金融市场的 Random Walk Model 以及 stylized facts. 阅读 Trades, Quotes and Prices 的第二章。
数学，统计学，机器学习，人们总是用各种各样的办法研究金融市场。
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The Random Walk Model
一个相当流行的模型，是将价格变动看作是 Gaussian random walks，即 \(\mathrm{d} p \sim \text{Gaussian}\)，价格变动服从 i.i.d. 独立同分布的高斯随机变量。价格是 martingales，对明天价格最好的预测就是今天的价格，价格变动是 mean 为 0 的 Gaussian Random Variable.
Bachelier's First Law：price variogram 关于时间 \(\tau\) 线性增长。
\[\mathcal{V}(\tau) := \mathbb{E}[(p_{t+\tau} - p_t)^2] = D\tau \]后续的很多 empirical studies 认为，价格变动应当是一个相乘的关系，或者说关于比例线性。这意味着使用 geometric Brownnian motion 来代替 Brownian motion. 实际上，从 1960 年代开始，这已经成为了金融数学领域的标准模型。
但是在较短的时间尺度上，也有 empirical evidence 认为价格变动更接近于 additive 而非 multiplicative. 一个重要的原因是，市场常常规定了最小价格变动的 ticksize.
在这本书中，因为主要考察短时间，还是会使用 additive model.
但是还是介绍一下另一种：定义 volatility \(\sigma_r\):
\[D := \sigma_r^2 \overline{p}^2 \]其中 \(\overline{p}\) 为当前价格或者某段时间的平均价格。
现在，如果价格变动并不是独立的呢？比如我们知道，一段时间内总是可能出现单边趋势或者反弹。
考虑价格序列：
\[p_t = p_0 + \overline{p}\sum \limits _{t'=0}^{t-1}r_{t'} \]其中 return 序列 \(r_t\) 是 time-stationary 的，且 mean 为 0:
\[\mathbb{E}[r_t]=0 \]variance：
\[\mathbb{E}[r_t^2] - \mathbb{E}[r_t]^2 = \sigma_r^2 \]可以用 covariance 来表达 dependence：
\[\operatorname{Cov}(r_{t'}, r_{t''}) := \mathbb{E}[r_{t'}r_{t''}] - \mathbb{E}[r_{t'}] - \mathbb{E}[r_{t''}] = \mathbb{E}[r_{t'}r_{t''}] \]考虑到 return series 是 time-stationary 的，这个 covariance 只与 time lag \(|t'-t''|\) 有关。一个常见的考察是 autocorrelation function(ACF)：
\[C_r(\tau) := \dfrac{\operatorname{Cov}(r_t, r_{t+\tau})}{\sigma_r^2} \]在 random walk 中，\(C_r(\tau) = \delta_{\tau,0}\)，其中 \(\delta_{\tau,0}\) 是 Kronecker delta function：
\[\delta_{i,j} = \begin{cases} 1, \text{if }i = j\\ 0, \text{otherwise} \end{cases} \]也就是除了 \(\tau=0\) 时为 \(1\)，其他时候为 \(0\).
对于 \(\tau>0\)，一个单边趋势往往有着 \(C_r(\tau) >0\)，也就是价格上涨。而 mean reverting 则有着 \(C_r(\tau) < 0\).
volatility 本身也和我们采样的时间有关，如果我们每 \(\tau\) 秒采样一个价格，相应的 volatility 为：
\[\sigma^2(\tau) := \dfrac{\mathcal{V}(\tau)}{\tau \overline{p}^2} \]#TODO# 这个式子不知道是怎么来的。当 \(\tau=1\) 时，有 \(\sigma^2(1) = \sigma^2_r\).
代入可以得到：
\[\sigma^2(\tau) = \sigma^2_r \left[ 1 + 2 \sum \limits _{u=1}^\tau \left(1 - \dfrac{u}{\tau} \right) C_r(u) \right] \]
\(\sigma(\tau)\) 关于 \(\tau\) 的图像称为 volatility signature plot.
图中的例子是一个指数衰减的 ACF \(C_r(u) = \rho^u\) 画出的。接近直线说明价格的 autocorrelation 不强。
现在假设价格还受到一些 high frequency noise 的影响：
\[p_t = p_0 + \overline{p} \sum \limits _{t'=0}^{t-1}r_{t'} + \eta_t \]其中 noise \(\eta_t\) 是 mean 为 0、variance 为 \(\sigma_{\eta}^2\) 且与 \(r_t\) 无关的随机变量，但是自相关，并且 ACF 为：
\[C_{\eta}(\tau) := \dfrac{\operatorname{Cov}(\eta_t, \eta_{t+\tau})}{\sigma^2_{\eta}} = e^{-\tau/ \tau_{\eta}} \]其中 \(\tau_{\eta}\) 是 noise 的自相关时间。
The noise \(\eta\) is often called an Ornstein–Uhlenbeck process, see, e.g., Gardiner, C. W. (1985). Stochastic methods. Springer, Berlin-Heidelberg.
