理想(Ideal)
定义:
- 设R是一个环,I是R的一个非空子集。如果I满足以下条件,则称I为R的一个理想:
- 对于任意的r1, r2 ∈ I,有r1 - r2 ∈ I(加法封闭性)。
- 对于任意的r ∈ I,s ∈ R,有rs, sr ∈ I(乘法封闭性,且对环中任意元素都封闭)。
性质:
- 理想是环的一个子环,但比子环更“特殊”,因为它还满足与环中任意元素相乘后仍在理想中的性质。
- 理想是乘法黑洞,即把环中所有的元素通过环的乘法吸入到自己体内。
- 环和每一个理想之间都是一个满映射。
类型:
- 根据定义条件的不同,理想可以分为左理想、右理想和双边理想(或称为理想)。在交换环中,左理想和右理想不分,通常简称为理想。
应用:
- 理想是研究环的性质和结构的重要工具。
- 理想可以用于构造商环,进而研究环的同态和同构等问题。
商环(Quotient Ring)
定义:
- 设R是一个环,I是R的一个理想。R关于I的商集(即R中所有元素对I的陪集构成的集合)在某种运算下构成的环称为R关于I的商环,记作R/I。
- 具体来说,R/I中的元素是形如r + I(r ∈ R)的陪集,加法定义为(r1 + I) + (r2 + I) = (r1 + r2) + I,乘法定义为(r1 + I) · (r2 + I) = (r1r2 + I)。
性质:
- 商环R/I是一个环,它继承了原环R的部分性质。
- 商环的构造是环论中的一个重要工具,它可以帮助我们简化问题,研究环的某些特定性质。
应用:
- 商环在环论中有广泛的应用,例如用于证明环的同态基本定理。
- 商环还可以用于研究代数结构的分类和性质等问题。
理想与商环的关系
联系:
- 理想是构造商环的基础。没有理想,就无法定义商环。
- 商环是理想在环论中的一个重要应用。通过研究商环,我们可以更深入地理解理想的性质和结构。
区别:
- 理想是环的一个子集,它满足特定的加法和乘法封闭性条件。
- 商环是一个新的环结构,它是通过原环和理想构造出来的。商环中的元素是原环中元素的陪集,而不是原环中的单个元素。
结语
标签:理想,r1,r2,信息安全,43,元素,乘法,商环 From: https://blog.csdn.net/m0_73399576/article/details/143438660纵有万贯家产在手
不如有一薄技在身
!!!