曲线与平面曲线 ｜ 正则曲线、弧长参数、切线方程&曲率

目录

• 曲线
• 正则曲线
• 切向量
• 弧长
• 弧长参数
• 切线方程
• 曲率
• 例题

曲线

对函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)而言，它的图形 { ( x , f ( x ) ) ∣ x ∈ R } \{(x,f(x))\mid x\in\mathbf{R}\} {(x,f(x))∣x∈R}就是在欧氏平面 E 2 E^2 E2 上曲线的简单例子.

更一般些，方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0可以决定 x y xy xy平面的一条曲线.例如方程 x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x2+y2=r2所决定的是半径为 r r r的圆，它可以写成简单的形式 y = ± r 2 − x 2 y=\pm\sqrt{r^2-x^2} y=±r2−x2 ​,分别表示上下两个半圆.但方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0一般来说不容易化成显式表示 y = f ( x ) . y=f(x). y=f(x).

依照运动学的观点，将平面曲线理解为一个质点 P P P在平面上的运动.在时
刻 t t t,质点的位置是 ( x ( t ) , y ( t ) ) (x(t),y(t)) (x(t),y(t)),这样可以定义连续映射
t ( t ∈ ( a , b ) ⊂ R ) → ( x ( t ) , y ( t ) ) ∈ E 2 t\Big(t\in(a,b)\subset\mathbf{R}\Big)\to(x(t),y(t))\in E^2 t(t∈(a,b)⊂R)→(x(t),y(t))∈E2为平面的一条曲线，记为向量形式
r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) = x ( t ) i + y ( t ) j , t ∈ ( a , b ) , \begin{aligned}\boldsymbol{r}(t)&=(x(t),y(t))\\&=x(t)\boldsymbol{i}+y(t)\boldsymbol{j},\quad t\in(a,b),\end{aligned} r(t)​=(x(t),y(t))=x(t)i+y(t)j,t∈(a,b),​其中 i = ( 1 , 0 ) ,   j = ( 0 , 1 )   i=(1,0),~j=(0,1)~ i=(1,0), j=(0,1) 是 E 2   E^2~ E2 的自然标架.

同样，三维欧氏空间 E 3   E^3~ E3 的曲线为连续映射
r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k , t ∈ ( a , b ) . \begin{aligned}\boldsymbol{r}(t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=x(t)\boldsymbol{i}+y(t)\boldsymbol{j}+z(t)\boldsymbol{k},\quad t\in(a,b).\end{aligned} r(t)​=(x(t),y(t),z(t))=x(t)i+y(t)j+z(t)k,t∈(a,b).​

如果映射 r r r的分量仅加上连续的条件，其映射像 r ( t ) r(t) r(t)可能非常复杂，也不具备
很好的性质.为了保证曲线有良好的性质，一般要求曲线具有正则性

正则曲线

曲线 r : ( a , b ) → E 2 ( E 3 ) r:(a,b)\to E^2\left(E^{3}\right) r:(a,b)→E2(E3)称为正则曲线 ,是指
(1)曲线的每一个分量都是 C ∞ C^\infty C∞函数；
(2) ∣ d r d t ∣ > 0 , ∀ t ∈ ( a , b ) \left|\frac{dr}{dt}\right|>0,\forall t\in(a,b) ​dtdr​ ​>0,∀t∈(a,b) 成立.

C ∞ C^\infty C∞函数:定义域内无穷可导的函数

正则曲线：分量无穷可导+ ∣ d r d t ∣ ≠ 0 \left|\frac{dr}{dt}\right| \neq 0 ​dtdr​ ​=0

例如，函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)表示的曲线可以写成参数形式 r ( t ) = ( t , f ( t ) ) r(t)=(t,f(t)) r(t)=(t,f(t)),其
中 f f f是 C ∞ C^\infty C∞函数，这是一条正则曲线.

例如，设 F F F是 E 2 E^2 E2上的光滑函数， C = { ( x , y ) ∈ E 2 ∣ F ( x , y ) = 0 } , P = C=\{(x,y)\in E^2\mid F(x,y)=0\},P= C={(x,y)∈E2∣F(x,y)=0},P= ( x 0 , y 0 ) ∈ C (x_0,y_0)\in C (x0​,y0​)∈C且 F y ( P ) ≠ 0 F_y(P)\neq0 Fy​(P)=0,由隐函数定理，在 P P P的一个小邻域内， F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0 有显式表示 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x).所以在 P P P的小邻域内 C C C是一条曲线，它有参数表示 ( t , f ( t ) ) . (t,f(t)). (t,f(t)).

