求区间第k小值

静态

分块

排序

划分树

动态

主席树

平衡树

子树求交

树上颜色问题

统计颜色数量

对于子树\(x\)，子树内同种颜色的点只有深度最浅的对子树外有贡献

#3628. 「2021 集训队互测」树上的孤独

贡献上传：对于\(x\)，设它同颜色祖先为\(p\)，则\(x\)对路径\(p\thicksim x\)上的点都有贡献，则将\(p\thicksim x\)的点的深度线段树上\(dep[x]\)的权值都增加\(1\)

P2664 树上游戏

点分治，利用上面的原理，开桶统计即可

题解有说\(O(n)\)的树上差分做法

细节等写了再补

极差问题

涉及极差的，往往至少要知道一个边界值（\(max/min\)），或通过排序使得最小值可维护，可以对此列出DP等

P7514 [省选联考 2021 A/B 卷] 卡牌游戏

\(a[],b[]\)扔一起排序，问题变成找一段数\([l,r]\)，使得每一个\(i\)，\(a[i],b[i]\)中至少有一个被\([l,r]\)
包含，双指针维护即可

Group Projects

把最小值放入DP，发现多个集合不好维护，利用差分思想，每走过一个数将当前对极差产生的贡献加入

P8290 [省选联考 2022] 填树

把最小值放入DP：\(f[i][l]\)求子树\(i\)的数在\([l,l+K]\)之间的方案数，但是对于取不到最小值\(l\)的情况会被\(f[i][l+1]\)算重，考虑加维/差分掉\([l+1,l+K]\)的方案数

P9120 [春季测试 2023] 密码锁

二分答案，对于\(k=3\)的数据点，先考虑\(max\)和\(min\)在哪一行，再检验剩下一行是否有\(D\le mid\)

状态压缩

状态枚举

利用lowbit可以快速获取所有前继的状态（100110 -> 100100）

利用for(int i=x;i;i=(i-1)&x)可以做到\(3^n\)枚举子集

位运算

\(\textcolor{red}{*}\)位运算优先级

注意：

1、加减号优先级高于一切位运算符（mid=l+r>>1）；

2、按位运算符（&、|、^）优先级低于数值判断号（(x&1)==(y&1)）；

异或

高斯消元

01trie

二进制拆分

按位分块

分位处理

[EER2]谔运算

P6623 [省选联考 2020 A 卷] 树

分位

考虑\(x\)对祖先的贡献，分位考虑，发现第\(i\)位在祖先链上的贡献为类似\(00011110\)的形式，则产生贡献的点是一段区间

01trie

异或操作，考虑01trie

发现区间加\(1\)操作无法维护，观察发现其实就是若干个结点交换儿子位置，但是在由高位到低位的01trie上每个结点都要交换，考虑由低位到高位建立01trie，此时只有右儿子有进位，递归处理右儿子即可

子集卷积 & 子集反演

见状压dp