【前置知识】

有/无源汇的上下界网络流、有负环的费用流。

集训队 2021 论文集

相关论文：丁晓漫，《再探线性规划对偶在信息学竞赛中的应用》的网络流部分。

先读完论文再看。已经将所有疑问记录在下面了。

LP-duality 定理，这个是线性规划问题和强对偶定理的简介。

【如何转化为网络流】

数学部分直接略过，论文内已经讲清楚了；这里只记录怎么从线性规划式子推导出具体网络流建图方式。

关键式子：$$\min \sum_u b_up_u+\sum_{uv}c_{uv}\max(0,p_v-p_u-w_{uv})$$

上面这个式子包含的信息：结点 \(u\) 有 \(b_u\) 的 "流量需求"（出 \(-\) 入），有边 \(u\rightarrow v\)，容量 \(c_{uv}\)，费用 \(w_{uv}\)。

建立超级源汇 \(S,T\)。若 \(b_u>0\)，\(S\rightarrow u\)，容量 \(b_u\)，费用 \(0\)；若 \(b_u<0\)，\(u\rightarrow T\)，容量 \(-b_u\)，费用 \(0\)。

跑有负环的最小费用可行流。