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一、线性码（Linear Code）
定义1： q q q阶线性码 C C C是 F q n \mathbb{F}_q^n Fqn的线性子空间。如果 C C C的维度为 k k k，那么称其为 [ n , k ] [n,k] [n,k]线性码。
定义2：线性码 C C C的生成矩阵是 G ∈ F q k × n G\in \mathbb{F}_q^{k\times n} G∈Fqk×n, G G G的行是 C C C的基（即线性码是 G G G的行的线性组合）。
定义3：汉明重量（Hamming weight）：对于
x
∈
F
q
n
x\in \mathbb{F}_q^n
x∈Fqn，
x
x
x的汉明重量为其非零元的个数：
w
t
H
(
x
)
=
∣
{
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
∣
x
i
≠
0
}
∣
wt_H(x)=|\{i\in\{1,...,n\}|x_i\ne0\}|
wtH(x)=∣{i∈{1,...,n}∣xi=0}∣
定义4：汉明距离（Hamming distance）：对于
x
,
y
∈
F
q
n
x,y\in \mathbb{F}_q^n
x,y∈Fqn，
x
,
y
x,y
x,y的汉明距离为其向量中不同值的位数：
d
H
(
x
,
y
)
=
∣
{
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
∣
x
i
≠
y
i
}
∣
d_H(x,y)=|\{i\in\{1,...,n\}|x_i\ne y_i\}|
dH(x,y)=∣{i∈{1,...,n}∣xi=yi}∣
定义5：最小汉明距离（minimum Hamming distance）:编码
C
C
C中任意两个不同码字间汉明距离，最小的即为
C
C
C的最小汉明距离：
d
H
(
C
)
=
∣
{
d
H
(
x
,
y
)
∣
x
,
y
∈
C
,
x
≠
y
}
∣
d_H(C)=|\{d_H(x,y)|x,y\in C,~x\ne y\}|
dH(C)=∣{dH(x,y)∣x,y∈C, x=y}∣
二、生成矩阵
在定义二中
G
G
G的行是
C
C
C的基，矩阵
G
G
G称为生成矩阵：
C
=
{
x
G
∣
x
∈
F
q
k
}
C=\{xG|x\in \mathbb{F}_q^k\}
C={xG∣x∈Fqk}
三、奇偶校验矩阵（Parity Check Matrix）
定义6：令
C
C
C位
[
n
,
k
]
[n,k]
[n,k]线性码，那么
C
C
C的奇偶校验矩阵
H
∈
F
q
(
n
−
k
)
×
n
H\in\mathbb{F}_q^{(n-k)\times n}
H∈Fq(n−k)×n定义如下：
C
=
{
y
∈
F
q
n
∣
H
y
T
=
0
}
C=\{y\in\mathbb{F}_q^n|Hy^T=0\}
C={y∈Fqn∣HyT=0}
对于 x ∈ F q n x\in \mathbb{F}_q^n x∈Fqn，称 x H T xH^T xHT为syndrome。
标签：mathbb,Fqn,定义,重量,矩阵,汉明,线性 From： https://blog.csdn.net/qq_41359358/article/details/143860564