塑性力学是固体力学的一个重要分支，它研究材料在超过弹性极限后的行为。以下是一些塑性力学中的主要公式及其推导：
1. 屈服准则
Von Mises 屈服准则
用于金属材料的屈服准则，假设材料在等效应力达到某个临界值时开始发生塑性变形。
\[ \[ \sigma_{eq} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( \sigma_x - \sigma_y \right)^2 + \left( \sigma_y - \sigma_z \right)^2 + \left( \sigma_z - \sigma_x \right)^2} \] \]其中，(\sigma_{eq}) 是等效应力，(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z) 是材料在三个正交方向上的应力。
Tresca 屈服准则
另一个常用的屈服准则，假设材料在最大剪应力达到某个临界值时开始塑性变形。
\[ \[ \sigma_{yield} = \sigma_1 - \sigma_3 \] \]其中，(\sigma_1) 和 (\sigma_3) 分别是最大和最小的主应力。
2. 流动法则
塑性应变率的方向通常由塑性势决定。
\[ \dot{\epsilon}^p_{ij} = \frac{\partial \phi}{\partial \sigma_{ij}} \]其中，(\dot{\epsilon}^p_{ij}) 是塑性应变率，(\phi) 是塑性势，(\sigma_{ij}) 是应力张量。
3. 塑性本构关系
\[ \[ \sigma = E_p (\epsilon^p)^n \] \]其中，(\sigma) 是应力，(E_p) 是塑性模量，(\epsilon^p) 是塑性应变，(n) 是应变硬化指数。
4. 塑性铰长度
塑性铰长度的计算公式：
\[ \[ L_p = \frac{\pi \cdot h}{2 \cdot \delta} \] \]其中，(L_p) 是塑性铰长度，(h) 是梁的高度，(\delta) 是梁的转动角。
5. 极限分析
塑性极限载荷的计算：
\[ \[ P_u = \frac{A \cdot \sigma_y}{N} \] \]其中，(P_u) 是极限载荷，(A) 是截面面积，(\sigma_y) 是材料的屈服应力，(N) 是安全系数。
这些公式在塑性力学中非常重要，它们帮助工程师理解和预测材料在复杂载荷下的行为。在实际应用中，这些公式可能需要结合具体的材料特性和边界条件进行调整和应用。
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