problems
13.
\[\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}\binom{2(n-k)}{n-k}=4^n \]不会做。
15.
\[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 x^k = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j}\binom{2n-j}{n}(x-1)^j \]我的做法是考虑吧右边的 \((x-1)^j\) 先拆开，然后相当于一个容斥，证明每一个 \(x^k\) 前面的系数相同。
注意到左边是 \(2n\) 个里面选 \(n\) 个，前 \(n\) 个里面要恰好选 \(k\) 个。
右边变换一下得到
\[\binom{n}{j}\binom{2n-j}{n-j}\binom{j}{k} \]那就是至少选 \(j\) 个的容斥了。
官方解答更高妙一点，考虑左边是 \(2n\) 里面选 \(n\) 个，然后左边选了的要染 \([1,x]\) 中的一个颜色。
不妨钦定右边选的染成颜色 \(1\) 。
对于右边，枚举左边染成非 \(1\) 的个数是 \(j\) 即可。
16.
能做，能做，能做？
标签：右边,组合,左边,sum,binom,双射题,2n From： https://www.cnblogs.com/houzhiyuan/p/18582608