可以将这个模型解读为：市场价格有时候会偏离真实价格，这个偏离是一个 random error term，在时间尺度 \(\tau_{\eta}\) 下会 mean-reverts. 另一种解读是，microstructure noise 来自我们对 true price 的估计不准的 error term，也就是我们的 predicted true price 总是和 true price 有一定的偏差，但这个 bias 也会 mean-reverts. 这被称为 bid-ask bounce effect.
加入这项 noise 之后，我们观察到的 square volatility 变成了：
\[\sigma^2(\tau) \to \sigma^2(\tau) + \dfrac{2\sigma^2_{\eta}}{\tau} \left( 1 - e^{-\tau/\tau_{\eta}} \right) \]这个额外的项在 \(\tau=0\) 时，等于 \(2\sigma^2_{\eta}/\tau\)，在 \(\tau \to \infty\) 时衰减至 0.这主要会增大短期的 volatility.
Bachelier's first law 假设价格变动之间无关，这对应的是一根直线的 volatility signature plot.
实际上好像大部分时候确实接近一根直线。
Jumps and Intermittency in Financial Markets
Heavy Tails
很多模型假设 return 服从 Guassian Distribution，但大量研究表明，Gaussian 不是一个好的 model. 实际上的 return 具有更加 heavy 的 tails.
在较短的时间尺度上，unconditional return 的 empirical density function 可以用 stsudent's t distribution 较好地拟合，其 PDF 为：
\[f_r(r) = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \dfrac{\Gamma[(1+\mu)/2]}{\Gamma[\mu/2]}\dfrac{a^\mu}{(r^2 + a^2)^{(1+\mu)/2}} \]其中 \(\mu\) 为 tail parameter，\(a\) 则与 distribution 的 variance 有关：\(\sigma^2 = a^2/(\mu - 2)\).
tail parameter \(\mu\) 被发现一般在 \(3\) 附近。
当 \(|r| \gg a\) 时，\(f_r(r) \to \dfrac{a^{\mu}}{|r|^{1+\mu}}\). 当 \(\mu \to \infty\) 时，又变成了 Gaussian distribution.
Student's t distribution 的 tail 比 Gaussian 重得多，这意味着罕见事件并没有那么罕见。使用 Gaussian Distribution 会低估低概率事件的风险。
Volatility Clustering
我们说：returns 看上去几乎是 uncorrelated 的。但它们肯定不是 IID 的。
这里再次区分一下 uncorrelated 和 independence：uncorrelated 仅仅表明不存在线性关系，而 independence 则是不存在任何关系。
假如 return 是 IID 的，那么根据大数定律，在足够多的观察下，其 distribution 一定会向 Gaussian Distribution 收敛。但实际上 returns 几乎总是 non-Gaussian 的。
实际上，金融市场是高度 inermittent 的。有的时候市场很活跃，有的时候市场很冷清。volatility 本身也是一个 dynamic variable.
returns 可以被分解为一个与时间有关的 volatility 项 \(\sigma_t\) 和一个 directional component \(\xi_t\)：
\[r_t := \sigma_t \xi_t \]在这个表达中，\(\xi_t\) 是具有 unit variance 的 IID random variable，也就是方向和大小是相对随机的。但 \(\sigma_t\) 是一个正的波动率指标。\(\sigma_t\) 被发现具有 long memory.
令 \(\sigma_t = \sigma_0 e^{\omega_t}\)，其中 \(\sigma_0\) 是设置 volatility scale 的常量，\(\omega_t\) 的 variogram 被发现可以用 Gaussian random variable 近似：
\[\mathcal{V}_\omega(\tau) = \left < (\omega_{t+\tau} - \omega_t)^2 \right > \approxeq \chi^2_0 \ln [1+\min(\tau,T)] \]其中 \(T\) 是一个很长的 cut-off time，一般以年为单位。\(\chi_0\) 设定了 log-volatility 波动的大小，经常被称为 volatility of the volatility(vol of vol). 对于大多数 assets，\(\chi^2_0 \approxeq 0.05\).
long memory 给出的 variogram 形式和 Ornstein-Uhlenbeck log-volatility process 听不一样的。后者使用一个 relaxation time \(\tau_\omega\) 刻画：
\[\mathcal{V}_\omega(\tau) = \chi^2_0 \left( 1 - e^{-\tau / \tau_\omega} \right) \]金融市场中的 volatility fluctuations 具有多重时间尺度。
volatility \(\sigma\) 和 scaled return \(\xi\) 并不是独立的，过去的正收益会减小未来的 volatility，而过去的负收益会增加未来的 volatility. 这被称为 leverage effect.
