Basic Mathematical Philosophy
好像没有什么用，当碎碎念吧……
为什么我们要研究代数结构？最早的原因是，这可以把我们知道的东西迁移到不知道的问题上。比如，我们知道幺元唯一之后就不会疑问 \(n\) 阶单位矩阵是不是唯一的。
但一个更可能的情况是研究结构不会翻车，研究别的定义更复杂的对象容易翻车。
Axiom
刚学欧氏几何的时候，大家都会学到 \(5\) 条公理（完整的还有 \(5\) 条公设），然后被告知，公理就是不证自明的命题。
后面就是大家耳熟能详的故事，非欧几何出现了，而后爱因斯坦的相对论告诉人们，物理世界并不是完全符合欧氏几何。
这就导致了一个很严重的问题，公理化的数学体系无限地接近符号游戏。因为没有办法判断一个公理是不是对的，即使被大多数人认可，也不见得能找到现实意义。（实际上，这是后现代主义的内容，但这涉及过多的哲学内容了，实际上，现在的公理化体系依然是数学中最接近哲学的）
另外一个问题是我们不得不接受数学的不确定性。我们无法断言平行公理是对的还是错的，只能选择接受或不接受平行公理（另一个常见的例子是选择公理）。
A real field?
现在任何一个理工科本科生都会很自然地接受 \(\infty\) 这样的符号，当被问起其含义时，会表示描述了一个无穷大量。但是，直到今天，都有被称为“有穷主义”的数学家，他们拒绝承认无穷的存在，改用超限序数 \(\omega\) 描述所有数。
这里就可以发现一个问题，能不能在一个方向上做出结果和我承不承认某个公理会有直接的关系。事实是绝大多数数学家在这方面都是墙头草，在需要的时候就会接受某个公理。
问题在于，有时候这会导致很反直觉的问题。例如，在某些模型下，\(\mathbb{R}\) 不是全序的。那你肯定会问，这 \(\mathcal{TM}\) 还是我以前知道的那个实数域吗？
目前的解决方法……就是不解决，讨论问题的时候把自己用的模型说一下就好啦，反正很多常用的结论需要的模型是一样的。或者说，虽然我们说的实数域（\(\text{the real field}\)）不是一个东西，但我们对讨论的问题还是有一样的结果。尽管此时我们应该说 \(\text{a real field}\)，因为我们已经在讨论不同的东西了。
定义
这里就涉及到两种不同的定义逻辑了。
第一种是范畴式的（\(\text{categorial}\)），尽管和范畴论没有什么关系。就是说我们先感性理解了应该对象，然后在用严格的数学语言描述其性质从而完成“定义”，如果我们的“定义”不能符合我们先前的经验，我们就必须修改它。
第二种是抽象式的，也就是我们讨论群/环/域/模之类的时候的思路。我们对研究对象本身一无所知，只关心整体的结构。
大家肯定对第一种方式更习惯。然后问题就出现了，根据之前的讨论，现在有两种结果：
一、承认实数是和交换一样的性质，很多对象都可以叫实数。
二、严格定义实数，说别的都不是实数。
方案一显然巨大地冲击了正常人的思维；方案二看上去倒是很美好。可后续问题就是：现在做一个问题，不是证明其为真还是为假，而是证明其在什么模型下为真，什么模型下为假。
看到这里，就还是去学群论罢（悲）。
Quotient group
Modular arithmetic
\(\text{Modular arithmetic}\)（模运算）最早是研究数论是被提出的。
比如我们想研究一个数的末尾数字，在一定条件下，我们并不需要关心更高位，比如只有假发、减法和乘法，而没有除法的情况。
这时，我们可以把所有数按照 \(\bmod 10\) 的余数分类，形式化地说：
\[\forall x\in[0,10)\cap\mathbb{Z},\overline{x}=\{10k+x\mid k\in\mathbb{Z}\} \]然后我们的运算可以都定义在这 \(10\) 个新的数上了，比如
\[13+7=20\to\overline{3}+\overline{7}=\overline{0} \]运用 Group Theory I 中的知识，注意到这样的操作很像 \(\text{homomorphism}\)，回去看一遍 \(\text{homomorphism}\) 的定义，可以意识到新定义的“数” \(\overline{x}\) 也构成一个群。
顺便一提，这样的群记为 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)，表示 \(\bmod n\) 的剩余系构成的群。
我们无意探究更高阶的数论知识，但这是一个 \(\text{quotient group}\)（商群）的自然例子（毕竟真的是作商做出来的）。
为了给出 \(\text{quotient group}\) 的严格定义，我们先引入 \(\text{equivalence relation}\)（等价关系）。
