浮点数的表示
通常，浮点数表示为：
\[N = (-1)^{S} \times M \times R^{E} \]其中，S取值为0或者1,用来决定浮点数的符号；M是一个二进制定点小数，称为尾数，一般用定点原码小数表示；E是一个二进制顶点整数，称为阶码或者指数，用移码表示。R是基数(隐含)，可以约定为2、4、16等
浮点数的表示范围
原码是关于原点对称的，故浮点数的范围也是关于原点对称的，如图2.10所示
- 运算结果大于最大正数时称为正上溢，小于绝对值最大负数时称为负上溢，正上溢和负上溢统称上溢。数据一旦产生上溢，计算机必须中断运算操作，进行溢出处理。
- 当运算结果在0至最小正数之间时称为正下溢,在0至绝对值最小负数之间时称为负下溢，正下溢和负下溢统称下溢。数据下溢时，浮点数值趋于零，计算机将其当作机器零处理。
浮点数的规格化
为了在浮点数运算过程中尽可能多地保留有效数字的位数，使有效数字尽量占满尾数数位,必须在运算过程中对浮点数进行规格化操作。所谓规格化操作，是指通过调整一个非规格化浮点数的尾数和阶码的大小，使非零浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值。
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左规:当运算结果的尾数的最高数位不是有效位，即出现 \(\pm\) 0.0...0x...x的形式时，需要进行左规。左规时，尾数每左移一位、阶码减1(基数为2时)。左规可能要进行多次。
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右规:当运算结果的尾数的有效位进到数点前面时，需要进行右规，右规只需进行一次。将尾数右移一位、阶码加1(基数为2时)。规时，阶码增加可能导致溢出。
IEEE754标准
单精度格式中包含 1 位符号 s、8 位阶码e和 23 位尾数,:双精度格式包含1位符号 s、11位阶码e和 52 位尾数 1。基数隐含为2:尾数用原码表示。对于规格化的二进制浮点数，尾数的最高位总是 1，为了能使尾数多表示一位有效位，将这个1隐藏，称为隐藏位，因此 23 位尾数实际表示了 24 位有效数字。IEEE 754 规定隐藏位1的位置在小数点之前，例如，\((12)_{10} = (1100)_{2}\),将它规格化后结果为 \(1.1 \times 2^{3}\)，其中整数部分的“1”将不存储在 23 位尾数内。
单精度与双精度浮点数都采用隐藏尾数最高位的方法，因而使浮点数的精度更高。
在 IEEE 754 标准中,指数用移码表示,但偏置值并不是通常n位移码所用的\(2^{n-1}\),而是 \(2^{n-1}-1\)因此，单精度和双精度浮点数的偏置值分别为 127 和 1023。在存储浮点数阶码之前，偏置值要先加到阶码真值上。
所以，在IEEE754标准中，规格化单精度浮点数的真值为：
\[(-1)^{s} \times 1.f \times 2^{e-127} \]规格化双精度浮点数的真值为
\[(-1)^{s} \times 1.f \times 2^{e-1023} \]浮点数能表示的范围
这个表的意思应该是绝对值的最大值与最小值
阶码为全0或者全1时的特殊意义
定点、浮点表示的区别
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数值的表示范围
- 若定点数和浮点数的字长相同，则浮点表示法所能表示的数值范围远大于定点表示法。
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精度
- 虽然扩大了数的表示范围，但精度降低了。对于字长相同的定点数和浮点数来说，精度却降低了
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数的运算
- 浮点数包括阶码和尾数两部分，运算时不仅做尾数的运算，还要做阶码的运算，而且运算结果要求规格化，所以浮点运算远比定点运算复杂
-
溢出问题
- 在定点运算中，当运算结果超出数的表示范围时，发生溢出;在浮点运算中，运算结果超出尾数表示范围却不一定溢出，只有规格化后阶码超出所能表示的范围时，才发生溢出。
浮点数的机器数
最后我们附上一个将浮点数转为二进制的C++程序，结合真值来看，可以对浮点数的编码有更好的理解
#include <iostream>
#include <bitset>
int main() {
float num;
std::cout << "Please enter a floating-point number: ";
std::cin >> num;
union FloatInt {
float f;
unsigned int i;
} data;
data.f = num;
// Using union to access the internal representation of the floating-point number
std::cout << "The machine representation of the floating-point number " << num << " (in hexadecimal): "
<< std::hex << data.i << std::endl; // Print the hexadecimal form
// Convert the integer to a 32-bit binary string
std::bitset<32> binaryRepresentation(data.i);
std::string binaryString = binaryRepresentation.to_string();
// Splitting into sign, exponent, and mantissa parts
std::string sign = binaryString.substr(0, 1);
std::string exponent = binaryString.substr(1, 8);
std::string mantissa = binaryString.substr(9, 23);
// Printing the sign, exponent, and mantissa separately
std::cout << "The machine representation of the floating-point number " << num << " (in binary): "
<< sign << ";" << exponent << ";" << mantissa << std::endl;
return 0;
}