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例说提速运算中的小技巧 | 算理研究

时间:2024-10-07 17:01:05浏览次数:6  
标签:算理 运算 cdot 2c 提速 sqrt cfrac 2b 例说

前情概要

本博文是从例说提高运算的速度+准确度中分离处理单独成篇 .

技巧总结

✍️ 遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时,乘法比除法快;

引例1,比如判断 \(f(x)=\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\) 的奇偶性,

分析:定义域为 \(R\) ,关于原点对称,

且有 \(f(-x)\)\(=\)\(\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\)\(=\)\(\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}\)\(=\)\(\cfrac{1-2^x}{1+2^x}\)\(=\)\(-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)\(=\)\(-f(x)\),

则 \(f(-x)=-f(x)\),故函数 \(f(x)\) 为奇函数;

引例2,化简\(\cfrac{2}{e^{-x}+1}\);

思路一:运用分式的通分,分式的除法等,\(\cfrac{2}{e^{-x}+1}=\cfrac{2}{\frac{1}{e^x}+1}=\cfrac{2}{\frac{e^x+1}{e^x}}=\cfrac{2e^x}{e^x+1}\);

思路二:运用分式的性质,\(\cfrac{2}{e^{-x}+1}=\cfrac{2\cdot e^x}{(e^{-x}+1)\cdot e^x}=\cfrac{2e^x}{e^x+1}\);

引例3, 化简\(\cfrac{2\cdot e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}=\cfrac{2\cdot e^{-x}\cdot e^{2x}}{(e^{-x}+1)^2\cdot e^{2x}}\)\(=\cfrac{2e^x}{[(e^{-x}+1)\cdot e^x]^2}=\cfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}\)

✍️ 遇到含有根式的分式型代数式化简时,除法[分子分母约分]比乘法[分母有理化]快;

引例1,在 \(\triangle ABC\) 中,\(a=2\),\(b=\sqrt{2}\),\(c=\sqrt{3}+1\),求 \(B\).

分析:\(\cos B=\cfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\cfrac{4+2\sqrt{3}+4-2}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}\)

\(=\cfrac{6+2\sqrt{3}}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{2(3+\sqrt{3})}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)

所以,\(B=\cfrac{\pi}{6}\) .

引例2,遇到分母上是 \(i\) 的分式形的复数,可以利用 \(-1=i\cdot i\) 来简化运算;\(\cfrac{2+3i}{i}\)\(=\)\(\cfrac{3i-2\times(-1)}{i}\)\(=\)\(\cfrac{3i-2i^2}{i}\)\(=\)\(3-2i\)

✍️ 平面的法向量的求解,常规方法是设法向量的坐标,建立方程组,再求解其坐标,特别的若能充分利用题目的条件[比如求水平放置平面的法向量,我们就可以直接用 \(z\) 轴的方向向量来代替,快捷高效],则能快速写出法向量

✍️ 再比如配方法中的书写次序,能减少冗余步骤,提高运算速度

\(f(x)=-2x^2+5x+3=-2(x^2-\cfrac{5}{2}x)+3\) \(=-2(x^2-\cfrac{5}{2}x+\triangle)+3+2\triangle\)

✍️ 巧妙利用函数的性质,避开麻烦且容易出错的分类讨论 .

引例,已知函数\(y=f(x)=e^x+e^{-x}\),求解不等式\(f(x)>f(2-x)\)中\(x\)的取值范围。解析过程

✍️ 当题目的计算思路比较多时,对各种思路的难易程度的预估不足,或选了比较难的思路;

已知\(g(x)=\cfrac{2xlnx+x^2+3}{x}\),求\(g'(x)\);

思路一:利用\((\cfrac{u}{v})'=\cfrac{u'v-uv'}{v^2}\)计算

\(g'(x)=\cfrac{[2(1+lnx)+2x]\cdot x-(2xlnx+x^2+3)\cdot 1}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}\);

思路二:先化简再求导后通分,\(g(x)=2lnx+x+\cfrac{3}{x}\),

则\(g'(x)=\cfrac{2}{x}+1-\cfrac{3}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}\)

已知\(f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}\),求\(f'(x)\)