\[\tau >0, \left< \xi_t \sigma_{t+\tau} \right> <0 \]但是过去的 volatility 基本上无法预测未来的 return sign：
\[\tau < 0, \left< \xi_t \sigma_{t+\tau} \right> \approxeq 0 \]Activity Clustering
Market Activity 往往成堆出现。
midprice change 都有这么强的 clustering 吗(
假设价格每次只能变动一个 tick \(\theta\)，每单位时间变动频率 \(\varphi\)，相应的 variance 就是：
\[\sigma^2 = \varphi \theta^2 \]一个更精确的刻画是，选择一个时间 \(t\) 以及一小段时间 \(\mathrm{d} t\)，考察这段时间内 price changes 的数量 \(\mathrm{d} N_t\)，当 midprice 发生了变动 \(\mathrm{d} N_t = 1\)，否则 \(\mathrm{d} N_t=0\). 由此可以得到平均市场活动 \(\overline{\varphi}\) 的定义：
\[\left< \mathrm{d} N_t \right> := \overline{\varphi} \mathrm{d} t \]其 covariance \(\operatorname{Cov}\left[ \dfrac{\mathrm{d} N_t}{\mathrm{d}t}, \dfrac{\mathrm{d} N_{t+\tau}}{\mathrm{d}t} \right]\) 刻画了市场波动的短期结构。
市场活动既由 long memory 影响，也由短期的波动影响。
上面对市场价格变动的描述具有局限性。比如它无法刻画价格大部分时间稳定、但少数时间剧烈变动的情况。而实际市场中的价格往往具有两种波动：高频小波动和罕见的极端波动。
假设 return 遵循 Student's t distribution，那么在 \(4\sigma\) 外的极端事件贡献了 \(30\%\) 的 total variance，这是相当大的一部分波动。而且很多大变动实际上也跟 news 无关，似乎是市场自发涌现的特性。
这两种事件微妙地相互联系。在时间 \(t\) 增加的波动率，会倾向于在时间 \(t+\tau\) 引发更多的市场活动。比如说一个大的 price jump 往往跟随着一段市场活跃时间。似乎存在某种 self-excitation 的现象。
Why Do Prices Move?
为什么价格会变动？为什么会出现 random walks 的表现？
直觉地考虑， 市场价格似乎是这样变化的：
- 当某种 news 到来时，informed traders 参与买卖，使得价格快速移动以匹配其基本面。
- 随后，价格进行小幅度的、高频的波动，直到下一次 news 的到来。
但实际上，新闻的频率远远比大幅价格变动的频率低。大部分的 large price moves 似乎与 news 无关，而更像是交易活动的自发涌现。
这被称为 excess-volatility puzzle：实际上的波动率，和围绕 fundamental value 的波动相比，显著高得多。
此外，虽然消化 news 的影响、确定新的价格需要一段时间，金融市场似乎很少表现出 under-reaction(会创造趋势) 和 over-reaction(会创造 mean-reversion)，使得 signalture plots 几乎是平的。
一个观点是，高度优化的执行算法和做市算法，积极地寻找 return series 中的 correlation 并加以利用。这些算法因而抹去了 signature plots 中的不规则部分。
高频算法从低频策略产生的 inefficiency 中获利，从而使 return 在任意时间尺度上都呈现出纯粹的随机性。
price efficiency 也有两种考察方式：
- fundamentally efficient：市场价格总是接近基本面。
- statistically efficient：在基于技术分析的交易行为中，任何可预测的模式都被完全利用。
根据 Black 的理论，fundamental values 的锚定效用只有在 random fluctuations \(\sigma\sqrt{T}\) 的影响降低到至少 50% 的时候，才能在时间尺度 \(T\) 上观察到。对于 \(\sigma= 20\%\) 的 stock market，这需要六年的时间(?
怎么感觉这么奇怪。Whatever，这本书主要考察的是 statistical efficiency.
Overview
在各种时间尺度下，price changes 都是高度 uncorrelated 的。当然，uncorrelated 不代表 independence.
市场的交易活动会使价格自发涌现出各种表现，而并不一定依赖于外部的新闻。
quantitative volatility/activity feedback models(例如 ARCH-type models、hawkes process) 认为至少 80% 的 price variance 是由 self-referential effects 引起的。
这意味着大部分的价格变动都可以用市场本身的 microstructure view 来解释，而不依赖于宏观基本面分析。这些微观结构在各种各样的 liquidity market 都是类似的。
感觉还有很多内容没有消化，以后再回来看吧。
References to Read
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Bachelier, L. (1900). Théorie de la spéculation. Gauthier-Villars.
- 提出 Random Walk Model 的最早论文。
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Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues
- 简述了几条 stylized facts.
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The distribution of realised stock return volatility
- 用于理解 return volatility 的一篇文章。
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Volatility is rough
- 还是关于 volatility.
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Power laws in economics and finance. Annual Review of Economics
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On the correlation structure of microstructure noise: A financial economic approach.
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The endogenous dynamics of markets: Price impact, feedback loops and instabilities.
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Reconciling Efficient Markets with Behavioral Finance: The Adaptive Markets Hypothesis
标签：tau,Statistics,return,sigma,Price,eta,价格,Changes,volatility From： https://www.cnblogs.com/Clouder-Blog/p/18520923/2-the-statistics-of-price-changes-2cijem