩阵 470
12.3 全局坐标系中的一致质量矩阵 470
12.4 自由振动分析 471
12.5 用有限元法进行动力响应分析 484
12.5.1 无阻尼系统运动方程的解耦 484
12.5.2 有阻尼系统运动方程的解耦 485
12.5.3 一般二阶微分方程的解法 486
12.6 非保守稳定性和颤振问题 491
12.7 子结构法 492
第四部分 热传递问题中的应用 503
13 公式表述与求解步骤 504
13.1 引言 504
13.2 热传递基本方程 504
13.2.1 能量平衡方程 504
13.2.2 速率方程 505
13.3 三维物体的控制方程 505
13.3.1 柱坐标系中的控制方程 507
13.3.2 球坐标系中的控制方程 508
13.3.3 边界条件和初始条件 508
13.4 问题的表述 511
13.4.1 以微分方程形式 511
13.4.2 以变分形式 511
13.5 有限元方程的推导 511
13.5.1 变分法 511
13.5.2 伽辽金法 514
14 一维问题 522
14.1 引言 522
14.2 等直肋片分析 522
14.3 肋片端面的对流热损失 526
14.4 变截面肋片分析 529
14.5 用二次单元分析等截面肋片 532
14.6 非稳态问题 535
14.6.1 单元热容矩阵的推导 535
14.6.2 时域中的有限差分求解 538
14.7 有辐射的热传递问题 540
15 二维问题 551
15.1 引言 551
15.2 求解 552
15.3 非稳态问题 561
16 三维问题 567
16.1 引言 567
16.2 轴对称问题 567
16.3 三维热传递问题 574
16.4 非稳态问题 579
16.4.1 轴对称问题 579
16.4.2 三维问题 579
第五部分 流体力学问题中的应用 585
17 流体力学基本方程 586
17.1 引言 586
17.2 流体的基本特性 586
17.3 描述流体运动的方法 587
17.4 连续性方程 588
17.5 运动方程或动量方程 589
17.5.1 流体中的应力状态 589
17.5.2 牛顿流体的应力与应变率关系 589
17.5.3 运动方程 591
17.6 能量、状态和粘度方程 592
17.6.1 能量方程 592
17.6.2 状态和粘度方程 594
17.7 求解步骤 594
17.8 无粘性流体流动 596
17.9 无旋流动 597
17.10 速度势 598
17.11 流函数 599
17.12 伯努利方程 601
18 无粘性和不可压缩流动 608
18.1 引言 608
18.2 势函数公式表述 609
18.2.1 微分方程形式 609
18.2.2 变分形式 610
18.3 用伽辽金法进行有限元求解 610
18.4 流函数公式表述 622
18.4.1 微分方程形式 622
18.4.2 变分形式 622
18.4.3 有限元求解 622
19 粘性和非牛顿流体流动 628
19.1 引言 628
19.2 流函数公式表述（采用变分法） 629
19.3 速度 - 压力公式表述（采用伽辽金法） 633
19.4 纳维 - 斯托克斯方程的求解 635
19.5 流函数 - 涡量公式表述 637
19.5.1 控制方程 637
19.5.2 有限元求解（采用变分法） 638
19.6 非牛顿流体的流动 639
19.6.1 控制方程 639
19.6.2 用伽辽金法的有限元方程 640
19.6.3 求解步骤 642
19.7 其他进展 644
第六部分 拟调和方程的求解与应用 647
20 拟调和方程的求解 648
20.1 引言 648
20.2 稳态问题的有限元方程 650
20.3 泊松方程的求解 650
20.3.1 扭转问题控制方程的推导 650
20.3.2 有限元求解 652
20.4 瞬态场问题 657
20.3.1 控制方程 657
20.3.2 有限元求解 657
20.3.3 时空有限元 658
第七部分 用于有限元分析的ABAQUS、ANSYS软件及MATLAB®程序 664
21 使用ABAQUS进行有限元分析 665
21.1 引言 665
21.2 示例 665
22. 使用ANSYS进行有限元分析 696
22.1 引言 696
22.2 ANSYS中的图形用户界面布局 696
22.3 术语 696
22.3.1 数据库和文件 696
22.3.2 定义作业名 696
22.3.3 文件管理提示 697
22.3.4 定义分析标题 697
22.3.5 保存和恢复 697
22.3.6 关于保存和恢复的提示 698
22.4 有限元离散化 698
22.4.1 单元类型 698
22.4.2 定义单元 698
22.4.3 网格划分方法 698
22.4.4 网格密度控制 699
22.4.5 材料属性 699
22.5 单位制 699
22.6 求解阶段 700
23 用于有限元分析的MATLAB程序 715
23.1 用乔列斯基法求解线性方程组 716
23.2 边界条件的引入 717
23.3 空间桁架分析 719
23.4 用常应变三角形（CST）单元分析面内受载板 723
23.5 用常应变三角形（CST）单元分析三维结构 726
23.6 一维肋片的温度分布 729
23.7 考虑辐射热传递的一维肋片温度分布 730
23.8 二维热传递分析 731
23.9 用势函数法分析圆柱绕流的受限流体流动 733
23.10 轴的扭转分析 734
附录A.有限元方法与其他分析方法的比较 736
A.1 梁振动运动方程的推导[A.1] 736
A.2 精确解析解（采用分离变量技术） 738
A.3 近似解析解（瑞利法） 739
A.4 近似解析解（瑞利 - 里茨法） 739
A.5 近似解析解（伽辽金法） 740
A.6 有限差分法数值解 742
A.7 有限元法数值解（位移法） 744
附录B.格林 - 高斯定理（二维和三维的分部积分） 747