Equivalence relation
如果 \(a,b\) 是等价的，就记为 \(a\sim b\)。（比如在 modular arithmetic 中，我们可以写成 \(13\sim 3\)，因为它们 \(\bmod 10\) 相等）也就是说，如果 \(a,b\) 都满足某种性质，我们就把它们当成同一个元素。
依靠具体例子建立的直觉，可以给出 \(\text{equivalence relation}\) 的定义：
\(1.\) \(\text{Reflection:}\) \(a\sim a\)；
\(2.\) \(\text{Symmetry:}\) \(a\sim b\to b\sim a\)；
\(3.\) \(\text{Transitivity:}\) \(a\sim b,b\sim c\to a\sim c\)。
根据等价关系的定义，可以引出 \(\text{equivalence class}\) 的概念。比如写 \(\overline{3}\) 和 \(\overline{13}\) 没有区别，我们可以随便取一个元素 \(a\) 作为标志，定义一类数的集合，也就是一个等价类 \(\overline{a}=\{x|a\sim x\}\)。
注意到 \(\overline{a}\cap\overline{b}\ne\emptyset\to\overline{a}=\overline{b}\)。运用 \(\text{Tranisitivity}\) 即可。
上述性质告诉我们，每种 \(\text{equivalence relation}\) 都可以把一个集合划分为若干个不交的子集，且这些子集的并是全集。
Partition
\(\text{Partition}\)（划分）的定义其实上面已经说了：把一个集合分成若干不交的并为全集的子集的方式。
我们断言，\(\text{partition}\) 的方式和 \(\text{equivalence relation}\) 一一对应。
考虑某个 \(\text{partition:}A=\bigcup\limits_{i=1}^mA_i\)，构造等价类 \(\overline{i}=\{x|x\in A_i\}\)，然后容易发现结论正确。
Coset
假设 \(H\le G\)，那么 \(aH=\{ah|h\in H\}\) 就是一个 \(\text{left coset}\)，\(Ha\) 就是一个 \(\text{right coset}\)，后面我们说 \(\text{coset}\) 默认是 \(\text{left coset}\)。
沿用 modular arithmetic 中的例子，考虑子群 \(H=\{\overline{0},\overline{5}\}\)，\(3H=\{\overline{3},\overline{8}\}\) 就是一个 \(\text{coset}\)。
\(a,b\in gH\) 是等价关系。
非常 \(\text{naive}\) 的，考虑用某个元素表示所有 \(\text{coset}\)，比如 \(aH\) 中可能有很多元素，但我们只写了其中一个 \(a\) 来表示。比如在上例中 \(3H=8H\)。
现在，我们断言
\(\text{coset}\) 构成了 \(G\) 的一个 \(\text{partition}\)。
只需要证明 \(aH\cap bH\ne\emptyset\Rightarrow aH=bH\)。
假设 \(c\in aH\cap bH\)，那么
\[\exists h_1,h_2\in H,c=ah_1=bh_2 \]立马得到
\[a=bh_2h_1^{-1} \]注意到 \(h_2h_1^{-1}\in H\)，再结合 \(\text{coset}\) 的定义就知道 \(a,b\) 属于同一个 \(\text{coset}\)。
Index
设 \(H\le G\)，那么 \(H\) 在 \(G\) 中的 \(\text{coset}\) 个数被称为 \(\text{index}\)（指数），记为 \([G:H]\)。
Counting Formula, Lagrange theorem
\(H\le G\to |G|=|H|[G:H]\)
显然，\(H\to aH\) 是一个双射，再运用上文的断言即可。
妙妙公式
\(\varphi\) 是一个 \(\text{hormomorphism}\)，\(|G|=|\text{Ker}\varphi||\text{Im}\varphi|\)
相当于说 \(\text{Ker}\varphi\) 划分了所有的像。
这里为了严格使用数学语言，考虑建立 \(\text{Ker}\varphi\) 的所有 \(\text{coset}\) 和 \(\varphi(g)\) 间的双射。
