维数、基与坐标

定义 1（维数、基）　在线性空间 中，如果存在 个向量 ，满足：

• 
• 中任一向量 总可由

那么 就称为线性空间 的一个 基， 称为线性空间 的 维数。只含一个零向量的线性空间没有基，规定它的维数为 。维数为 的线性空间称为 ，记作 。

于是有坐标的定义如下：

定义 2（坐标）　设 是线性空间 的一个基。对于任一向量 ，总有且仅有一组有序数

这组有序数就称为向量 在 这个基中的 坐标，并记作

设在 维线性空间 中取定一个基 ，则 中的向量 与 中 维数组向量空间的向量

设 ，，则

• ；
• 。

定义 3（同构）　设 与 是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与 同构。

显然，任何 维线性空间都与