例如，曲线 r ( t ) = ( a cos ⁡ t , a sin ⁡ t ) r(t)=(a\cos t,a\sin t) r(t)=(acost,asint), t ∈ ( 0 , 4 π ) t\in(0,4\pi) t∈(0,4π)和曲线 r ( t ) = ( a cos ⁡ 2 t r(t)=(a\cos2t r(t)=(acos2t, a sin ⁡ 2 t ) a\sin 2t) asin2t), t ∈ ( 0 , 4 π ) t\in ( 0, 4\pi ) t∈(0,4π),尽管在平面上的像是一样的，但它们不是同一条曲线，因为它们的长度不同.

切向量

考虑平面正则曲线 r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , t ∈ ( a , b ) . r(t)=(x(t),y(t)),\quad t\in(a,b). r(t)=(x(t),y(t)),t∈(a,b).对映射 r r r求导，就有 r ′ ( t ) = d r d t = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) ) \boldsymbol r^\prime(t)=\frac{dr}{dt}=(x^{\prime}(t),y^{\prime}(t)) r′(t)=dtdr​=(x′(t),y′(t))

r ′ ( t ) r^{\prime}(t) r′(t)是曲线的速度向量，称为曲线 r r r的切向量.

由曲线的正则性条件可知 r ′ ( t ) ≠ 0 r^\prime(t)\neq\mathbf{0} r′(t)=0,它指向 t t t的增加方向切向量的长度 ∣ r ′ ( t ) ∣ = [ x ′ ( t ) ] 2 + [ y ′ ( t ) ] 2 > 0. |r^\prime(t)|=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}>0. ∣r′(t)∣=[x′(t)]2+[y′(t)]2 ​>0.

弧长

曲线的长度——弧长.

设 [ c , d ] ⊂ ( a , b ) [c,d]\subset(a,b) [c,d]⊂(a,b),曲线 r ( t ) r(t) r(t) (c< t < d ) t<d) t<d)的弧长为 ∫ c d ∣ r ′ ( t ) ∣ d t \int_c^d|r'(t)|dt ∫cd​∣r′(t)∣dt它是动点在时间间隔 t = c t=c t=c到 t = d t=d t=d之间移动的距离.

固定初始时间 c c c,以时间 t t t代替 d d d ,就得到从 c c c到 t t t动点移动的距离
s ( t ) = ∫ c t ∣ r ′ ( u ) ∣ d u . s(t)=\int_c^t|r'(u)|du. s(t)=∫ct​∣r′(u)∣du. s ( t ) s(t) s(t)是 t t t的函数.

弧长参数

反之，考虑能否将 t t t表示成 s s s的函数.

从直观理解，当动点中途不停顿时，距离 s s s可以决定时间 t t t.

实际上，由于 r r r是正则曲线，对所有的 t , r ′ ( t ) ≠ 0 t,\boldsymbol{r}^\prime(t)\neq\mathbf{0} t,r′(t)=0 , d s d t ( t ) = ∣ r ′ ( t ) ∣ > 0 ,\frac {ds}{dt}\left(t\right)=|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)|>0 ,dtds​(t)=∣r′(t)∣>0

所以 s s s是 t t t的严格单调增函数. 这时 t t t可以表示为 s s s的函数 t = t ( s ) . t=t(s). t=t(s).代人就有曲线 r r r关于新参数 s s s的表示 r ( s ) = r ( x ( s ) , y ( s ) ) = r ( x ( t ( s ) ) , y ( t ( s ) ) ) . r(s)=r(x(s),y(s))=r\left(x(t(s)),y(t(s))\right). r(s)=r(x(s),y(s))=r(x(t(s)),y(t(s))).

于是，将 s s s称为曲线的弧长参数.对于正则曲线 r r r,总可以取它的弧长作为参数来表示.

在弧长参数下，有 ∣ d r d s ∣ = ∣ d r d t d t d s ∣ = d s d t d t d s = 1 , \left|\frac{dr}{ds}\right|=\left|\frac{dr}{dt}\frac{dt}{ds}\right|=\frac{ds}{dt}\frac{dt}{ds}=1, ​dsdr​ ​= ​dtdr​dsdt​ ​=dtds​dsdt​=1,即曲线 r ( s ) r(s) r(s)的切向量长度为常值 1.

切线方程

用“·”表示对参数 s s s求导，比如 r ˙ ( s ) = d r d s = ( x ˙ ( s ) , y ˙ ( s ) ) . \dot{\boldsymbol{r}}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}=(\dot{x}(s),\dot{y}(s)). r˙(s)=dsdr​=(x˙(s),y˙​(s)).将单位向量 r ˙ ( s ) \dot{r}(s) r˙(s)记为 t ( s ) . t(s). t(s).从几何学的角度 , t ( s 0 ) ,t(s_0) ,t(s0​)是曲线 r ( s ) r(s) r(s)在点 s = s 0 s=s_0 s=s0​的单位切向量.