只需证明 \(\forall x,y\in G,x\text{Ker}\varphi=y\text{Ker}\varphi\Leftrightarrow\varphi(x)=\varphi(y)\)。
余下部分比较简单，可以感性理解一下。理解不了看完后面的 First isomorphism theorem 也就懂了。
Coset of normal subgroup
\(N\triangleleft G\to\forall g\in G,gN=Ng\)
挺显然的。重要的是后面这个
\[xH=Hy\to\forall h\in H,\exists h^\prime\in H,xh=h^\prime y \]\(\forall x\in G,\exists y\in G,xH=Hy\to H\triangleleft G\)
取 \(h=e\)，则
\[x=h^\prime y\to Hx=Hh^\prime y=Hy=xH \]于是得证。
Quotient group
满足 \(N\triangleleft G\) 时，定义 \(G/N=\) 是一个 \(\text{quotient group}\)。注意，原则上要区分左右，但后文中所有要区分左右的地方我们都默认采用“左”的定义。
\(\text{Quoitent group}\) 上的运算为 \(aN\circ bN=(ab)N\)。
注意到 \(|G/N|=[G:N]\)，可见我们的符号用得很好，符合正常四则运算的直觉。
Isomorphism theorem
First isomorphism theorem
\(\varphi:G_1\mapsto G_2\) 是一个 \(\text{surjective homomorphism}\)（满射的群同态），那么 \(G_1/\text{Ker}\varphi\cong G_2\)
为了书写方便，记 \(N=\text{Ker}\varphi\)，注意这里我们已经暗含了 \(\text{Ker}\varphi\triangleleft G\) 这一信息。这是因为 \(\forall g\in G_1,\varphi(gNg^{-1})=\varphi(g)\varphi(N)\varphi(g^{-1})=e_2\)，于是 \(\forall n\in N,g\in G_1,gng^{-1}\in N\)。
注意力集中的同学可以直接给出同构 \(\pi:gN\mapsto \varphi(g)\)，接下来考虑严格证明。
需要验证这个映射是良定义的（\(\text{well-defined}\)），也就是说真的是一个映射，有点地方也叫无缺性。就是证明 \(aN=bN\to\varphi(a)=\varphi(b)\)，根据 \(\text{coset}\) 中的讨论，可以知道 \(a^{-1}b\in N\)，然后就证明了。
显然，\(\pi\) 和 \(\varphi\) 一样是一个 \(\text{surjective homomorphism}\)。
只需要证明 \(\pi\) \(\text{injective}\) 。也就是证明 \(\varphi(a)=\varphi(b)\to aN=bN\)。
\[\begin{align*} \varphi(a)=\varphi(b)&\to \varphi(a^{-1})\varphi(a)=\varphi(a^{-1})\varphi(b)\\ &\to e_2=\varphi(a^{-1}b)\\ &\to a^{-1}b\in N\\ &\to N=a^{-1}bN\\ &\to aN=bN \end{align*} \]特殊地，可以写成 \(G/\text{Ker}\varphi\cong\text{Im}\varphi\)（也就是之前问题的答案）。
Second isomorphism theorem
\(H\le G,K\triangleleft G,HK/K\cong H/(H\cap K)\)
其中 \(HK=\{hk|h\in H,k\in K\}\)
注意，\(K\) 必须 \(\text{normal}\)，否则 \(HK\) 不构成群。
我觉得想到的思路是 \(\frac{\text{lcm}(H,K)}{K}=\frac{H}{\text{gcd}(H,K)}\)。
首先观察陪集分解（\(\text{coset partiton}\)） \(HK/K=\bigcup h_ik_jK=\bigcup h_iK\)。
联想一下为什么这是第二同构定理，可以想到 \(H/\text{Ker}\varphi\cong HK/K\)。
我们只需要构造 \(\varphi\)，然后证明 \(\text{Ker}\varphi=H\cap K\)。
