8 自然对数（ln）

上一章讲的是如何理解指数函数，我们的下一个目标是自然对数。从数学书中对自然对数的描述来看，它并没有什么 “自然 ”之处。
它是定义为e^x的反函数，不过有一个新颖、直观的解释： 自然对数给出了达到一定增长水平所需的时间。
假设你有一笔投资，年利率为 100%，持续增长。如果你想获得 10 倍的增长，假设连续复利计算，你只需要等待 ln(10) 或 2.302 年。

8.1 e关乎增长

数字 e 关乎持续增长。正如我们之前看到的，ex 让我们把速度和时间合并起来： 3 年 100%的增长与 1 年 300%的增长相同。
在连续复利计算的情况下，3 年 100%的增长与 1 年 300%的增长是一样的。
我们可以任意组合增长率和时间（4 年 50%），然后将增长率转换为 100%（2 年 100%）。换算成 100%，我们只需要考虑时间：

直观地说，e^x 的意思是：

• 经过 x 个单位的时间（100% 持续增长）后，我得到多少增长？
• 例如：经过 3 个时间段后，我的 “东西 ”数量为 e^3 = 20.08 倍。
  e^x是一个缩放因子，它告诉我们经过 x 个单位的时间后会有多少增长。

8.2 自然对数与时间有关

自然对数是 e 的倒数，是相反的花哨说法。说到花哨，拉丁文的名字是 logarithmus naturali，缩写是 ln。
现在，这个倒数或相反数是什么意思呢？

• ex让我们输入时间，得到增长。
• ln(x)则让我们输入增长，并得到所需的时间。
  举个例子
• e^3 是 20.08。经过 3 个单位的时间后，我们的结果是开始时的 20.08 倍。
• ln(20.08) 大约是 3。如果我们想要 20.08 的增长，就需要等待 3 个单位的时间（再次假设 100%的持续增长率）。

8.3 对数算术是不正常的

你以前学过对数，它们是奇怪的野兽。它们是如何把乘法变成加法的？把除法变成减法？让我们来看看。
什么是 ln(1)？直观地说，这个问题就是：我要等多久才能得到 1 倍于我现在的数额？
零。零。无。你已经达到了当前金额的 1 倍！从 1 增长到 1 不需要任何时间。

ln(1) = 0 好吧，那么小数值呢？需要多长时间才能获得当前金额的 1/2 呢？
假设你以 100%的速度持续增长，我们知道 ln(2) 就是翻倍的时间。如果我们把它反过来（即取负数时间），就会得到当前值的一半。

有道理吧？如果我们倒退（负时间）0.693 秒，我们就会得到当前数值的一半。一般来说，你可以翻转分数，取负数：ln(1/3) = -ln(3) =-1.09。这意味着如果我们回到 1.09 个单位的时间，我们的时间只有现在的三分之一。
好吧，那么负数的自然对数呢？把菌落从 1 “长 ”到-3 需要多少时间？

这是不可能的！你不可能有 “负 ”数量的细菌吧？
最多（呃......至少）可以是零，但不可能有负数的小动物。负细菌根本说不通。

ln（负数）= undefined 未定义的意思是 “没有多少时间可以等待 ”增长到负数（我们将在欧拉公式中再次讨论这个问题）。

8.4 对数乘法妙趣横生

将你当前的金额增长 4 倍需要多长时间？当然，我们可以直接用 ln(4)。但这太简单了，让我们换个思路。
我们可以把 4 倍的增长看作翻一番（需要 ln(2) 个单位的时间），然后再翻一番（再需要 ln(2) 个单位的时间）：

• 增长 4 倍的时间 = ln(4) = 翻一番再翻一番的时间 = ln(2) + ln(2)

