关于信号与系统中的傅里叶级数

        用基本信号研究LTI系统时，基本信号的选取必须要注意两个因素，即用这个基本信号可以构成相当广泛的信号，同时LTI系统对这个基本信号的响应在数学表达上应该是十分简单的，这样才能够方便的表达系统对信号的响应。在众多信号模型当中，能够满足以上两个条件的信号就是复指数信号。

        研究LTI系统时，复指数信号的响应仍然是一个新的复指数信号，描述响应的新的复指数信号与原信号相比仅仅是幅值的不同。

        在研究傅里叶级数之前我们要了解系统的特征函数以及特征值的概念，若系统对信号的响应是一个常数（可以是复数）乘上这个信号，这个信号就叫系统的特征函数，这个常数叫做系统的特征值（也叫幅度因子）。显然，复指数能够成为一个LTI系统的特征函数。证明过成如下：                     

通过证明，我们可以知道复指数为LTI系统的特征函数，对于给定的S值，常数H(S)就是与特征函数有关的特征值。

        因此，若一个LTI系统的输入表示为复指数的线性组合，即：

那么对应的输出就为：                   

        有了前面的认识，我们现在来讨论什么是傅里叶级数，如果一个信号是周期的，则它的数学表达就为：                           

                                               基波周期,基波频率 ；

在此之前，我们知道有两个基本的周期信号：

与成谐波关系的复指数信号集为

我们看到在这个信号集合里面的每个信号都有自己的基波频率，并且基频都是的倍数。因此，我们重新将这个集合表示一下：

        这个式子就是我们的傅里叶级数表达式。我们发现当k=0时，这一项是一个常数，当k=时，两项的基波频率都是，这两项在一起叫做信号的基波分量（也叫一次谐波分量），当k=时，两项称为二次谐波分量，周期为基波的一半，频率为基波的2倍，推广，当k=时，两项称为信号的第N次谐波分量。此外傅里叶级数另外几种表达形式：

        我们知道了傅里叶级数的表达式之后还要确定它的系数：

关于的证明过程也很有意思，证明如下：

        最后，我们总结一下，如果有一个傅里叶级数表达式，即可以表示成一组呈谐波关系的复指数信号的线性组合，那么就定义一个连续周期信号的傅里叶级数为：

   （综合式）

                      （分析式）

        叫做傅里叶级数系数（也叫的频谱系数），表示对信号​​​的每一分量的度量。为的常数分量（也叫直流量）：

 （在一个周期内的平均值）

        傅里叶级数具有如下几种性质，

1.线性：                                                

2.时移性：                             

3.频移性：

4.共轭性：                    

5.时间翻转性：

6.展缩性：                                                

7.周期卷积性：

8.相乘性：

9.微分性：

10.积分性：

11.实信号共轭对称性：

                                                公式

12.周期信号的帕斯维尔定理：