取 \(\varphi:H\mapsto HK/K,h\to hK\) 是自然的。
首先证明这是一个 \(\text{homomorphism}\)。也就是证明 \((h_1K)\circ(h_2K)=(h_1h_2)K\)，这就是 \(\text{quotient group}\) 的定义。
考虑直接求出 \(\text{Ker}\varphi\)。
\[\begin{align*} \text{Ker}\varphi&=\{h\in H|hK=K\}\\ &=\{h\in H|h\in K\}\\ &\to h\in H\cap K \end{align*} \]于是运用第一同构定理即可。
Third isomorphism theorem
\(N,M\triangleleft G,{\color{red}N\subset M},(G/N)\big/(M/N)\cong G/M\)
白色部分显然符合四则运算的直觉，红色部分就是考虑 \(\text{quoitent group}\) 的定义，其实直接写成 \(N\triangleleft M\triangleleft G,{\color{red}N\triangleleft G}\) 也没有关系。
注意红色部分是必须的，存在反例。
仿照上例，构造 \(\text{homomorphism }\varphi:G/N\mapsto G/M\)，在证明 \(\text{Ker}\varphi=M/N\)。
非常 \(\text{naive}\) 的，选取 \(\varphi:G/N\mapsto G/M,gN\to gM\)。
还是先证明这是一个 \(\text{homomorphism}\)，根据 \(\text{quoitent group}\) 的定义，这是显然的。
我们先考虑求出 \(\text{Ker}\varphi\)，考虑
\[\begin{align*} \text{Ker}\varphi&=\{gN\mid \varphi(gN)=M\}\\ &=\{gN\mid gM=M\}\\ &=\{gN\mid g\in M\}\\ \end{align*} \]注意到这就是 \(\text{quitent group}\) 的定义，于是 \(\text{Ker}\varphi=M/N\)。
再考虑 \(\text{surjective}\)，感性理解是很显然的，因为 \(N\) 都是 \(G,M\) 的正规子群了。
之后再运用第一同构定理就可以了。
Sylow theorem
之前我们已经得到了一些群的阶相关的公式，这里我们希望考察子群的阶和群的阶的关系。
Sylow subgroup
如果 \(|G|=p^n,p\in P,n\in\mathbb{N}^*\)，其中 \(P\) 表示质数集，那么 \(G\) 被称为一个 \(p\text{-group}\)。注意区别 \(p\text{-subgroup}\) 和 \(p\) 阶子群。
如果 \(H\le G,|H|=p^n,p^{n+1}\not\mid|G|\)，那么 \(H\) 被称为 \(G\) 的一个 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\)。
Cauchy theorem
一般译作“有限群的柯西定理”
\(G\) 是一个有限群，\(p||G|\)，那么 \(G\) 有一个 \(p\) 阶循环子群。
考虑按照 \(|G|\) 的大小归纳。
任取 \(g\in G,g\ne e\)，设 \(H=<g>=\{g^k\mid k\in \mathbb{N}\}\)，显然，\(H\le G,|H|>1\)。
如果 \(G=H\)，那么只需取 \(K=<g^{{|G|}/{p}}>\) 即可。
如果 \(p||H|\)，归纳即可，边界是 \(|G|=p\)。
现在考虑 \(p|[G:H]\) 的情况。自然而然地，我们想到 \(\text{quoitenet group }G/H\)，因为 \(|G/H|<|G|\)，根据归纳，\(G/H\) 存在一个 \(p\) 阶循环子群。
也就是说 \(\exists g\in G,|<gH>|=p\)，那么 \((gH)^p=g^pH=H\)，于是 \(g^p\in H\)。
再然后 \(g\in H\) 是不可能的，否则 \(|<gH>|=1\)。
设 \(\text{ord}(g^p)=q\)，即 \(g^{pq}=e\)。
因为已经假设了 \(p\not\mid|H|\)，又有 \(q||H|\)，于是 \(\gcd(p,q)=1\)。运用 \(\text{Bezout theorem}\)，存在 \(a,b\in\mathbb{Z}\) 使得 \(ap+bq=1\)，那么 \(g=g^{ap+bq}\)。
讨论两种情况：
