求解Ax=0：主变量，特解

第七讲：求解$Ax=0$，主变量，特解

1. 消元

   • 消元不会改变解的值。包括行消元和列消元，对矩阵$A\in R^{m \times n}$进行行消元，就是使用矩阵的初等行变换，使得第$i$行第一个$\ne$0的元素下方的所有元素都变为0。这个过程共进行$m-1$次。

2. 阶梯矩阵、主列、自由列、主元：

   • 消元结束之后将形成一个阶梯矩阵，其中每一行第一个$\ne 0$的元素所在的列被称为主列。例如$\begin{pmatrix}
     1 & 2 & 5 \
     0 & 0 & 4 \
     0 & 0 & 0
     \end{pmatrix}$这个矩阵中，第一列与第三列就是主列，矩阵中共两个主列，除了主列以外的则是自由列。
   • 主元则是每一行第一个$\ne 0$的元素，在以上的矩阵中，第一行的主元是$1$，第二行的主元是$4$，第三行没有主元，这个矩阵共两个主元。

3. 秩、自由变量

   • 矩阵中的主元个数就是矩阵的秩，表示为$r$。矩阵的列数，也就是$Ax=0$这个线性方程组中变量的个数，表示为$n$，自由变量个数$=n-r$。

4. 解空间、特解：

   • 此处的解空间是满足$Ax=0$的$x$的集合，解空间是$n-r$个特解的线性组合，特解的个数也就是自由列的个数。特解的取法是对于第$i$个特解，该特解对应于第$i$个自由列对应的未知量取1，对应其他自由列其他未知量取0，这种取法比较特殊，所以叫特解。

5. 最简化阶梯矩阵、零空间矩阵

   • 将所有主元变为1，同时将所有主元上方的元素变为0，就获得了最简化阶梯矩阵。我们可以将最简化阶梯矩阵的主列收集起来放在左边，它是一个$r \times r$的$I$，与此同时，将最简化阶梯矩阵的自由列收集起来放在右边，定为$F$，合成的矩阵$R$是$\begin{pmatrix}
     I & F \
     0 & 0
     \end{pmatrix}$，此时，满足$RN=0$的零空间矩阵$N=\begin{pmatrix}
     -F \
     I
     \end{pmatrix}$，零空间矩阵就是以所有特解作为列的矩阵，该矩阵中的$I$就是通过对各自由变量的分别取1形成的。

6. 回代表达式：

   • 回顾$Rx=0$，$\begin{pmatrix}
     I & F\
     \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
     x_{pivot}\
     x_{free}
     \end{pmatrix}=0$，得到一个在单纯形法中得到了应用的结论，那就是回代表达式：$x_{pivot}=-Fx_{free}$，其中，$F$是行最简阶梯矩阵的自由列的集合，也就是这些列的系数的集合。

7. 零空间的维度

   • $Ax=0$，其中$x\in R^{n}$，根据零空间矩阵$N=\begin{pmatrix}
     -F \
     I
     \end{pmatrix}$可知，零空间矩阵的维度是$n$，其列数则为自由变量的个数，即$n-rank_{A}$。
   • $Ax=0$的解是零空间矩阵的$N$的列空间，该空间是一个子空间，其维度是零空间矩阵的列数，解是零空间中的任意一个向量，当$A$中出现自由变量的时候，此时解有无数个。当$A$中没有自由变量的时候，$N=0$，此时只有唯一解为零向量。