「分数规划」学习笔记及做题记录
做题时发现不会分数规划，赶紧来学一下。
分数规划用于求解下面一类问题：
有 \(n\) 个物品，第 \(i\) 个物品的价值为 \(a_i\)，费用为 \(b_i\)。从中选择若干个物品，使得价值与费用的比值 \(\dfrac{\sum a}{\sum b}\) 最大/最小。
另一种更严谨的表示方法是：给第 \(i\) 个物品钦定 \(w_i \in \{1, 0\}\) 表示选/不选该物品，使得 \(\dfrac{\sum_{i=1}^{n} w_i \times a_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i \times b_i}\) 最大。
分数规划使用二分法来求解该问题。以求最大值为例，二分比值 \(x\)，求解判断问题：是否存在方案，使比值大于等于 \(x\) （由于是实数二分，加不加等于其实无所谓）。那么式子化为：
\[\dfrac{\sum_{i=1}^{n} w_i \times a_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i \times b_i} \ge x \\ \Longrightarrow \sum_{i=1}^{n} w_i \times (a_i - x \times b_i) \ge 0 \]这样，只需求出不等号左边式子的最大值。如果该最大值不小于 \(0\)，说明比值可以达到 \(x\)，否则不可以。
可以发现，这样转化问题的最大好处是：我们消去了除法。如果把 \(a_i - x \times b_i\) 看作第 \(i\) 个物品的新权值 \(c_i\)，那么我们只要研究如何取到这一个权值的和的最大值，而不用研究两个权值的比，这往往能带来极大的便利。
而分数规划的主要难点也就在于求出新权值 \(c_i\) 的最大和。下面以几道例题为例来讲解。（由于二分的过程是类似的，下面只研究如何求出新权值的最大和）
例题
I. [USACO18OPEN] Talent Show G
问题转化后：第 \(i\) 个物品的权值为 \(a_i\)，费用为 \(w_i\)，并且总费用不小于 \(W\)。
可以用背包 dp 来求解。设 \(f(i, v)\) 表示在前 \(i\) 个物品中，选择若干个使得费用和为 \(v\) 时，权值的最大值。但这里有一个问题：\(w_i \le 10^6\)，因此 dp 数组的第二维要开到 \(n \times w \le 2.5 \times 10^5\)，这样的时空复杂度都是无法接受的。但我们注意到，大于等于 \(W\) 的重量都可以直接视为 \(W\)，这样并不改变答案。也就是说，\(f(i, W)\) 表示的实际上是费用和不小于 \(W\) 时，权值的最大值。转移的时候，使用“我为人人”的转移方法，可以使代码实现更简洁。详见代码。
bool check(double x)
{
vector<double> a(n + 1);
for(int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = t[i] - x * w[i];
vector<vector<double>> f(n + 1, vector<double>(W + 1, -1e9));
f[0][0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
copy(f[i - 1].begin(), f[i - 1].end(), f[i].begin()); // 如果不用滚动数组，必须写这一行
for(int v = 0; v <= W; v++) // “我为人人”
{
int j = min(W, v + w[i]);
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][v] + a[i]);
}
}
return f[n][W] >= 0;
}
II. [JSOI2016] 最佳团体
树上背包即可。
void dfs(int u)
{
sz[u] = 1, f[u][1] = a[u];
for(int v: G[u])
{
dfs(v);
sz[u] += sz[v];
for(int i = min(m, sz[u]); i > 1; i--)
{
for(int j = max(0, i + sz[v] - sz[u]); j <= min(i - 1, sz[v]); j++)
f[u][i] = max(f[u][i], f[v][j] + f[u][i - j]);
}
}
}
bool check(double x)
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = val[i] - x * w[i];
fill(f.begin(), f.end(), vector<double>(m + 1, -1e9));
dfs(rt);
return f[rt][m] >= 0;
}