- \(g^q\ne e\)，那么 \(\text{ord}(g^q)=p\)，\(<g^q>\) 即为所求。
- \(g^q= e\)，那么 \(g=g^{ap}g^{bq}=g^{ap}=(g^p)^a\in H\)，已经说明了这是不可能的。
综上即得证。
补充一个人类智慧做法：
考虑 \(S=\{(g_1,g_2\cdots g_p)\mid \forall k\in[1,p]\cap\mathbb{N},g_k\in G\wedge \prod\limits_{i=1}^pg_i=e\}\)。
构造 \(s=(g_1.g_2\cdots g_p)\in S\)，只需从 \(G\) 中任取 \(g_1,g_2\cdots g_{\color{red} p-1}\)，再取 \(g_p=g_{p-1}^{-1}g_{p-2}^{-1}\cdots g_1^{-1}\) 即可，因为 \(g_1\) 到 \(g_{p-1}\) 的取法是任意的，而且决定了 \(g_p\) 的取值，于是 \(|S|=|G|^{p-1}\)。
根据条件，就有 \(p||S|\)。
再考虑 \((g_1,g_2\cdots g_p),(g_2,g_3\cdots g_p,g_1)\cdots (g_p,g_1,g_2\cdots g_{p-1})\) 是同一种组合，当且仅当 \(g_1=g_2=\cdots=g_p\)，注意到至少有一组这样的 \(s=(\underbrace{e,e\cdots e}_{p\text{ 个 }e})\)。其他情况下这都是 \(p\) 种组合。
假设只有一组 \(s=(\underbrace{e,e\cdots e}_{p\text{ 个 }e})\)，那么 \(|S|=kp+1\)，与 \(p||S|\) 矛盾。
从而存在 \(g\in G,s=(\underbrace{g,g\cdots g}_{p\text{ 个 }g})\in S\)，即 \(g^p=e\)，\(<g>\) 即为所求。
Trivial things about group action
Homomorphism in group action
为了 \(\text{Sylow theorem}\)，我们需要一点铺垫。这里是直接承接 Group Theory I 中的 \(\text{group action}\) 的内容，原则上应该放在一起，但这样会导致上一篇内容过多。
首先介绍一个可能不那么常见的集合的概念：
幂集（\(\text{power set}\)）：\(A\) 的 \(\text{power set}\) 一般记为 \(2^A=\{B| B\subset A\}\)，即 \(A\) 的所有子集构成的集合。
比如 \(\sigma:G\times 2^G\mapsto 2^G,(g,A)\to gAg^{-1}\) 就是一个 \(\text{group action}\)。
定义 \(\text{homomorphism in group action}\)：
\(S_1,S_2\) 是 \(G\text{-set}\)，\(f:S_1\mapsto S_2\)，如果 \(\forall g\in G,s\in S_1,g.f(s)=f(g.s)\)，那么 \(f\) 就是一个 \(\text{homomorphism}\)。
这和群同态是很一致的，于是后文中我们一般不加以区分。
Stablizer
首先我们讨论一个问题，哪些集合 \(S\) 可以是一个 \(G\text{-set}\)，感性理解一下，充要条件应该是存在 \(G\mapsto\text{Sym}(S)\) 的 \(\text{homomorphism}\)，其中 \(\text{Sym}(S)\) 表示所有 \(S\) 到 \(S\) 双射。
现在考虑一些特殊的群元，对于给定的集合可以起到不动点的作用。也就是 \(S\) 是 \(G\text{-set}\)，\(G_s=\{g\in G|s^g=s\}\)。
真正的不动点（\(\text{fixed point}\)）的定义则是 \(s^G=\{s\}\)，即任意群元作用之后都不变。
这样的 \(G_s\) 被称为 \(\text{isotropy group}\)（迷向群/稳定群/稳定子，也叫 \(\text{stablizer}\)}）。既然被称为群了，那 \(G_s\) 肯定是一个群。此处懒得证明了，然后就知道 \(G_s\le G\)。
比如考虑 \(\text{conjugate}\) 作为 \(\text{group action}\)，那么 \(G_s=\{g\in G|g.s=s\}=\{g\in G|gsg^{-1}=s\}\)，对 \(s.g\) 进行良好的定义就可以得到 \(\text{normalizer}\) 和 \(\text{centralizer}\)。
