线段树

线段树是 OI 竞赛中最强大的数据结构之一，可以用来维护和、积以及最值等具有合并性质的信息。

一般线段树

P3372 【模板】线段树 1 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

P3373 【模板】线段树 2 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

以模板一为例：

class Segment_Tree
{
    #define lc u << 1
    #define rc u << 1 | 1

private:
    struct Tree
    {
        int l, r, sum, tag;
        inline int len() { return r - l + 1; }
        inline void addtag(int k) { sum += len() * k, tag += k; }
    } tr[N << 2];

public:
    inline void pushup(int u) { tr[u].sum = tr[lc].sum + tr[rc].sum; }

    void build(int u, int l, int r)
    {
        tr[u].l = l, tr[u].r = r;
        if (l == r) return tr[u].sum = a[l], void(0);
        int mid = l + r >> 1;
        build(lc, l, mid), build(rc, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }

    void pushdown(int u)
    {
        int &k = tr[u].tag;
        tr[lc].addtag(k), tr[rc].addtag(k);
        k = 0;
    }

    void dot_modify(int u, int x, int k)
    {
        if (tr[u].l == tr[u].r)
            return tr[u].addtag(k);
        pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        dot_modify(u << 1 | (x > mid), x, k);
        pushup(u);
    }

    void range_modify(int u, int l, int r, int k)
    {
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r)
            return tr[u].addtag(k);
        pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (l <= mid) range_modify(lc, l, r, k);
        if (r > mid) range_modify(rc, l, r, k);
        pushup(u); 
    }

    int query(int u, int l, int r)
    {
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r)
            return tr[u].sum;
        pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1, res = 0;
        if (l <= mid) res += query(lc, l, r);
        if (r > mid) res += query(rc, l, r);
        return res;
    }
    
	#undef lc
	#undef rc
} SGT;

权值线段树

在遇到需要以权值为下标建立的线段树时，过大的值域使得无法如上种方式建立线段树，这时候需要权值线段树和动态开点的技巧。

T125847 【模板】动态开点线段树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

在权值 \(x\) 上加 \(k\)

inline void insert(int &u, int l, int r, int x, int k)
{
    if (!u) u = ++ idx;
    tr[u].len = r - l + 1;
    if (l == r) return tr[u].sum = k, void(0);

    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid) insert(lc, l, mid, x, k);
    else insert(rc, mid + 1, r, x, k);
    pushup(u);
}

上 / 下传标记

inline void pushup(int u) { tr[u].sum = (tr[lc].sum + tr[rc].sum) % mod; }

/* void pushdown(int u)
{
    int &k = tr[u].tag;
    if (!lc) lc = ++ idx, tr[lc].len = tr[u].len >> 1;
    if (!rc) rc = ++ idx, tr[rc].len = tr[u].len - tr[lc].len;

    tr[lc].addtag(k), tr[rc].addtag(k);
    k = 0;
} */

void pushdown(int u, int len)
{	
	if (!tr[u].tag) return;

    if (!lc) lc = ++ idx;
    if (!rc) rc = ++ idx;
    tr[lc].tag = (tr[lc].tag + tr[u].tag) % mod;
    tr[rc].tag = (tr[rc].tag + tr[u].tag) % mod;
    tr[lc].sum = tr[lc].sum + tr[u].tag 
    (tr[lc].sum += ll(tr[u].tag % p) * ((len - len / 2) % p) % p) %= p;
    (tr[rc].sum += ll(tr[u].tag % p) * ((len / 2) % p) % p) %= p;
    tr[u].tag = 0;
}

区间加

void modify(int &u, int l, int r, int L, int R, int k)
{
// 	if (r < L || l > R) return;
	if (!u) u = ++ idx;
	if (L <= l && r <= R)
	{
		(tr[u].sum += (ll(r - l + 1) % p) * (k % p) % p) % p;
		(tr[u].tag += k) %= p;
		return;
	}
	
	int mid = l + r >> 1;
	pushdown(u, r - l + 1);
	modify(lc, l, mid, L, R, k);
	modify(rc, mid + 1, r, L, R, k);
	pushup(u);
}

区间查询

int query(int u, int l, int r, int L, int R)
{
	if (!u) return 0;
	if (r < L || l > R) return 0;
	if (L <= l && r <= R)
		return tr[u].sum;
	
	int mid = l + r >> 1;
	pushdown(u, r - l + 1);
	return (query(lc, l, mid, L, R) + query(rc, mid + 1, r, L, R)) % p;
}