定义 1(维数、基) 在线性空间 中,如果存在 个向量 ,满足:
- 中任一向量 总可由
那么 就称为线性空间 的一个 基, 称为线性空间 的 维数。只含一个零向量的线性空间没有基,规定它的维数为 。维数为 的线性空间称为 ,记作 。
于是有坐标的定义如下:
定义 2(坐标) 设 是线性空间 的一个基。对于任一向量 ,总有且仅有一组有序数
这组有序数就称为向量 在 这个基中的 坐标,并记作
设在 维线性空间 中取定一个基 ,则 中的向量 与 中 维数组向量空间的向量
设 ,,则
- ;
- 。
定义 3(同构) 设 与 是两个线性空间,如果在它们的向量之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应,那么就说线性空间 与 同构。
显然,任何 维线性空间都与