一个有用的结论是 \(\text{orb}(x)=\text{orb}(x)\Rightarrow G_x=gG_yg^{-1}\)。
考虑 \(y=z.x\)，那么 \(G_y=\{g\in G|gz.x=z.x\}=\{g\in G|z^{-1}gz.x=x\}=z^{-1}G_xz\)。
Orbit
我们用动态视角看一个群作用，自然会考虑一个 \(s\in S\) 会在 \(G\) 的作用下变成哪些元素。这引出了 \(\text{orbit}\) 的定义：\(\text{orb}(s)=G.s=s^G=\{g.s|\forall g\in G\}\)。
接下来我们稍微提高一点速度，先直接给出强力的结论：
\(|\text{orb}(s)|=|G.s|=[G:G_s]\)
注意到 \(\text{coset}\) 和 \(\text{orbit}\) 之间的关联，\(f_s:G/G_s\mapsto \text{orb}(s),gH\to g.s\)。
首先，我们证明 \(f_s\) 一个 \(\text{homomorphism}\)。只需要发现两者运算上的相似性即可，\(f_s(g_1G_s\circ g_2G_s)=f_s(g_1g_2G_s)=g_1.f_s(g_2G_s)=(g_1g_2).s\)。
再证明 \(f_s\) 是一个双射。发现如果 \(g_1G_s=g_2G_s\)，那么 \(g_1^{-1}g_2\in G_s,g_1^{-1}g_2.s=s\to g_2.s=g_1.s\)，于是 \(\text{injective}\) 就证明了。反过来写就是 \(\text{surjective}\) 的证明。至此就做完了。
不难验证 \(\text{orbit}\) 和 \(\text{coset}\) 一样，可以划分构成 \(\text{partition}\)。
形式化地
\(\text{orb}(s_1)\cap\text{orb}(s_2)\ne\emptyset\Leftrightarrow \text{orb}(s_1)=\text{orb}(s_2)\)
考虑 \(s\in G.s_1\cap G.s_2\)，那么 \(s\) 就是两个轨道都可以到达的点，接下来说明这就是同一条轨道。
设 \(s=x.s_1=y.s_2\)，那么
\[\begin{align*} G.s&=Gx.s=G.s_1\\ G.s&=Gy.s_2=G.s_2 \end{align*} \]于是得证。
至此可以得到常用的轨道分解公式（\(\text{orbit decompsition formula}\)）：
\[|S|=\sum_{s}|\text{orb}(s)|=\sum_{s}[G:G_s] \]值得一提的是，下标 \(s\) 表示取遍所有轨道。
这个公式有一种特殊情况，当 \(S=G\) 且 \(\text{group action}\) 为 \(\text{conjugate}\) 时，我们常常把 \(C(G)\) 单独提出（有的地方会把 \(\text{center}\) 写成 \(Z(G)\)）。因为此时 \(x\in C(G)\) 满足 \(G.x=\{x\}\)，而其他轨道均满足 \([G:G_g]>1\)。这时就写成
\[|G|=|C(G)|+\sum_{g\not\in C(G)}[G:G_g] \]这个等式被称为类方程。
这里还有一个类比计数公式的轨道计数公式（还记得 \(\text{orb}(s)=s^G\) 吗）：
\[|G|=|G_s||s^G| \]最后给出一些特殊名词。如果 \(X\) 在 \(G\) 作用下轨道唯一，也就是说 \(\exists x\in X,x^G=X\)，那么这个群作用被称为 \(\text{tansitive}\)（可迁的/传递的）。
计划中，这里有一个 \(\text{Polya with group theory}\)，但是感觉没有必要，于是就咕咕咕了。
数论准备
接下来就是正题 \(\text{Sylow theorem}\) 了，内含 \(3\) 个定理和很多命题（逃）。不过在此我们先做一点和群论无关的准备工作。
\(\text{lemma 0. }n=p^lm,\gcd(p,m)=1,l\ge 1,\forall k\in[1,l]\cap\mathbb{N},\alpha_p({n\choose p^k})=l-k\)。
其中 \(\alpha_p(x)\) 表示 \(x\) 含有的 \(p\) 的个数，即 \(p^{\alpha_p(x)}|x,p^{\alpha_p(x)+1}\not\mid x\)。
观察
