1.为什么需要平衡二叉树？
二叉排序树可能的存在的问题
给你一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在.
上图BST存在的问题分析:
- 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表。
- 插入速度没有影响
- 查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢
上面问题怎么解决呢？
解决方案-平衡二叉树(AVL)
2.平衡二叉树基本介绍
- 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树， 可以保证查询效率较高。
- 具有以下特点：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
- 举例说明, 看看下面哪些AVL树
3.AVL高度求解
3.1代码结构
3.2代码实现
// 返回左子树的高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}
// 返回右子树的高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}
// 返回以当前结点为根结点的高度，以该结点为根结点的树的高度
public int height() {
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
}
3.3测试代码
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
//创建一个AVLTree对象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//添加结点
for(int i = 0; i<arr.length; i++){
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//中序遍历
System.out.println("中序遍历之后");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("没有平衡之前=====");
System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height());//4
System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight());//1
System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight());//3
}
3.4测试结果
4.AVL实现左旋转
4.0图解
4.1代码结构
4.2代码实现
// 左旋转方法
public void leftRotate() {
//创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left = left;
//把新结点的右子树设置成当前结点的右子结点的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成当前结点的右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树
right = right.right;//相当于跳过一个结点
//把当前结点的左子树（左子结点）设置成新的结点
left = newNode;
}
需要在add()方法中调用旋转方法
// 编写增加结点的方法
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 判断当前结点与左右子树值的大小关系
if (node.value < this.value) {
// 左子树的值小，向左子树增加
if (this.left == null) {
// 左子树为空，直接添加
this.left = node;
} else {
// 左子树不为空,向左子树增加
this.left.add(node);
}
} else {
// 传入的node结点的值大于当前结点，增加到右子树
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
// 递归增加到右子树
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个结点之后，如果 （右子树的高度-左子树的高度）> 1,则左旋转
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
leftRotate();//左旋转
}
}
4.3测试代码和结果
5.AVL实现右旋转
5.0图解
5.1代码结构
5.2代码实现
//右旋转方法
public void rightRotate(){
//1.创建一个新结点newNode，新结点的值等于当前结点的值
Node newNode = new Node(value);
//2.把新结点的右子树设置成当前结点的右子树
newNode.right = right;
//3.把新结点的左子树设置成当前结点的左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//4.把当前结点的值换成当前结点的左子结点
value = left.value;
//5.把当前结点的左子树设置成左子树的左子树
left = left.left;
//6.把当前结点的右子树设置成新结点（难）
right = newNode;
}
需要在add()方法中调用旋转方法
// 当添加完一个结点之后，如果 （左子树的高度-右子树的高度）> 1,则右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
rightRotate();// 右旋转
}
5.3测试代码和结果
旋转前
旋转后
6.AVL实现双旋转
6.0图解
上面右旋转之后问题没有得到解决
问题分析
1.当符合右旋转的条件时
2.如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度3.先对当前这个结点的左节点进行左旋转
4.再对当前结点进行右旋转的操作即可
6.1代码结构
6.2代码实现
// 编写增加结点的方法
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 判断当前结点与左右子树值的大小关系
if (node.value < this.value) {
// 左子树的值小，向左子树增加
if (this.left == null) {
// 左子树为空，直接添加
this.left = node;
} else {
// 左子树不为空,向左子树增加
this.left.add(node);
}
} else {
// 传入的node结点的值大于当前结点，增加到右子树
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
// 递归增加到右子树
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个结点之后，如果 （右子树的高度-左子树的高度）> 1,则左旋转
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
// 如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的高度
if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
// 先对当前结点的右节点（右子树）进行右旋转
right.rightRotate();
// 再对当前结点进行左旋转
leftRotate();
} else {
// 直接左旋转
leftRotate();
}
return;//必须要
}
// 当添加完一个结点之后，如果 （左子树的高度-右子树的高度）> 1,则右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
// 如果它的左子树的右子树的高度大于它的左子树的高度
if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
//先对当前结点的左节点（左子树）进行左旋转
left.leftRotate();
//再对当前结点进行右旋转
rightRotate();
} else {
//直接右旋转
rightRotate();
}
}
}
6.3测试
7.代码汇总
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
// int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
// int[] arr = {10,1,8,9,7,6};
int[] arr = {10,11,7,8,8,9};
//创建一个AVLTree对象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//添加结点
for(int i = 0; i<arr.length; i++){
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//中序遍历
System.out.println("中序遍历之后");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("平衡之后=====");
System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height());//3
System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight());//2
System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight());//2
}
}
// 创建AVLTree
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
public void setRoot(Node root) {
this.root = root;
}
// 编写一个返回要删除结点右子树的最大值
/**
*
* @param node
* 传入的结点（当做二叉排序树的根结点）
* @return 返回以node为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
