Limit Order Book 的简单描述。
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The Mechanics of LOB Trading
与传统的 Quote-Driven 系统不同，基于 LOB 的系统是完全由 submissions 和 cancellations 驱动的。
一个 order 可以由以下四个属性描述：
- 方向，\(\varepsilon_x = \pm 1\). 对于 buy order 为 \(+1\).
- 价格，\(p_x\).
- 大小，\(v_x > 0\).
- 提交时间 \(t_x\).
记为：
\[x:=(\varepsilon_x, p_x, v_x,t_x) \]每当一个 buy order \(x\) 提交后，LOB 的 trade-matching algorithm 开始检查是否存在 sell order \(y\) 满足 \(p_y \le p_x\).
如果有，那么这笔订单将被撮合成交。如果还剩下一部分 \(x\) 尚未被满足，则自动留在 LOB 的价格档位 \(p_x\) 上。
提交后直接成交的订单叫做 market orders. 其他的叫做 limit orders. LOB 是公开的、未被满足的交易意愿的集合。可以将其划分为 Bid Orders \(\mathcal{B}(t)\) 和 Ask Orders \(\mathcal{A}(t)\).
在本书中，考虑在时间 \(t\) 提交的订单不属于 \(\mathcal{L}(t)\)，但属于 \(\mathcal{L}(t+\mathrm{d}t), \mathrm{d} t \to 0\).
提交 Limit Order 可以视作：Trader 向 Market 提供了一个在挂单价格成交的机会。也就是提供了流动性。当然，这种情况下也就会面临 Adverse Selection 的风险。
Limit Orders 一般在 mean-revert 时获取收益，在 trend 时承受损失。
在时间 \(t\)，bid-price 指的是所有 buy limit orders 中最高的价格，ask-price 则是所有 sell limit orders 中最低的价格。
\[\begin{aligned} b(t) := \max \limits _{x\in \mathcal{B}(t)}p_x \\ a(t) := \min _{x\in \mathcal{A}(t)}p_x \end{aligned} \]在任意时刻，\(b(t) < a(t)\)，否则将直接撮合成交。
mid-price 定义为：
\[m(t) := \dfrac{1}{2}\left[a(t) +b(t)\right] \]spread 定义为：
\[s(t) := a(t)-b(t)>0 \]使用 overline notation 来标记某个时刻后的瞬间的属性：
\[\overline{m}(t) = \lim \limits_{t' \downarrow t} m(t') \]
lot size \(v_0\) 是最小的 volume 单位，所有的订单必须满足 \(v_x \in \{kv_0\mid k = 1,2,\cdots\}\).
tick size \(\theta\) 是最小的 price 单位，所有价格必须满足 \(p_x\in\{k \theta \mid k = 1,2,\cdots\}\).
\(v_0,\theta\) 被称为市场的 resolution parameters. 不同的市场会有不同的设置。这两个参数在各种方面都会影响交易。
研究 LOB 时，常常使用 same-side quote-relative coordinates.
\[d(p_x,t) :=\begin{cases} b(t) - p_x, \text{if } x \text{ is a buy limit order}\\ p_x - a(t), \text{if } x \text{ is a sell limit order} \end{cases} \]很多时候，使用 opposite-side quote-relative coordinates 是更好的：
\[d^\dagger(p_x,t) :=\begin{cases} a(t) - p_x, \text{if } x \text{ is a buy limit order}\\ p_x - b(t), \text{if } x \text{ is a sell limit order} \end{cases} \]有：
\[d^\dagger(p_x,t) = d(p_x,t) + s(t) \]大部分时候，我们通过 volume profile 来观察 LOB. 在价格 \(p\) 时间 \(t\) 的 buy-side volume 记为：
\[V_+(p,t) := \sum \limits _{\{x \in \mathcal{B}(t) \mid p_x=p\}} v_x \]位于时间 \(t\) 的 Volume Profile 定义为 \(\{V _\pm (p,t)\}\).
进行撮合时，同一个价格上可能有多笔订单。此时需要确定 priority.
最常见的是 price-time priority. 先比较价格，再比较时间。
还有另一种常用的方法是 pro-rata priority，当某个价格档位发生成交时，所有相关的 Limit Order 根据其在该价格档位所占的 Volume Size 分到一部分的成交。
在这个撮合机制中，有一个有趣的手法：如果你希望尽快成交，可以提交比你实际需求更大的 Volume，这样可以在撮合匹配时抢到更大的份额。
Price-time priority 鼓励 Traders 尽早提交，抢先以更高的价格提交从而减小 Spread、增加流动性。Pro-rata priority 则鼓励 Traders 提交更大的订单，从而在 best quotes 提供更大的深度。
Traders 在 LOB 上的行为可以被拆解为 elementary size \(v_0\) 大小的订单。
例如：当我在 \(p_x=1.5\) 提交 \(v_x = 10v_0\) 的 buy order 时，实际上等效于在 \(p_x=1.5\) 提交 10 笔 \(v_x=v_0\) 的 buy orders. 在做研究时，为了方便，经常直接考虑 elementary size \(v_0\) 的单位订单。
但实际上订单的种类多种多样：
- Stop orders：止损订单，当价格达到某个位置后触发自动挂单。
- Iceberg orders：用于隐藏真实意图的冰山订单，只有一小部分 peak volume 被公开挂在 LOB 上，而每次这部分成交后，继续挂单保持 peak volume，直到 hidden volume 被执行完毕。
- Immediate-or-cancel orders：提交订单，撮合并立即成交能成交的那部分，随后自动撤掉未成交的部分。如果一点都没有成交，等效于没有提交订单。不会在 LOB 上留下痕迹。
- Fill-or-kill orders：和 IOC 类似，但这种情况要么全部成交，要么全部撤单。
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有一些市场还有 opening & closing auctions：在开盘、收盘的一段时间中，可以挂单，但不发生撮合成交。直到最终截止的时候再一次性撮合。在这个过程中，Traders 可以提交订单，提交的订单也会显示在 LOB 上，同时还会有一个 auction price，即使总成交量最大的最优撮合价格。
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