\[\begin{align*} {n\choose p^k}&=\frac{(p^lm)^{\underline{p^k}}}{p^k!}\\ &=p^{l-k}\underbrace{\prod\limits_{i=1}^{p^k-1}\frac{(p^lm-i)}{(p^k-i)}}_{\color{violet}A} \end{align*} \]只需要证明 \(\alpha_p(A)=0\)。
注意到 \(\alpha_p(p^lm-i)=\alpha_p(i)=\alpha_p(p^k-i)\)，即可得证。
Sylow theorem I
也叫西罗存在定理。
\(|G|=p^lm,l\in\mathbb{N}^*,\gcd(p,m)=1\)，那么 \(G\) 有 \(p^k\) 阶子群（\(k\le l\)）。
考虑 \(X=\{A\subset G||A|=p^k\}\)，也就是把大小为 \(p^k\) 的子集全部取出，可以发现 \(|X|={n\choose p^k}\)。
然后考虑 \(\text{group action }f:G\times X\mapsto X,(g,A)\to gA\)。
运用轨道分解公式
\[|X|=\sum_{x}|\text{orb}(x)| \]根据 \(\text{lemma 0}\) 可知 \(\alpha_p(|X|)=l-k\)，于是至少有一个集合 \(x_0\) 满足 \(\alpha_p(|\text{orb}(x_0)|)\le l-k\)。
运用轨道计数公式
\[\begin{align*} |G|&=|G_{x_0}||x_0^G|\\ \to p^lm&=|G_{x_0}||x_0^G| \end{align*} \]由于 \(\alpha_p(|x_0^G|)\le l-k\)，那么 \(\alpha_p(|G_{x_0}|)\ge k\Rightarrow |G_{x_0}|\ge p^k\)。
然后证明 \(|G_{x_0}|\le p^k\) 即可。
根据 \(\text{stablizer}\) 的定义 \(x_0^{G_{x_0}}=x_0\)，于是任取 \(\xi\in x_0,\xi^{G_{x_0}}\subset x_0\)，注意到 \(|G_{x_0}|=|\xi^{G_{x_0}}|\le|x_0|=p^k\)。
综上可知 \(G_{x_0}\) 就是一个阶为 \(p^k\) 的子群。
Sylow theorem II
包含定理
\(|G|=p^lm\)，\(\forall H\le G,|H|=p^k\)，\(H\) 是 \(G\) 的一个 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup }P\) 的共轭的子群。
考虑 \(X=\{gP|g\in G\}\)，也就是 \(P\) 所有左陪集构成的集合。注意因为不知道 \(P\) 的正规性，所以不能写 \(G/P\)。
起手还是考虑一个 \(\text{group action }f:H\times X\mapsto X,(h,gP)\to hgP\)。
存在如下命题：
\(\text{lemma 1. }G\) 是 \(p\text{-group}\)，\(X\) 是 \(G\text{-set}\)，如果 \(\gcd(p,|X|)=1\)，那么存在 \(\text{fixed point }x\)。
注意到 \(\text{fixed point}\) 就是那些 \(|\text{orb}|=1\) 的点。
考虑轨道分解
\[|X|=\sum_{x}|\text{orb}(x)| \]仿照 \(\text{coset}\) 的内容，容易知道 \(|\text{orb}(x)|\mid |G|\)。但是 \(\gcd(p,|X|)=1\)，于是必须有 \(x\in X\)，\(|x^G|=1\)。引理得证。
运用 \(\text{lemma 1}\) 就知道 \(\exists g\in G\)，\((gP)^H=HgP=\{gP\}\)。变形即有 \(g^{-1}HgP=P\to g^{-1}Hg\in P\to H\subset gPg^{-1}\)。（这里没有严格区分 \(\in,\subset\)）
共轭定理
\(G\) 的所有 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\) 共轭。
随便取两个西罗 \(p-\)子群 \(P,Q\)。运用包含定理，得到 \(P\subset gQg^{-1}\)，此时又有 \(|P|=|Q|\)，即可得证。
唯一性
\(G\) 只有一个 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup }P\) 当且仅当 \(P\triangleleft G\)。