思路一:令\(u=\cfrac{x-1}{x+1}\),则\(f'(x)=\cfrac{1}{u}\cdot u'_x\)

\(=\cfrac{x+1}{x-1}\cdot \cfrac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}\)

\(=\cfrac{x+1}{x-1}\cdot \cfrac{2}{(x+1)^2}=\cfrac{2}{x^2-1}\)

思路二:\(f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}=ln(x-1)-ln(x+1)\),

则\(f'(x)=\cfrac{1}{x-1}\cdot (x-1)'-\cfrac{1}{x+1}\cdot (x+1)'\)

\(=\cfrac{1}{x-1}-\cfrac{1}{x+1}=\cfrac{2}{x^2-1}\)

已知定义域为\(R\)的函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\),判断函数\(f(x)\)的奇偶性;

法1:变形运算较难,利用\(f(-x)=\pm f(x)\)来判断;

\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)

\(=ln(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\)

\(=ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}\)

\(=-ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)

即函数\(f(x)\)为奇函数;

备注:\((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1\);\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\);

法2:变形运算容易,利用变形式\(f(-x)\pm f(x)=0\)来判断;

由于\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\),则\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\),

即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\),即函数\(f(x)\)为奇函数;

引例2,已知函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\),判断其奇偶性;

分析:同上例,可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\),即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\),即函数\(g(x)\)为奇函数;

反思:虽然说\(f(-x)=-f(x)\)和\(f(-x)+f(x)=0\)是等价的,但是有时候我们感觉二者是有区别的,尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时,更是如此;

✍️ 用比例因子、勾股数,提高运算速度,借用比例因子简化运算

比如,常用的勾股数:\(3n,4n,5n(n\in N^*)\);\(5,12,13\);\(7,24,25\);\(8,15,17\);\(9,40,41\);

再比如,连比形式或比例形式,可以引入非零比例因子简化运算,这样的运算可能在解三角形中,圆锥曲线的运算,等比数列的相关运算中。[1]

✍️ 总结运算中的书写形式,提高运算速度

引例1,代入运算小技巧,比如将\(x=-1+tcos\alpha\),\(y=1+tsin\alpha\) 代入方程 \(x^2+y^2-4x=0\),注意对齐书写,演草纸上如下操作,省时省力;

\[\left\{\begin{array}{l}{1-2tcos\alpha+t^2cos^2\alpha}\\{1+2tsin\alpha+t^2sin^2\alpha}\\{4-4tcos\alpha}\end{array}\right. \]

整理得到,\(t^2+(2sin\alpha-6cos\alpha)t+6=0\)。 再比如图形例子

引例2,圆锥曲线中的代入运算小技巧,比如已知,\((1+k^2)x_1x_2+(2+kb)(x_1+x_2)+b^2+4=0\),

且已经得到了\(x_1+x_2=-\cfrac{8kb}{1+4k^2}\), \(x_1x_2=\cfrac{4b^2-4}{1+4k^2}\),

代入,\((1+k^2)\cdot \cfrac{4b^2-4}{1+4k^2}-(2+kb)(\cfrac{8kb}{1+4k^2})+b^2+4=0\),

即\((1+k^2)(4b^2-4)-(2+kb)\cdot 8kb+(b^2+4)(1+4k^2)=0\),

打开,即\(4b^2-4+4k^2b^2-4k^2-16kb-8k^2b^2+b^2+4k^2b^2+4+16k^2=0\),

运算整理的技巧,一次过;

\[\left.\begin{array}{l}&4b^2&-4&+4k^2b^2&-4k^2&\\&&&-8k^2b^2&&-16kb\\&b^2&+4&+4k^2b^2&+16k^2\end{array}\right\} \]

[上述整理过程只在演草纸上出现,正式答题只写]整理得到,\(12k^2-16kb+5b^2=0\),

✍️ 设而不求的策略应用可以提高运算速度。

【引例】设直线 \(AB\) 的方程为 \(y=kx+1\),

令\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\),联立得到\(\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1}\end{array}\right.\)

得到\((2k^2+1)x^2+4kx-2=0\),其判别式 \(\Delta=(4 k)^{2}+8\left(2 k^{2}+1\right)>0\)