曲线 r ( s ) r(s) r(s)在一点的切线方程为
{ x ( u ) = x ( s 0 ) + x ˙ ( s 0 ) ( u − s 0 ) , y ( u ) = y ( s 0 ) + y ˙ ( s 0 ) ( u − s 0 ) . \begin{cases}x(u)=x(s_0)+\dot{x}(s_0)(u-s_0),\\[2ex]y(u)=y(s_0)+\dot{y}(s_0)(u-s_0).\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​x(u)=x(s0​)+x˙(s0​)(u−s0​),y(u)=y(s0​)+y˙​(s0​)(u−s0​).​如果在式中将参数 u u u换成 s s s,切线方程所确定的直线就是曲线 r r r在 s = s 0 s=s_0 s=s0​ 点的一阶近似.

注意到 t ( s ) t(s) t(s)是以 ( x ( s ) , y ( s ) ) (x(s),y(s)) (x(s),y(s))为起点的一个单位向量，且与曲线 r r r相切.与 t ( s ) t(s) t(s)垂直的向量称为曲线 r r r在点 ( x ( s ) , y ( s ) ) (x(s),y(s)) (x(s),y(s))的法向量.

选取一个单位法向量 n ( s ) n(s) n(s)与 t ( s ) t(s) t(s)垂直， { t ( s ) , n ( s ) } \{\boldsymbol{t}(s),\boldsymbol{n}(s)\} {t(s),n(s)}构成正交坐标系，且 { t ( s ) , n ( s ) } \{t(s),\boldsymbol{n}(s)\} {t(s),n(s)}与 { i , j } \{i,j\} {i,j}定向相同(即 { t ( s ) , n ( s ) } \left\{\boldsymbol{t}(s),\boldsymbol{n}(s)\right\} {t(s),n(s)}是右手系).

称 n ( s ) \boldsymbol n(s) n(s)是曲线 r ( s ) \boldsymbol r(s) r(s)在点 ( x ( s ) , y ( s ) ) (x(s),y(s)) (x(s),y(s))的单位正法向量 (或单位法向量),它由 t ( s ) t(s) t(s) 惟一确定.

曲率

研究半径为 a a a的圆 r ( t ) = ( a cos ⁡ t , a sin ⁡ t ) \boldsymbol{r}( t) = ( a\cos t, a\sin t) r(t)=(acost,asint), t ∈ ( 0 , 2 π ) . t\in ( 0, 2\pi ) . t∈(0,2π).
因为 s ( t ) = ∫ 0 t ∣ r ′ ( u ) ∣ d u = a t , s(t)=\int_0^t|r'(u)|du=at, s(t)=∫0t​∣r′(u)∣du=at,所以曲线的弧长参数表示为

r ( s ) = ( a cos ⁡ s a ,   a sin ⁡ s a ) . \boldsymbol{r}(s)=\Big(a\cos\frac sa,\:a\sin\frac sa\Big). r(s)=(acosas​,asinas​).

因此曲线的单位切向量和单位正法向量为

{ t ( s ) = (   − sin ⁡ s a ,   cos ⁡ s a ) , n ( s ) = (   − cos ⁡ s a ,   − sin ⁡ s a ) . \begin{cases}\boldsymbol{t}(s)=\Big(\:-\sin\frac{s}{a},\:\cos\frac{s}{a}\Big),\\\boldsymbol{n}(s)=\Big(\:-\cos\frac{s}{a},\:-\sin\frac{s}{a}\Big).\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​t(s)=(−sinas​,cosas​),n(s)=(−cosas​,−sinas​).​

对 t ( s ) \boldsymbol{t}(s) t(s)和 n ( s ) \boldsymbol{n}(s) n(s)求导，有如下关系：
{ t ˙ ( s ) = 1 a n ( s ) , n ˙ ( s ) = − 1 a t ( s ) . \begin{cases}\dot{\boldsymbol{t}}(s)=\frac1a\boldsymbol{n}(s),\\\\\dot{\boldsymbol{n}}(s)=-\frac1a\boldsymbol{t}(s).\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​t˙(s)=a1​n(s),n˙(s)=−a1​t(s).​一般地，沿曲线 r ( s ) r(s) r(s),有单位切向量 t ( s ) t(s) t(s)和单位法向量 n ( s ) . \boldsymbol n(s). n(s).

{ r ( s ) ; t ( s ) \{\boldsymbol{r}(s);\boldsymbol{t}(s) {r(s);t(s), n ( s ) } \boldsymbol{n}(s)\} n(s)}是一个以 r ( s ) \boldsymbol r(s) r(s)为原点的正交标架.这时候曲线 r ( s ) r(s) r(s)上任何一点都有一个这样的标架，称 { r ( s ) ; t ( s ) , n ( s ) } \{\boldsymbol{r}(s);\boldsymbol{t}(s),\boldsymbol{n}(s)\} {r(s);t(s),n(s)}为沿曲线 r r r的 Frenet (弗雷内) 标架.

