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目录一、算法概念
因子分解机（Factorization Machines, FM）是一种基于矩阵分解的机器学习算法，主要解决高维稀疏数据下的特征交互和参数估计问题。FM 通过引入特征组合和隐向量的矩阵分解来提升模型表现，特别适合处理推荐系统等场景中的数据稀疏性和特征交互复杂性。
FM 可以用于分类和回归任务，是线性模型的扩展，能够高效地捕捉特征之间的交互作用。FM 的核心是通过低维向量的内积表示特征交互，使得其参数数量随维度线性增长，从而降低计算复杂度。
FM 的主要特点：
$\bullet$有监督学习模型，适用于回归和分类任务。
$\bullet$通过低维向量的内积表示特征交互，模型结构保持线性。
$\bullet$常用训练方法：随机梯度下降（SGD）、交替最小二乘法（ALS）和马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）。
FM 模型通过矩阵分解对特征交互建模，并且在处理稀疏数据时有显著优势，常用于推荐系统。
二、算法原理
（一） FM表达式
为了使系统能够进行预测，它依赖于由用户事件记录生成的可用数据。这些数据是表示兴趣和意图的交易记录，例如：下载、购买、评分。
对于一个电影评论系统来说，交易数据记录了用户 $u \in U$ 在某一时间 $t \in R$ 对电影（物品） $i \in I$ 给出的评分 $r \in{1, 2, 3, 4, 5 }$ ，由此产生的数据集可以表示如下：
用于预测的数据表示为一个矩阵 $X \in\mathbb{R}^{m \times n}$ ，其中包含总共 $m$ 个观测值，每个观测值由一个实值特征向量 $x \in\mathbb{R}^{n}$ 组成。来自上述数据集的特征向量可以表示为：
其中， $n=| U |+| I |+| T |$ ，即 $x \in\mathbb{R}^{n}$ 也可以表示为 $x \in\mathbb{R}^{| U |+| I |+| T |}$ ，其中训练数据集的表达式为 $D={( x^{( 1 )}, y^{( 1 )} ), ( x^{( 2 )}, y^{( 2 )} ), \ldots, ( x^{( m )}, y^{( m )} ) }$ 。训练目标是估计一个函数 $\hat{y} ( x ) : \mathbb{R}^{n} \to\mathbb{R}$ ，当提供第 $i$ 行 $x_{i} \in\mathbb{R}^{n}$ 作为输入时，能够正确预测对应的目标值 $y_{i} \in\mathbb{R}$ 。
FM模型的计算表达式如下所示：
$< {\mathbf{v}}{i}, {\mathbf{v}} >$ 是交叉特征的参数，可以由一组参数定义：
$$
< {\mathbf{v}}{i}, {\mathbf{v}} >=\hat{w}{i, j}=\sum^{k} v_{i, f} \times v_{j, f}
$$
当 $k$ 足够大时，对于任意对称正定的实矩阵 $\widehat{W} \in\mathbb{R}^{n \times n}$ ，均存在实矩阵 $V , \in, \mathbb{R}^{n \times k}$ ，使得$\widehat{W}=V V^{\top}$成立：
$$\hat{\mathbf{W}} =
\begin{bmatrix}
\hat{w}{1,1} & \hat{w} & \cdots & \hat{w}{1,n} \
\hat{w} & \hat{w}{2,2} & \cdots & \hat{w} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
\hat{w}{n,1} & \hat{w} & \cdots & \hat{w}_{n,n}
\end{bmatrix}
= \mathbf{V}^{T} \mathbf{V} =
\begin{bmatrix}
{\mathbf{v}}_1^{T} \
{\mathbf{v}}2^{T} \
\vdots \
{\mathbf{v}}n^{T}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\mathbf{v}}1 &{\mathbf{v}}2 & \cdots & {\mathbf{v}}n
\end{bmatrix}$$
其中，模型待求解的参数为：
$$
w \in\mathbb{R}, \quad\mathbf{w} \in\mathbb{R}^{n}, \quad\mathbf{V} \in\mathbb{R}^{n \times k}
$$
其中：
$\bullet$ $w$ 表示全局偏差。
$\bullet$ $w$ 用于捕捉第 $i$ 个特征和目标之间的关系。
$\bullet$ $\hat{w}$ 用于捕捉 $( i, j )$ 二路交叉特征和目标之间的关系。
$\bullet$ ${\mathbf{v}}$ 代表特征 $i$ 的表示向量，它是 $\mathbf{V}$ 的第 $i$ 列。
（二）时间复杂度
根据FM模型计算表达式，可以得到模型的计算复杂度如下：
$$
{n+( n-1 ) }+\left{\frac{n ( n-1 )} {2} [ k+( k-1 )+2 ]+\frac{n ( n-1 )} {2}-1 \right}+2={ O} ( k n^{2} ),
$$
通过对交叉项的分解和计算，可以降低时间复杂度为${ O} ( k n )$，计算过程如下所示：
对于交叉特征，它们的交叉矩阵是一个对称矩阵，这里通过对一个 3x3 对称矩阵的详细分析，展示如何通过减少自交互项和利用对称性来优化计算。最终的结果是简化方程，并且将计算复杂度从二次方降低为线性级别，使模型能够更加高效地处理稀疏数据场景。
首先，使用一个 3x3 的对称矩阵，图中表达式为计算目标：
对目标表达式进行展开，展开后对内积进行计算，左式表示 3x3 对称矩阵的一半（对称矩阵的上三角部分）
右式表示需要从左式中减去的部分，右式为对称矩阵中自交互的部分，即对角线部分的计算。
最终推导，得到：
$$\hat{y} ( {\bf x} )=w_{0}+\sum_{i=1}^{n} w_{i} \times x_{i}+\frac{1} {2} \sum_{f=1}^{k} \left( \left( \sum_{i=1}^{n} v_{i, f} \times x_{i} \right){2}-\sum_{i=1} v_{i, f}^{2} \times x_{i}^{2} \right) $$
其计算复杂度为${ O} ( k n )$：$$k {[ n+( n-1 )+1 ]+[ 3 n+( n-1 ) ]+1 }+( k-1 )+1={\cal O} ( k n )$$
（三）回归和分类
FM 模型可以用于求解分类问题，也可以用于求解回归问题。在回归任务中，FM 的输出$\hat{y} ( {\bf x} )$可以直接作为连续型预测变量。目标是优化回归损失函数，
最小二乘误差（MSE）：最小化预测值与实际值之间的均方误差。损失函数表达式如下所示：
$$
l(\hat{y}(x), y) = (\hat{y}(x) - y)^2
$$
对于二分类问题，使用的是Logit或Hinge损失函数：
$$l(\hat{y}(x), y) = -\ln \sigma(\hat{y}(x) y)$$
其中，σ 是Sigmoid（逻辑函数），