所以 \(x_{1}+x_{2}=-\cfrac{4k}{2k^{2}+1}\), \(x_{1}x_{2}=-\cfrac{2}{2k^{2}+1}\),又由直线\(y=kx+1\),

得到\(y_1+y_2=(kx_1+1)+(kx_2+1)=k(x_1+x_2)+2\),

且有\(y_1y_2=(kx_1+1)(kx_2+1)=k^2x_1x_2+k(x_1+x_2)+1\),

接下来,不是求解单个的\(x_1\)、\(y_1\)、\(x_2\)、\(y_2\),而是将\(x_1+x_2\)、\(y_1+y_2\)、\(x_1x_2\)、\(y_1y_2\)代入需要求解的表达式中;

✍️ 弄清楚所计算问题的算理,越复杂问题的化简,越体现算理的重要性;

【难点题目】倾斜角为\(\cfrac{\pi}{4}\)的直线经过椭圆\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的右焦点\(F\),与椭圆交于\(A\),\(B\)两点,且\(\overrightarrow{AF}=\)\(2\overrightarrow{FB}\),则该椭圆的离心率为 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{\sqrt{2}}{3}$ $B.\cfrac{\sqrt{2}}{2}$ $C.\cfrac{\sqrt{3}}{3}$ $D.\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

分析:由题可知,直线方程为\(y=x-c\),将其代入椭圆\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1\),消去\(y\),

整理得到\((a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0\),

设\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\),则由韦达定理可知,

\(x_1+x_2=\cfrac{2a^2c}{a^2+b^2}①\),\(x_1x_2=\cfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2}②\)

又由\(\overrightarrow{AF}=\)\(2\overrightarrow{FB}\)得到\((c-x_1,0-y_1)=2(x_2-c,y_2-0)\),整理即得到\(2x_2+x_1=3c③\),

联立①③式,解得\(x_1=\cfrac{a^2c-3b^2c}{a^2+b^2}\),\(x_2=\cfrac{a^2c+3b^2c}{a^2+b^2}④\),

将④式代入②式,得到\(\cfrac{a^2c-3b^2c}{a^2+b^2}\times \cfrac{a^2c+3b^2c}{a^2+b^2}=\cfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2}\)

[说明:到此,本题目的最大难点出现,到底该如何化简上式。由于是求离心率问题,故我们本着这样的考量来化简,留下\(a\)和\(c\),尽可能的代换和消去\(b\),详细化简如下:]

分式两边先各约去一个分母,再对左边的分子使用平方差公式,得到

\[\cfrac{a^4c^2-9b^4c^2}{a^2+b^2}=a^2c^2-a^2b^2 \]

将分式化简为整式得到,

\[a^4c^2-9b^4c^2=a^4c^2-a^4b^2+a^2b^2c^2-a^2b^4 \]

抵消\(a^4c^2\)项,整理为一端为零的形式,得到

\[a^4b^2-9b^4c^2-a^2b^2c^2+a^2b^4=0 \]

再约去因式\(b^2\)得到,

\[a^4-9b^2c^2-a^2c^2+a^2b^2=0 \]

上式的第一、三两项提取公因式\(a^2\),得到,

\[a^2(a^2-c^2)-9b^2c^2+a^2b^2=0 \]

再次整理得到,

\[2a^2b^2-9b^2c^2=0 \]

再次约去因式\(b^2\)得到,

\[2a^2=9c^2 \]

从而得到\(e^2=\cfrac{c^2}{a^2}=\cfrac{2}{9}\),故\(e=\cfrac{\sqrt{2}}{3}\),选\(A\)。


  1. 如三角形的三边之比为\(a\):\(b\) :\(c\) \(=\) \(2\) :\(3\) :\(4\),则可以设 \(a=2k\),\(b=3k\),\(c=4k(k>0)\);如果求最大(小)角的余弦值,就可以直接代入余弦定理计算,同时\(a\),\(b\),\(c\)都是\(k\)的一元函数了。
    同样的思路也可以用到圆锥曲线中,比如已知离心率\(e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}\),则可知\(c=\sqrt{3}t,a=t(t>0)\) ,则有\(b=\sqrt{2}t\); ↩︎

标签:算理,运算,cdot,2c,提速,sqrt,cfrac,2b,例说
From: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/18449831

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