注意到包含定理的证明中我们没有要求 \(H\ne P\)，于是取 \(P\le G\)，如果这是唯一的，那么运用包含定理就得到 \(\exists g\in G,gPg^{-1}=P\)，这正是正规的定义。反过来完全一样，就不证了。
正规化子
1.\(P\) 是 \(N_G(P)\) 唯一的 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\)。
2.\(N_G(N_G(P))=N_G(P)\)。
先证命题 \(1\)：
首先，根据定义 \(N_G(P)=\{g\in G|gPg^{-1}=P\}\)，发现至少有 \(P\le N_G(P)\)。
注意到 \(p\not\mid[G:P]=[G:N_G(P)][N_G(P):P]\to p\not\mid[N_G(P):P]\)。
于是 \(P\) 的确是 \(N_G(P)\) 的一个西罗 \(p-\)子群。
再看一眼群的封闭性，显然有 \(P\triangleleft N_G(P)\)，于是用共轭定理就知道了唯一性。
接着证明命题 \(2\)：
首先，根据 \(\text{normalizer}\) 的定义我们可以知道 \(N_G(P)\subset N_G(N_G(P))\)。（写成 \(\le\) 也可以，但我们要和后面保持一致）
接着，任取 \(n\in N_G(N_G(P))\)，那么 \(nN_G(P)n^{-1}=N_G(P)\)。
之前说过 \(P\) 是 \(N_G(P)\) 的 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\)，运用命题 \(1\)，结合 \(P\le N_G(P)\)，\(P=nPn^{-1}\subset nN_G(P)n^{-1}=N_G(P)\)，于是得到 \(n\in N_G(P)\)。于是 \(N_G(N_G(P))\subset N_G(P)\)。
综上可知 \(N_G(P)=N_G(N_G(P))\)。
Sylow theorem III
一般叫“计数定理”，顾名思义，是描述 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\) 的数目的。
考虑 \(G\) 的所有 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\) 构成的集合 \(X\)。
设 \(|G|=p^lm,l\ge1,\gcd(p,m)=1\)，那么\(|X|\equiv1\pmod p\wedge |X|\mid m\)。
任取一个 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\) \(P\)，考虑一个 \(\text{group action }f:P\times X\mapsto X,(p,A)\to pAp^{-1}\)。
不消说，我们知道 \(P\) 是 \(f\) 作用下的一个不动点。
如果 \(P\) 是唯一的不动点，那么考虑轨道分解公式：
\[|X|=1+\underbrace{\sum_{A\in X\wedge A\ne P}|\text{orb}(A)|}_{\color{violet}B} \]因为我们知道非不动点的轨道长度 \(>1\)，又有 \(|\text{orb}(A)|\mid |P|\)，于是 \(p\mid B\)，立马得到 \(|X|\equiv1\pmod p\)。
现在我们考虑证明 \(P\) 是唯一的不动点。
假设还有一个不动点 \(Q\)，那么 \(\forall p\in P,pQp^{-1}=Q\to p\in N_G(Q)\)，于是 \(P\subset N_G(Q)\)。
运用 \(\text{Sylow theorem II}\) 中 正规化子 部分的命题 \(1\)，我们知道 \(Q\) 是 \(N_G(Q)\) 唯一的 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\)，从而导出 \(P=Q\)。
然后考虑证明 \(|X|\mid m\)，因为已经有 \(\gcd(|X|,p)=1\)，即证 \(|X|\mid |G|\)。
考虑 \(g:G\times X\mapsto X,(g,A)\to gAg^{-1}\)，运用共轭定理，\(g\) \(\text{transitive}\) 。
于是任取一个 \(\text{Sylow }p\text{-subgroup}\) \(P\)，\(|X|=|\text{orb}(P)|=[G:G_P]\mid |G|\)，就证完了。
后记
咕咕~咕。
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