那么，标架随参数 s s s的变化能否反映曲线的弯曲情况呢？

由于 ⟨ t , t ⟩ = 1 , ⟨ n , n ⟩ = 1 , ⟨ t , n ⟩ = 0 \langle t,t\rangle=1,\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{n}\rangle=1,\langle\boldsymbol{t},\boldsymbol{n}\rangle=0 ⟨t,t⟩=1,⟨n,n⟩=1,⟨t,n⟩=0.将 ⟨ t , t ⟩ = 1 \langle\boldsymbol{t},\boldsymbol{t}\rangle=1 ⟨t,t⟩=1对 s s s求导就有 ⟨ t ˙ , t ⟩ = 0 \langle\dot{t},t\rangle=0 ⟨t˙,t⟩=0,即 t ˙ ∥ n \dot{t}\|n t˙∥n.

设 t ˙ ( s ) \dot{\boldsymbol{t}}(s) t˙(s)是 n ( s ) \boldsymbol{n}(s) n(s)的 κ ( s ) \kappa(s) κ(s)倍，即 t ˙ ( s ) = κ ( s ) n ( s ) . \dot{\boldsymbol{t}}(s)=\kappa(s)\boldsymbol{n}(s). t˙(s)=κ(s)n(s).同样我们有 n ˙ ( s ) ∥ t ( s ) \dot{\boldsymbol{n}}(s)\|\boldsymbol{t}(s) n˙(s)∥t(s).对 ⟨ t , n ⟩ = 0 \langle\boldsymbol{t},\boldsymbol{n}\rangle=0 ⟨t,n⟩=0求导就有 ⟨ t ˙ , n ⟩ + ⟨ t , n ˙ ⟩ = 0 \langle\dot{\boldsymbol{t}},\boldsymbol{n}\rangle+\langle t,\dot{n}\rangle=0 ⟨t˙,n⟩+⟨t,n˙⟩=0,将 t ˙ = κ n \dot{t}=\kappa\boldsymbol{n} t˙=κn代入就得到 n ˙ ( s ) = − κ ( s ) t ( s ) . \dot{\boldsymbol{n}}(s)=-\kappa(s)\boldsymbol{t}(s). n˙(s)=−κ(s)t(s).所以

{ t ˙ ( s ) = κ ( s ) n ( s ) , n ˙ ( s ) = − κ ( s ) t ( s ) . \begin{cases}\dot{\boldsymbol{t}}(s)=&\kappa(s)\boldsymbol{n}(s),\\\dot{\boldsymbol{n}}(s)=-\kappa(s)\boldsymbol{t}(s).\end{cases} {t˙(s)=n˙(s)=−κ(s)t(s).​κ(s)n(s),

或者记为

d d s [ t ( s ) n ( s ) ] = [ 0 κ ( s ) − κ ( s ) 0 ] [ t ( s ) n ( s ) ] . \dfrac{d}{ds}\begin{bmatrix}\boldsymbol{t}(s)\\\boldsymbol{n}(s)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\kappa(s)\\-\kappa(s)&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{t}(s)\\\boldsymbol{n}(s)\end{bmatrix}. dsd​[t(s)n(s)​]=[0−κ(s)​κ(s)0​][t(s)n(s)​].

由上式确定的一个函数 κ ( s ) \kappa(s) κ(s)称为曲线 r ( s ) r(s) r(s)的曲率

例题

例 2.3 计算曲线 r ( t ) = ( t , sin ⁡ t ) r(t)=(t,\sin t) r(t)=(t,sint) 的曲率.

此时有

d s d t = 1 + cos ⁡ 2 t . \frac{ds}{dt}=\sqrt{1+\cos^2t}. dtds​=1+cos2t ​.

因此

t = d r d t d t d s = ( 1 + cos ⁡ 2 t ) − 1 2 ( 1 , cos ⁡ t ) . \boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\frac{dt}{ds}=(1+\cos^2t)^{-\frac12}(1,\cos t). t=dtdr​dsdt​=(1+cos2t)−21​(1,cost).

n n n为 t t t逆时针转 90°,即

n = ( 1 + cos ⁡ 2 t ) − 1 2 ( − cos ⁡ t , 1 ) . n=(1+\cos^2t)^{-\frac12}(-\cos t,1). n=(1+cos2t)−21​(−cost,1).

代入 κ n = d t d s = d t d t d t d s \kappa\boldsymbol{n} = \frac{dt}{ds}= \frac{dt}{dt}\frac{dt}{ds} κn=dsdt​=dtdt​dsdt​,计算可得

κ ( t ) = − sin ⁡ t ( 1 + cos ⁡ 2 t ) − 3 2 . \kappa(t)=-\sin t(1+\cos^2t)^{-\frac32}. κ(t)=−sint(1+cos2t)−23​.