CF992Div2 D-solution

给定一个 \(n\) 个节点的树，你可以不重复地给树的节点填 \(1\sim 2n\) 之间的数，求一种构造方案，使得每两个相邻的节点上的数之差的绝对值为合数。

我们规定每次填的数只会变大（就是在以某种方法遍历的时候后面的数一定比前面的数大）。现在我们假设填到了 \(u\) 节点，\(u\) 节点填的数是 \(val_u\)，\(u\) 的儿子为 \(v_0,v_1,v_2,\dots\)，其中 \(v_0\) 是长儿子任意一个儿子。

现在我们归纳证明，如果每个 \(v\) 子树内最大的数小于 \(val_v+siz_v\times 2 -1\)，则存在一种构造方案，使得 \(u\) 子树内最大的数小于 \(val_u+siz_u\times 2-1\)。这样做下去根节点 \(1\) 的子树内最大的数小于 \(n\times 2\)，满足题意。

如果 \(siz_u=1\)，即 \(u\) 没有儿子，显然满足条件。

我们填 \(val_{v_0}=val_{u}+1\)，下一个子树还能填的数是 \(x=val_{v_0}+siz_{v_0}\times 2-1=val_{u}+siz_{v_0}\times 2\)

1. 如果 \(siz_{v_0}\neq 1\)。

   显然 \(x-val_u=siz_{v_0}\times 2\) 是一个合数，我们直接填 \(val_{v_1}=x\)。则填完后还能从 \(x'=val_{v_1}+siz_{v_1}\times 2-1 =val_u+(siz_{v_0}+siz_{v_1})\times 2-1\) 填下一个子树，我们填 \(val_{v_2}=x'+1\) 即可满足合数条件。执行这样的操作，我们可以保证填完所有子树后，还能填的数是 \(val_u+\sum siz_v\times 2-1<val_u+siz_u\times 2-1\)，成立。

2. 如果 \(siz_{v_0}=1\)。

   • 如果 \(siz_u=2\)，即 \(u\) 只有这一个子树，显然 \(val_u+1<val_u+siz_u\times 2-1\)。

   • 否则填 \(val_{v_1}=val_u+4\)，那么接下来能填的数 \(x'=val_u+4+siz_{v_1}\times 2-1=val_u+(siz_{v_0}+siz_{v_1})\times 2+1\)，于是我们填 \(val_{v_2}=x’+1\) 即可满足合数条件。执行这样的操作，我们可以保证填完所有子树后，还能填的数是 \(val_{u}+\sum siz_v \times 2+1=val_u+siz_u\times 2-1\)，成立。

于是就得证了。

所以只要一个 \(val_v=val_u+1\)，剩下的 \(u\) 的儿子填一个找一个最小的 \(k>1\)，填 \(val_u+2k\) 大于目前已填的数即可。

我写代码的时候是用长链填连续的数写的。随便看看就好了，主要还是证明要严格比较费脑子。

const int N=200005;
int Test;
int n,son[N],mxd[N],dep[N],tot=0,ans[N];

vector<int>tar[N];

void dfs(int u,int f){
	mxd[u]=dep[u]=dep[f]+1;
	for(auto v:tar[u]){
		if(v==f)continue;
		dfs(v,u);
		if(mxd[v]>mxd[son[u]])son[u]=v;
		mxd[u]=max(mxd[u],mxd[v]);
	}
}

void calc(int u,int f){
	ans[u]=++tot;
	if(son[u])calc(son[u],u);
	for(auto v:tar[u]){
		if(v==f||v==son[u])continue;
		if(tot+1-ans[u]==2)tot=ans[u]+3;
		else if((tot+1-ans[u])%2==1)++tot;
		calc(v,u);
	}
}

int main(){
	scanf("%d",&Test);
	while(Test--){
		scanf("%d",&n);tot=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			tar[i].clear();
			son[i]=mxd[i]=dep[i]=ans[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<n;++i){
			int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
			tar[u].push_back(v);
			tar[v].push_back(u);
		}
		dfs(1,0);
		calc(1,0);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			printf("%d ",ans[i]);
		puts("");
	}
	return 0;
}

好像数学公式后面会出现很多空的部分，不知道怎么回事。