任何增长数字，比如 20，都可以看作是 2 倍增长后的 10 倍增长。或者 4 倍增长后是 5 倍增长。或者 3 倍增长后是 6.666 倍增长。看到这个模式了吗？

a 的对数乘以 b = log(a)+log(b) 。如果从增长时间的角度来考虑，这种关系就说得通了。
如果我们想增长 30 倍，我们可以一次性等待 ln(30)，或者干脆等待 ln(3)，增长三倍，然后 ln(10)，再增长 10 倍。净效果是一样的，所以净时间也应该是一样的（确实如此）。
那么，增长 5 倍就是 ln(5)。增长 1/3 是-ln(3) 个时间单位。因此，ln(5/3) = ln(5)-ln(3)
也就是说 增长 5 倍，然后 “回到过去”，直到增长量的三分之一，这样就剩下 5/3 的增长。一般来说，ln(a/b) = ln(a)-ln(b)
我希望这些奇怪的对数数学开始变得有意义了：增长的乘法变成了时间的加法。
增长的乘法变成时间的加法，增长的除法变成时间的减法。

8.5 使用自然对数计算任何增长率

“当然，”你说，"这种对数方法适用于 100% 的增长率，但我通常得到的 5% 的增长率呢？
我通常得到的 5%呢？

没问题。我们从 ln() 中得到的 “时间 ”实际上是速率和时间的组合，也就是我们前一个等式中的 “x”。为了简单起见，我们只是假设 100%，但也可以使用其他数字。
假设我们想要 30 倍的增长：输入 ln(30)，得到 3.4。这意味着

这个等式的直观含义是 “3.4年 100%的回报就是 30 倍的增长”。我们可以把这个等式看作:

我们可以修改 “利率 ”和 “时间”，只要利率 × 时间 = 3.4 即可。例如

• 100% 时的 3.4 年 = 3.4-1.0 = 3.4
• 200% 时的 1.7 年 = 1.7-2.0 = 3.4
• 50% 时的 6.8 年 = 6.8-0.5 = 3.4
• 5% 时的 68 年 = 68-.05 = 3.4

酷吧？自然对数可以用于任何利率或时间，只要它们的乘积相同。你可以随意改变变量。

8.6 很棒的例子： 72 定律

72 定律是一种心算捷径，用于估算将钱翻倍所需的时间。我们将对它进行推导（耶！），更好的是，我们将直观地理解它。
以每年 100%的复利计算，你的钱翻一番需要多长时间？
啊哦。我们一直用自然对数来表示连续利率，但现在你要的是年利率？这会不会弄乱我们的公式？是的，会的，但在合理的利率下，如 5%、6% 或甚至 15%，年复利和全复利并没有太大区别。
按年计算的复利和完全连续计算的复利没有太大区别。因此，粗略的计算公式大致可行，我们就假装得到的是完全连续的利息。
现在问题简单了：100% 的利息多久能翻倍？ ln(2) = 0.693。
.693. 以 100%的利率连续复利计算，需要 0.693 个单位的时间（这里指的是几年）才能把钱翻一番。
好吧，如果我们的利息不是 100%呢？如果是 5%或 10%呢？
很简单。只要利率 × 时间 = 0.693，我们的钱就能翻倍：

所以，如果我们只有 10%的增长，那么翻倍需要 .693 / 10%，即 6.93 年。
.10:为了简化问题，让我们乘以 100，这样我们就可以谈论 10，而不是

• 翻番时间 = 69.3/增长率，这里的增长率假定为百分比。
  现在，以 5%的增长率计算，翻一番的时间是 69.3/5 或 13.86 年。然而，69.3 并不是最可整除的数字。让我们选择一个近邻 72，它可以被 2、3、4、6、8 和更多数字整除。
• 时间加倍 = 72/速度，这就是 72 的法则！轻而易举。
  如果你想知道翻三倍的时间，你可以用 ln(3) ∼ 109.8，得到 - 翻三倍的时间 = 110 / 速率，这是另一个有用的经验法则。72法则适用于利率、人口增长、细菌培养以及任何指数增长的事物。
  都很有用。