// 循环的查找左子结点，就会找到最小值
while (target.left != null) {
target = target.left;
}
// 找到最小值之后，删除最小值
delNode(target.value);
// 此时target还是指向最小值结点的
return target.value;
}
// 删除结点
public void delNode(int value) {
if (root == null) {
return;
} else {
// 1.先查找要删除的结点
Node targetNode = search(value);
// 如果没有找到要删除的结点
if (targetNode == null) {
return;
}
// 如果发现当前这棵二叉排序树只有一个结点（特例，只有更结点）
if (root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
// 2.找到targetNode的父结点
Node parent = searchParent(value);
// 如果删除的结点是子结点
if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
// 判断targetNode是父结点的左子结点还是右子结点
if (parent.left != null && parent.left.value == value) {
// 是左子结点
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
// 是右子结点
parent.right = null;
}
} else if (targetNode.right != null && targetNode.left != null) {
// 删除有两棵子树的结点
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else {// 删除只有一棵子树的结点
if (targetNode.left != null) {// 如果删除的结点有左子结点
if (parent != null) {
// 如果targrtNode 是 parent 的左子结点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
} else {// 如果targrtNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
} else {// 如果删除的结点有右子结点
if (parent != null) {
// 如果targrtNode 是 parent 的左子结点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else {// 如果targrtNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
// 查找要删除的结点
public Node search(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.search(value);
}
}
// 查找要删除结点的父结点
public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent(value);
}
}
// 添加结点方法
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;
} else {
root.add(node);
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
}
}
}
// 第一，创建结点信息
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
super();
this.value = value;
}
// 返回左子树的高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}
// 返回右子树的高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}
// 返回以当前结点为根结点的高度，以该结点为根结点的树的高度
public int height() {
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
}
// 左旋转方法
public void leftRotate() {
//创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left = left;
//把新结点的右子树设置成当前结点的右子结点的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成当前结点的右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树
right = right.right;//相当于跳过一个结点
//把当前结点的左子树（左子结点）设置成新的结点
left = newNode;
}
//右旋转方法
public void rightRotate(){
//1.创建一个新结点newNode，新结点的值等于当前结点的值
Node newNode = new Node(value);
//2.把新结点的右子树设置成当前结点的右子树
newNode.right = right;
//3.把新结点的左子树设置成当前结点的左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//4.把当前结点的值换成当前结点的左子结点
value = left.value;
//5.把当前结点的左子树设置成左子树的左子树
left = left.left;
//6.把当前结点的右子树设置成新结点（难）
right = newNode;
}
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}
// 编写查找需要删除结点的父结点
/**
*
* @param value
* 要查找的结点值
* @return 返回的是要删除结点的父结点，如果没有就返回null
*/
public Node searchParent(int value) {
// 如果当前结点就是要删除结点的父结点，返回该结点
if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
// 如果查找的值小于当前结点的值，并且当前结点的左子结点不为空
if (value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent(value);// 向左子树递归查找
} else if (value >= this.value && this.right != null) {
return this.right.searchParent(value);
} else {
return null;// 没有找到父结点
}
}
}
// 编写查找要删除的结点
/**
*
* @param value
* 需要删除的结点
* @return 如果找到则返回该结点，否则返回null
*/
public Node search(int value) {
if (this.value == value) {
// 找到删除的结点，返回
return this;
} else if (value < this.value) {
// 如果查找的结点值小于当前结点，向左子树递归查找
// 注意，判断左子结点是否为空
if (this.left == null) {
return null;// 没有找到
}
return this.left.search(value);
} else {
// 如果查找的结点值大于当前结点，向右子树递归查找
// 注意，判断右子结点是否为空
if (this.right == null) {
return null;// 没有找到
}
return this.right.search(value);
}
}
// 编写中序遍历方法（前序，后序遍历复习前面的）
public void infixOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
// 编写增加结点的方法
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 判断当前结点与左右子树值的大小关系
if (node.value < this.value) {
// 左子树的值小，向左子树增加
if (this.left == null) {
// 左子树为空，直接添加
this.left = node;
} else {
// 左子树不为空,向左子树增加
this.left.add(node);
}
} else {
// 传入的node结点的值大于当前结点，增加到右子树
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
// 递归增加到右子树
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个结点之后，如果 （右子树的高度-左子树的高度）> 1,则左旋转
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
// 如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的高度
if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
// 先对当前结点的右节点（右子树）进行右旋转
right.rightRotate();
// 再对当前结点进行左旋转
leftRotate();
} else {
// 直接左旋转
leftRotate();
}
return;//必须要
}
// 当添加完一个结点之后，如果 （左子树的高度-右子树的高度）> 1,则右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
// 如果它的左子树的右子树的高度大于它的左子树的高度
if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
//先对当前结点的左节点（左子树）进行左旋转
left.leftRotate();
//再对当前结点进行右旋转
rightRotate();
} else {
//直接右旋转
rightRotate();
}
}
}
}